2019考研数学一真题(含答案解析).pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 1页 共 14 页2019年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当0 x时，若xx tan是与kx是同阶无穷小，则kA.1B.2C.3D.4【分析与解答】答案：C30001tantan3limlimlim3kkknnnxxxxxcckxxx 泰勒2.设函数,0()ln,0 xxxfxx xx，则0 x 是()fx的A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导

2、点，非极值点D.不可导点，非极值点【分析与解答】答案：B00lim()lim()0(0)xxfxfxf 则函数在 0 点连续，200000(0)limlim0ln 0(0)limlimlnxxxxxxxfxxx xfxx 函数在 0 定不可导2,0()ln 1,0 xxfxxx 导函数在 0 点左邻域大于零，在 0 点右邻域小于 0，故函数左邻域单调增，右邻域单调减，为极大值点。3.设nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1nnunB.11(1)nnnuC.11(1)nnnuuD.2211()nnnuu【分析与解答】答案：D222222222212132431122221111()

3、()()()()lim()limnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuu 由于nu单调有界，极限必存在，则21limnnu存在，故原级数收敛，且收敛于2211limnnuu（A）的反例，取1lnnun，1lnnunn n，这里用到211(ln)1pnppn np 收敛广义级数 发散欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 2页 共 14 页（B）的反例，取1nun（C）的反例，取1nun，111nnuun，对应的级数发散4.设函数2(,)xQxyy，如果对上半平面(0)y 内的任意有向光滑封闭曲线 C都有(,)d(,)d0CPxy

4、xQxy y，那么函数(,)Pxy可取为（）A.23xyyB.231 xy yC.1 1x yD.1xy【分析与解答】答案：D为了满足条件，一需要函数在积分区域内没有暇点，此题主要指的是没有使得被积函数分母为 0 的点，注意到上半平面(0)y 时，x可以取到 0，即y轴正半轴上的点，这些点会使得（C）选项无意义，为（C）选项的暇点，排除（C）选项。另外为了使闭环积分为 0，需要满足(,)(,)QxyPxyxy，容易算出2(,)1Qxyxy，只有（D）选项满足2(,)1Pxyyy5.设A是 3 阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若EAA22,且4A,则二次型AxxT规范形为A.232221yyyB

5、.232221yyyC.232221yyyD.232221yyy【分析与解答】答案：C22221,2 AAE，说明A的特征值只能在1,2中选择（这一点很重要，用化零多项式得到的特征值包含A的所有特征值，有可能会多了假根，但绝对不会漏根），再由于所有特征值之积等于行列式，由于4A，可知矩阵A的特征值必为1,2,2，特征值两负一正，根据惯性定理，选（C）。需要注意的是，正负号的排列顺序无所谓，比如232221yyy，232221yyy也都是正确答案，正负号的顺序跟对角化时可逆变换矩阵P中特征向量的排列顺序有关，排列顺序不同，答案形式不同。6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方

6、程123(1,2,3)iiiiax ay az di组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为,AA，则的秩都为 2，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 3页 共 14 页则这三张平面可能的位置关系为（）.A.()2,()3rrAAB.()2,()2rrAAC.()1,()2rrAAD.()1,()1rrAA【分析与解答】答案：A首先需要知道的是每个方程代表一个平面，方程未知量的系数123(,)iiia a a构成该平面的法向量，可见当两个平面平行时，法向量平行，两个法向量线性相关，当两个平面相交（不平行）时，法向量不平行，两个法

7、向量线性无关。看图，需要注意此时三个平面没有公共交点（虽然有三条交线，但这三条交线不是整个方程组的解，而是两两组合后，两个方程联合起来有解，原方程组的解必须满足三个方程，即三个平面要同时相交），即原方程组无界，根据解的判定，必有()()rrAA，另外由于方程组两两不平行，故法向量两两无关，则()2rA，再由于A只有 3 行，()3rA，容易验证选（A）。提示：该图形说明矩阵A的 3 个行向量之间，两两无关，但整体相关。7.设,AB为随机事件，则()()PAPB的充分必要条件是A.()()()PA BPAPBB.()()()PAB PAPBC.()()PAB PBAD.()()PAB PAB【分

8、析与解答】答案：C()()(),()()()()()()()()()()()PAB PAB PB PBA PAB PAPAB PBAPAB PBPAB PAPBPA8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N，则1P X Y A.与无关，而与2有关B.与有关，而与2无关C.与，2都有关D.与，2都无关【分析与解答】答案：AX和Y动力同分布，X Y消除了均值影响，取值仅有方差有关。2(0,2)X Y N，1 01 011111()()22222X YP X YPX YP 二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.设函数()fu可导，(

9、sinsin)z fyx xy，则11coscoszzx xy y _欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4页 共 14 页【分析与解答】答案：coscosyxxy()(cos),()(cos)1111()(cos)()(cos)coscoscoscos()()coscoscoscoszzfux yfuy xxyzzfux yfuy xx xy yxyyxyxfufuxyxy 10.微分方程222 0yyy 满足条件(0)1y的特解y _【分析与解答】答案：3e 2xy 222222222222 0222ln(2)2(0)1ln3l

10、n(2)ln3ln(2)lne ln32 3e3e 2xxxdy yyyyydydxdxyyydy dxCyx CyyCyxyyy 11.幂级数1(1)(2)!nnnxn在(0,)内的和函数()sx_【分析与解答】答案：cos x211(1)(1)()cos(2)!(2)!nnnnnnxxxnn12.设为曲面22244(0)xyzz的上侧，则2244xzdxdy【分析与解答】答案：323注意看积分微元是dxdy，而不是dS，说明这是一个第二类曲线积分，而不是第一类曲 线 积 分，直 接 带 入 积 分 即 可，不 需 要 将 曲 面 往 坐 标 面 投 影，即，不 需 要 有221xydSzz

11、dxdy这种操作。将曲面带入被积函数22222224444x yx yIxzdxdyydxdyy dxdy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 5页 共 14 页积分区域关于x轴对称，被积函数y是关于y的偶函数，利用偶倍奇零性质222220044(0)3222sin3x yx yyIy dxdyydxdydrrdr 13.设123(,)A 为 3 阶矩阵，若12,线性无关，且3122 ，则线性方程组Ax0的通解为_【分析与解答】答案：T(1,2,1),kk R12,线性无关，则()2rA，3122 ，则()3rA，综上()2rA则A

12、x0的基础解析中含有 1 个向量，找到一个解向量即可，根据3122 可知其系数T(1,2,1)为解，则通解可表示为T(1,2,1),kk R.当然，其它的答案也可是正确答案，例如T(1,2,1),kk R或者T(3,6,3),kk R等等。14.设随机变量X的概率密度为,02()20,xxfx 其它，()Fx为X的分布函数，EX为X的数学期望，则()1PFXEX _【分析与解答】答案：2322004()23xEXxf xdx x dx，容易求得20,0(),0241,2xxFxxx，则4123()1()1()33323231 211()1333 3PFXEXP FXP FXP XP XF 三、

13、解答题：1523小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）设函数()yx是微分方程22+xy xye满足条件(0)0y的特解（1）求()yx欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6页 共 14 页（2）求曲线()y yx的凹凸区间及拐点【分析与解答】答案：凹区间为(3,0)(3,)凸区间为(,3)(0,3)，拐点有三个分别为3322(0,0),(3,3),(3,3)ee（1）利用一阶线性微分方程的求解公式2222()()xxxdxxdxyx ee e dx C

14、ex C，由(0)0y得，0C则22()xyxxe（2）22222222()(1)xxxyx ex ex e 22223222()2(1)(3)xxxy xxexx exx e ()00,3,3y xx ，根据二阶导的符号，容易验证凹区间为(3,0)(3,)凸区间为(,3)(0,3)，拐点有三个分别为3322(0,0),(3,3),(3,3)ee16.（本题满分 10 分）设,ab为实数，函数222+zax by在点(3,4)处的方向导数中，沿方向3 4 lij的方向导数最大，最大值为 10.（1）求,ab；（2）求曲面222+(0)zax by z的面积.【分析与解答】答案：（1）1a b

15、（2）133（1）函数在点(3,4)处的梯度方向即为该点方向导数最大的方向，在该方向的方向导数值即为梯度的模长，于是先求函数的在(3,4)的梯度(3,4)(3,4)(,)(2,2)(6,8)z zax bya bx y ，根据方向可得到8463ba（0,0ab），这里要求0,0ab，原因在于(6,8)a b的方向要 与(3,4)一 致，所 以 不 仅 仅 是 平 行 还 需 要 同 向，根 据 模 长 为 10 可 得 到22(6)(8)10ab，联立另式可得，1a b （2）曲面为222(0)zxy z 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的

16、文档！第 7页 共 14 页22222222:2:22220011 4413=1 43xyDx yDx ysdSz zdxdyxydxdydrrdr 17.（本题满分 10 分）求曲线xeyxsin(0)x 与x轴之间图形的面积【分析与解答】12(1)ee000sinsinlimsinnxxxnSex dxex dxex dx设(1)sinnxnnaex dx，则0limniniSa若n为偶数，设2nk，此时sin 0 x(21)(21)(21)(21)22222(21)(21)22(21)(21)(21)222(21)2sincoscoscossin sinsinsinkkkkxxxxkkk

17、kkkkkxkkkkkxxkkkkaexdxedxexxe dxeeedxeeexxe dxeexe (21)2(21)22(21)222kxkkkkkkkdxeeaeea若n为奇数，设2 1nk，此时sin 0 x(22)(22)(22)(22)2 1(21)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)(22)(22)(21)(21)(2sincoscoscossin sinsinkkkkxxxxkkkkkkkkxkkkkxxkaexdxedx exxe dxeeedxeeexxe d(22)1)(22)(22)(21)(21)(22)(21)2 1(22)(21)2 1sin2

18、kkkkkxkkkkkkkxeexe dxeeaeea欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 8页 共 14 页(21)2(22)(21)22+1000(21)2(22)02(22)02220limlim(+)lim21lim 221lim(21)221lim2kkkknnnikknnnikknkkknknknknknkeeeeSaa aeeee eee eee其中20limnknke为一个等比级数，首项为 1，公比为21e则2201lim1nknkee则，22222221 121(1)121222(1)(1)2(1)e ee eeeS

19、eeeeee18.（本题满分 10 分）设1201(0,1,2)nnaxxdx n（1）证明数列na单调递减，且21(2,3)2nnnaann（2）求1limnxnaa【分析与解答】（1）1112121210001111nnnnnaxxdx xxxdxxxdx a则数列na单调递减接下来的证明有多种方法：法一：用分部积分法欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 9页 共 14 页2111212122000133311121222222000311222222001222201111(1)221 211(1)(1)(1)(1)2 3331

20、1(1)(1)1(1)331111()33nnnnnnnnnnnxaxxdx xxdxxdxx dxxxxnx dxnnx x dxxx x dxnnxx dxx x x 12022113312nnnndxnnaanaan法二：用三角代换sin12222000222220001sincoscotsincossin(1 sin)sinsin135+113524+224+1135(1)+224xtnnnnnnnaxxdxtt tdtttdttt dttdttdtnnnnnnnn nnnn nnnnnnnn nn 华里士1135+224nnnnn nnsin12222222-200022222200

21、01sincoscotsincossin(1 sin)sinsin357135246241357(1)24xtnnnnnnnaxxdxtt tdtttdttt dttdttdtnnnnnnnnnn nnnnnnnnnn 华里士61357246nnnn nnn则21135111+224+2113572246nnnnnnannn nnnnnnnannn nnn，得证欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 10 页 共 14 页（2）由第一问知212nnanan，则21limlim12nxxnanan法一：由于数列na单调递减，则11nnaa

22、，则1lim 1nxnaa而12nnnnaaaa，则12limlim1nnxxnnaaaa综上，1lim1nxnaa法二：设21121222211 1limlimlimlim11nnnnnxxxxnnnnnnnaaaaaAaaaaaaA AaAA 19.设是由锥面222()(1)(01)xy zzz 与平面0z 围成的椎体，求形心坐标。【分析与解答】22211200()(1)(1)3xyzzVdxdydzdzdxdyzdz 22211200()(1)(1)12xyzzzdxdydzzdzdxdy zzdz 令11x uy v wzw ，对应的雅克比系数(,)1(,)xyzuv w 222222

23、222011120001(,)(1)(,)(1)(1)(1)12u v wwu v wu v wwxyzydxdydzv wdudvdwuv wwdudvdwwdwdudvwwdw ,44zdxdydzydxdydzzyVV形心坐标为(0,)44欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 11 页 共 14 页20.设向量组1231112,3,123a为3R的一个基，111在这组基下的坐标T(,1)bc（1）求,abc（2）求23,到123,的过渡矩阵【分析与解答】（1）123,线性无关，行列式不为 0，可得4a 再由123bc 可得113

24、2 3122 3 12b cab c abbcc （3）过渡矩阵1231231 1 01(,)(,)0 1210 02 21.（本题满分 11 分）已知矩阵22 122002xA与2 1 001 00 0 yB相似，（1）求;,yx（2）求可逆矩阵P使得1P AP B【分析与解答】答案：（1）2,3 yx（2）（1）两 个 矩 阵 相 似()()41trtrxy AB，482xy AB，则2,3 yx（2）22 1232002A2 1001 00 02B思路：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 12 页 共 14 页11111111

25、1222 11 21221 11111 21 21 2(),=Q AQ Q AQ Q BQQQ AQ QBQ BQQQAQ QBP AP BP QQ令为则容易求得B的特征值为 2，-1，2对 应 的 特 征 向 量 分 别 为TTT123(1,2,0),(2,1,0),(1,2,4),，令1122(,)Q,111212 Q AQ 同理，求122Q BQ，最终11 2111=212004P QQ22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为 1的指数分布，Y的概率分布为(1),(1)1,(0 1)PYpPYpp ，令Z XY（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，X与Z不相关；（3）X与Z是否相互

26、独立？【分析与解答】（1）1,0;()0,0,xXexF xx()()()(1)(1)(1)(1)()(1)()()(1)()1()(1)(),0(1)(1),0ZXXzzF zPZ zPXY zPYPXY z YPYPXY z YpPXzpPXzpP XzpPXzpFzpF zpe zppez ,0()()(1),0zZZzpe zf zF zpez（2）222cov(,)()()()()()()()()()()()()1(1)1 2XZEXZ EXEZEXYEXEXYEX EYEX EYDXEYppp 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的

27、文档！第 13 页 共 14 页当12p 时，cov(,)0XZ，不相关（3）不独立，举个反例否定独立性即可(01,1)(01,1)(01)PXZPXXYPX 第二个等号成立的原因在于Y只能取-1或者-1，不管取哪个01X时，1XY 都恒成立，1(1)(1)(1)(1)1ZPZFppe 这样，(01,1)(01)(01)(1)PXZPXPXPZ ，不独立。23.（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为22()22e,(;)0,xAxfxx，是已知参数，0是未知参数，A是常数，12,nX XX是来自总体X的简单随机样本（1）求A；（2）求2的最大似然估计.【分析与解答】（1）2A（2）2211

28、()niixn（1）由密度函数的规范性可知()d1fx x2222222222()()()2222020edededed2122ed122xxxttxtAAAAxxxtAAtA（2）22()2221e,(;)0,xxfxx设似然函数2222()()22221112121()(;)eeiinnxxnnniiiiLfx 取对数22()2222112221()2121ln()lnelnln221lnln()22innxnniiiniixLnnnnx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 14 页 共 14 页求导222241d ln()11()d22niiLnx 令导函数为 0 得，2211()niixn故求2的最大似然估计为2211()niixn如果你发现答案整理有误，请联系下方二维码，一起探讨，如有错误我将重新整理上传。大家可以添加这两个二维码，有考研数学问题给我留言，我会积极回复。二维码中会不定期更新考研数学优质题目解析、考研短视频等内容，希望对你有帮助。微信公众号二维码（查看历史优质问题）新浪微博二维码（私信拍照提问）