2001数学三解析.pdf

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1、2001年数学(三)真题解析一、填空题【答案】-j.1 _a_【解】当Q=1时，由ALaKl,，则K对L的弹性为dK/dL aK/L=J(2)【答案】=1.2Wt+2.【解】由题意得W,满足的差分方程为W=1.2W+2.(3)【答案】一3.【解】口丨=住+3)住一1尸，因为r(A)=36=P|(X+Y)-E(X+Y)|6 =.6 丄Z(5)【答案】F,(10,5).X【解】由X,N(0,4),得N(0,1)(0,当0丨工一a丨&时,x-*a JC aA)0.x a当工 (a&,0；当z W(a,a+5)时，由工一 0得fx)V 0,于是x=a为f(x)的极大值点，应选(E).方法点评：本题考查

2、函数极限的保号性与函数极值的判别方法.判断函数极值点的步骤及方法如下：(1)首先求出函数的定义域；(2)在定义域内找出函数的驻点及不可导点；(3)对驻点或不可导点判断是否为极值点，判别方法有两种，即第一充分条件与第二充分条件.这里需要补充两点：(1)若 fa)=(a)=(a)=0,但 f(2k(a)H 0,则 z=a 为 fO 的极值点，其中当()o时，#=a为yQ)的极小值点；当/(2i)(a)VO时，工=a为)的极大值点；(2)若 yz(a)=f，f(a)=/2n(a)=0,但/0)；设X,Y为两个随机变量，若=一1,称随机变量X,Y负相关，其充分必要条件为 PY=aX+b=1(a 0).

3、解得sin ttdj?2,三、【解】方法一=0,dy=yJCAz（工一z）ex=1-:-Ax sinQ n）于是du=df ydj?3x jc3f3yL sin（j?n）3z方法二 u=两边求微分9得血也+知，+孤ox dy dz求微分，得exy（j/djr工 sin（j;一 n）e=-X N解得于是故du四、【解】dy=一 dj?,xsin（z n）（工一dz=:-r djc，sin（H n）2+sin（jc 一 z）一（re 一 N）esin（H n）3f y t df 3x X dysin（j;一 n）（工 一 N）e sin（j?一 n）lim=lim（l+-xOO Z C Hf 8

4、JC CX由微分中值定理得/（j：）fx 1）ff（_zlVWVz）,由 lim/Q）=e 得=e，于是 e2c=e,故 c=.x-*-Lt五、【解】如图所示，令Di=(z,y)丨0#1,攵生夕丢乞,D2=(x,j/)|y x 冬一 jy,1 W y 0，贝UD）dr dy=JJy dz dy+jjzy e 2 dr djy D D五题图由奇偶性及对称性得+丸宁jpcjy e 2 dr djy=DD1_严jydy-irr 亠 dzdj；+TyeD2112(T 2-1一 l)dj?=I(X 2 l)djcJ 02故所求积分=三六、【解】抛物线与工轴交点的横坐标为工=0及工抛物线与鼻轴围成的面积为

5、9_(px2+qx)do-o3 q 6/2x+3/=5,”由 2 得 Px+(l+q,)a:5 0,x J30、nx=e ln(l 一 x)(1三工 VI).W=Px 2+qx因为直线工+夕=5与抛物线y=pj：2 qx相切,所以 =(1+q)2+20卫=0,即 p=-(1+q)2 故 S200q33(1+q)4由S_200q2(3-7)3(1+汀2 dz dy=0,而S=jjj/djr dy=D=0,得 q=3,IP且当 0 Vq0,当 q3 时，S VO,a 225故当7=3时面积最大，此时p=-，最大面积为S=.b oZ七、【证明】令(x)=t ex f(a:),由积分中值定理得1 _

6、r 1 1/(I)=k jc e1_J/(j;)dz=怡 ce1_t/(c)ncJr/Xc),c W，J 0 k k于是 1 e_1/（l）cecf（c），即（c）=卩（1）,由罗尔定理，存在$6（c,l）U（0,1），使得卩（）=0.而卩（z）=e-x E/（j;）+jcfoc）且 e_J 工 0,所以 y（e）-e/（e）+e/,（e）=0,故y,（e）=（i-e_1）/（e）.八、【解】由咒（z）=几（h）+xM_1 ex，得（工）一f n（je）xnx ex，解得 几（z）=（花”一鼻仏卜“血吐+C）=（+才+c）己,p e由/n（1）=9得C=0,于是几（工）=一x一 nen几(工)

7、=n=l n=l九、【解】(1)方法一1因为方程组AX=fiAX=fi有解但不唯一，所以r(A)=r(A)3,于是=(a+2)(a l)2=()9 即 a=2 或 a=1，11aa1a11因为当a=1时,r(A)=lr(A)-2,方程组A X=fiX=fi无解，故a=2.1(11a1(11 方法二 A A =a11卜0 a 1 1 a 0；I11一2/0 1a 1一a2:2 a11a 1a1 a2 a a200、02 一 a a2=09、2 a H 0 92 a a2=C)92 a=0 9故 a=2.2 a0即a当=1时，因为r(A)=lr(A)=2,所以方程组无解，故a工1即a当=2时，因为r(A)=r(A)=2 0.977=0(2),得 1 000；10/7 2,解得兀 98.019 9,即最多可以装98箱，可以保证不超载的概率大于0.977.十二、【解】二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为，夕)=lWz W3,lW；yW3,其他.U 的分布函数为 Fu(M)=PUCu=P|XY 丨“=J fCx,y)dxdy,xy|当 u VO 时，Fv(u)0；当 0 u 2 时，Fu(u)=1 -当u 2时9 Fu(况)=1,即 0,Fu(%)=21 41,于是U的密度函数为pS)=0 V%V 2，其他.2 一 u%V 0 90 W 况 V 2 9u三2今