2016年考研数学一真题及详细解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 1 页2016 年考研数学一真题及详细解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111A abB abC aabD aab且且且且【答案】（C）【解析】01(1)abdxxx 10111(1)(1)ababdxdxxxxx 101pdxx在（1p 时收敛），可知1a，而此时(1)bx不影响 同理，111

2、1(1)11baba bdxdxxxxx 11pdxx（1p 时收敛），而此时11bx不影响（2）已知函数 21,1ln,1xxf xx x，则 f x的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxA F xB F xxxxxxxxxxxC F xD F xxxxxxx【答案】（D）【解析】由已知可得，()()(ln)xCxF xxxCx21111111，取C 10，故选 D（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程 yp x yq x的两个解，则 q x（）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们

3、将竭诚为您提供优质的文档！第 2 页 2222313111xxAxxBxxCDxx【答案】（A）【解 析】yyx 2122 1是 一 阶 齐 次 微 分 方 程()yp x y 0的 解，代 入 得()()xp xxx2222 101，所 以()xp xx 21，根 据 解 的 性 质 得，yy122是()()yp x yf x的解。所以有()()q xxx231.（4）已知函数,0111,1,2,1x xf xxnn nnK，则（）（A）0 x 是 f x的第一类间断点 （B）0 x 是 f x的第二类间断点（C）f x在0 x 处连续但不可导 （D）f x在0 x 处可导【答案】（D）【解

4、析】由于()limxxfx0001，()limnnfn10011,故选 D。（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似 （B）1A与1B相似 （C）TAA与TBB相似 （D）1AA与1BB相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵,P使得1P APB，则 111111111111111111(1)()(),A(2)()(3)(),TTTTTTTTP APBP APBABP APBP A PBABBPAAPP APP A PBBAABBD故（）不选；，故（）不选；故（）不选；此外，在（C）中，对于111()TT

5、PAAPP APP A P，若1=P AP B，则1()TTTTP APB，而1TP A P未必等于TB，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型222123123121 323,444f x x xxxxx xx xx x，则123,2f x x x在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 3 页【答案】（B）【解析】对于二次型222123123121 323,444f x x xxxxx

6、 xx xx x，其矩阵为122212221A，接下来由0EA，可得其特征值为1235,1（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为 1,2.故二次型123,f x x x的规范形为222123fzzz，即22222231212322221(2)(2)(2)zzzzzz，对应的曲面为双叶双曲面。（7）设随机变量0,2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少【答案】（B）【解析】2XP XP 所以概率随着的增大而增大。（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验

7、E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示 2 次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）【解析】11(2,),(2,)33XBYB:24,39EXEYDXDY，21 1(1,1)9EXYP XY 所以12XYEXYEXEYDXDY 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）_cos1sin1lnlim200 xdttttxx【答案】21【解析】ln(sin)limxxxxx301122（10）向量场 zkxyjizyxzyxA,的旋度_rotA 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除

8、！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4 页【答案】1,1,0y【解析】由旋度公式得，(A),RQPRQProtyyzzxxy0 11 11、设函数(,)f u v可微，(,)zz x y有方程()(,)xzyx f xz y221确定，则,_dz0 1【答案】dydx2【解析】()(,)xxyx f xz y221两边分别关于,x y求导得()(,)(,)()()(,)()(,)xxyyzxzxf xz yx fxz yzxzyxfxz yzfxz y2121212112，将,xyz011代入得，,dzdxdy 0 12（12）设函数 21arctanaxxxxf，且 10 f，则_a【答案】

9、21（13）行列式1000100014321_.【答案】432234【解析】4 143210010100010=01+4110+2+3+4.00132+101432+1（-）（14）设12,.,nx xx为来自总体2,N 的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为 0.95的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_.【答案】8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.0250.95xuPuuP xuuxunnn 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！

10、第 5 页因为0.02510.8xun，所以0.0251.3,un所以置信下限0.0258.2xun.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知平面区域,22 1 cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.【答案】3325【解析】223cos1222222cos123coscosdrdrrddxdyxD 22422322222432cos38cos8cos8coscos3cos338dddd 22222232222322222cossin338|3sinsin8|22sin4sincos

11、38sinsin18212cos8dddd 33252sin23324222d（16）（本题满分 10 分）设函数()y x满足方程20,yyky其中01k.证明：反常积分0()y x dx收敛；若(0)1,(0)1,yy求0()y x dx的值.【答案】k3【解析】（1）特 征 方 程 为220rrk，由01k可 知，特 征 方 程 有 两 个 不 相 同 的 特 征 根，1,2244112krk 且1,20r，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6 页 由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()r xr xy xC eC

12、e 121200()r xr xy x dxC eC edx 121200r xr xC e dxC edx 121212lim1lim1r xr xxxCCeerr 由于1,20r 12012()CCy x dxrr 极限存在，故收敛.(2)由1212()r xr xy xC eC e，(0)1,(0)1yy可知，121 12 21,21111CCC rC rrk 解得1212CC 代入12012()CCy x dxrr 可知0()y x dx1kk（17）（本题满分 10 分）设函数(,)f x y满足2(,)(21),x yf x yxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1

13、,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLf x yf x yI tdxdyxy，并求()I t的最小值【答案】3【解析】(1)由2(,)(21)xyfxyxex 可知：2(,)(21)xyfxyxedx 222yxxexedxedx 2()yxexeyg 2()xyxey 又(0,)1fyy 可知()1yy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 7 页 因此 2(,)1x yf x yxey 2(,)1x yf x yxey 22()(21)(1)x yx yLtI txedxxedy 2(2

14、1)x yPxe 21x yQxe 2(21)x yPxey 222x yx yQexex PQyx 因此，积分与路径无关 22()(21)(1)x yx yLtI txedxxedy 12200(21)(1)txyxe dxedy 222tetee 2 tte (2)2()tI tte 2()1tI te ()0I t 可知 2t 有唯一驻点 2()tIte (2)10I 因此 2t 时()I t有最小值 2 2(2)2213Ie （18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源

15、于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 8 页【答案】21【解析】2(1)23Ixdydzydzdxzdxdy 21,2,3PxQy Rz 由高斯公式可知，223Ixdxdydz 21xdxdydz 120(21)xyyxDdxdyxdz 222xyDyxxxydxdy 11 220022xydxxxxydy 12（19）（本题满分 10 分）已知函数()f x可导，且(0)1f，10()2fx，设数列 nx满足1()(1,2.)nnxf xn，证明：（I）级数11()nnnxx绝对收敛；（II）limnnx存在，且0lim2nnx.【证明】1()nnxf x 11()

16、()nnnnxxf xf x 1()()nnfxx 112nnxx 121()()2nnf xf x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 9 页122111212nnnxxxxL 显然，211112nnxx收敛 因此，11nnnxx绝对收敛；（2）11nnnxx的前n项和记为nS 易知，11nnSxx，由第一问可知nS极限存在，因此limnnxA存在 1()()(0)1nnnxf xf xf()1nfx（*）i)由已知10()2fx，易知11()112nnnxfxx 不等式两边取极限，可知112AA，

17、即2A；ii)若0A，则（*）矛盾；iii)若0A，则由（*）可知(1()1fA，而10()2fx，显然矛盾 综上，02A（20）（本题满分 11 分）设矩阵1112221,11112AaBaaa 当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】2a时，无解；1a时，有无穷多解，21211133kkkkX；2a且1a时，有唯一解，01240231aaaaX 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 10 页【解析】（20）（本题满分 11 分）设矩阵1112221,11112AaBaaa 当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解

18、、有无穷多解？【答案】2a时，无解；1a时，有无穷多解，21211133kkkkX；2a且1a时，有唯一解，01240231aaaaX【解析】对BAX 的增广阵做初等变换 042132131021001),(aaaaBA，故无穷多解。时，代入得、无解。时，代入得矛盾方程，、或时）时，唯一解。且，即3)(12212102210)1AraaaaAaaA（21）（本题满分 11 分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设 3 阶矩阵23(,)B 满足2BBA，记100123(,)B 将123,分别表示为123,的线性组合。【答案】（1）0002221222221229910010098

19、9999（2）299198321001992210019912222,2121,2222【解析】（）利用相似对角化。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 11 页由0EA，可得A的特征值为1230,1,2 ，故012A.当10时，由(0)0EA x，解出此时A的属于特征值10的特征向量为1322 ;当21 时，由()0EA x，解出此时A的属于特征值21 的特征向量为2110 ;当32 时，由(2)0EA x，解出此时A的属于特征值32 的特征向量为3120 .设123311(,)212200P ，由1

20、012P AP 可得1AP P，99991APP，对于311212200P，利用初等变换，可求出110022121112P，故 9999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP （）232210099BBABBBAB ABAABABBAL，由 于123(,)B ，100123(,)B ，故9999989910010099123123123221222(,)(,)(,)221222000A ，因此，99100991009899112212312(22)(22),(12)(12),(22)(22).（22）（本题满分

21、11 分）设二维随机变量(,)X Y在区域2,01,Dx yxxyx上服从均匀分布，令 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 12 页 1,0,XYUXY（I）写出(,)X Y的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()F z.【答案】（I）23,01,0,xxyxf x y其他（II）U与X不独立，因为1111,2222P UXP UP X；（III）Z的分布函数 233220,03,1213211,12221,2zzzzzF Zzzzz0【解析】（1）区域 D 的面积31)()(210 x

22、xDs，因为),(yxf服从区域 D 上的均匀分布，所以 23(,).0 xyxf x y其他（2）X 与 U 不独立.因为11111,=0,=,222212P UXP UXP XY X 1111,2222P UP X 所以1111,2222P UXP UP X,故 X 与 U 不独立。（3）()0 01 1F zP UXzP UXz UP UP UXz UP U,0,10101P UXz UP UXz UP UP UP UP U 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！成功在于执着，祝大家考研成功！ 第 13 页,1,P Xz XYPXz

23、 XY 又230,03,0121,12zP Xz XYzzzz，3220,131,2(1)(1),1221,22zPXzX Yzzzz 所以233220,03,012().132(1)(1),12221,2zzzzF zzzzz （23）设总体X的概率密度为其他,00,3,32xxxf，其中，0为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本，令321,maxXXXT。（1）求T的概率密度（2）确定a，使得aT为的无偏估计【答案】（I）T的概率密度 899,00,zxxFx其他（II）109a 【解析】（1）根据题意，123,XXX独立同分布，T的分布函数为 123123()max(,),TF tPXXXtP Xt Xt Xt 31231 P Xt P Xt P XtP Xt 当0t 时，()0TF t；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！第 14 页 当0t 时，3293903()tTxtF td；当0t 时，()1TF t，所以899,0()0,Tttftothers。（2）89099()10tE aTaETatdta，根据题意，aT为的无偏估计，则9()10E aTa，即109a