2023年中考数学一轮复习17圆（上海）（解析版）.pdf

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1、专题1 7圆忸命题趋势圆的有关方础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴 题；圆周角定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的连心线的性质。在 知 巧导图定义点和圆的位置关系直线和圆的位置关系圆有关的性质正多边形和圆基本性质相切垂径定理及推论圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆周角定理园内接四边形相交相离三点定圆方法反证法相离相切相交判定百相交弦定理及推论切割线定理及推论圆和圆之间的位置关系.半径、边心距、中心角计算“正 多 边 形 边长、面积的计算亩 圆周长，弧 长，组合图形的周长画 圆面积，扇 形，组合图形的面积定义

2、圆锥弧长及面积公式侧面积、全面积的计算外离外切相交内切内含存重思考向-、圆的有关疵念垂径定理一、与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫圆.这个固定的端点0 叫做圆心，线段0A叫做半径.以 0 点为圆心的圆记作。,读作圆0.特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.确定圆的条件：圆 心；半 径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆：3）半径相等的圆叫做等圆.弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫

3、做直径，并且直径是同一圆中最长的弦.z-弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧.以A、B为端点的弧记作A B,读作弧A B.在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.点与圆的位置有三种：位置

4、关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d r o点P在0。的外部.点在圆上点在圆周上d =r o点P在0。的圆周上.点在圆内点在圆的内部d r o点P在0。的内部.三点定圆的方法：1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点0为圆心，以0 A的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.2）经过两点A、B的圆：以线段A B中垂线上任意一点0作为圆心，以0 A的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个.3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段A B与BC的中垂线的交点，而这个交点0是唯一存在的，这样

5、的圆有唯一一个.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.二、垂径定理对称性1 .圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线2 .圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造R T ,用勾股，求长度；半 径2二 弦 心 距2十 弓 弦 长）22）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.-A一、单选题1.下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦.其中正确的有（）A.1 个 B.2 个

6、 C.3 个 D.4 个【答案】A【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项.【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；正确的只有一个，故选：A.【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大.2.已知0 A=4,以。为圆心，r 为半径作。0.若使点4 在。内，则 r 的值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D 分析根据点A 与。的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可.【解析】:已知0 4=

7、4,以。为圆心，r 为半径作。.若使点A在。内，.点A 到圆心的距离应该小于圆的半径，.圆的半径应该大于4.故选：D.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大.3.过。内一点M 的最长弦为10cm,最短弦长为8 c m,则 OM的 长 为（）A.9cm B.6cm C.3cm D.cm【答案】C【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求0M.【解析】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如 图 所 示.直 径 于 点 M,则 ED=lOcm,AB=8cm,由垂径定理知：点 M 为A 8中点,*.

8、AA7=4cm.,半径 0A=5cm,，OM2=OA2-AM2=25-16=9,0M=3cm.故选：C.【点睛】本题主要考查了垂径定理,连接半径是解答此题的关键.4.下列说法正确的是（）A.等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可.【解析】解：A.同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确:及平 分 弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误;C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误;

9、D 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以。选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点.灵活运用相关知识成为解答本题的关键.5.如图，在。中，于点。，4 力的长为3 c m,则弦4 8 的 长 为（）B.6cm【答案】BC.8cmD.10cm【分析】根据垂径定理求出AD=BD=3cm即可.【解析】解：为非直径的弦，。，回，.AD=BD=3cm,AB=AD+BD=6cm.故选B.【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题关键.6.已知。0 的直径AB=10,弦 CD_LA8于点M,若 OM：0A=3：5,则弦AC的

10、长度（）.A.245 B.46 C.3 D.2亚或4亚【答案】D【分析】分两种情形：当点M 在线段0A 上或点M 在线段A 0 的延长线上时，分别求解即可.【解析】解：如 图 1,弦 S L A B 于点M.若 0M：04=3：5,CM=y/oC2-O M2=4，心yJCM2+AM2=4 V5;如图 2,AB=10cm,弦 CD_LAB 于点 M.若。M：0A=3：5,:,CM=JOC2-OM。=4,，AC=yJcM2+AM2=2#，综上所述：弦 AC的长为4右 或 2右.故选：D.【点睛】本题考查J勾股定理，垂径定理.解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.7.如图，已知R

11、S ABC中，Z C=90,ZA=30,A C=6,以点B 为圆心，3 为半径作则点C 与。8 的位置关系是（）A.点 C 在。B 内 B.点 C 在。B 上 C.点 C 在。B 外 D.无法确定【答案】C【分析】欲求点C 与。B 的位置关系，关键是求出8 C,再与半径3 进行比较.若 d r,则点在圆外.【解析】解：在R SA B C 中,NC=90。,ZA=30,AB=2BC,有勾股定理得：A B2-BC2=A C2,即（2a 17-BC2=62,解得：8 c =2石，以点B 为圆心，3 为半径作。8,rd,.点C 在。B 外.故选：C.【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含3 0 角

12、的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中，3 0 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键.8.如图，4B 为。的弦，点 C在 AB上，AC=4,BC=2,CDLOC交。于点D,则 CD【答案】C【分析】过点。作。于点,连接OA,O D,根据垂径定理可得AE=BE=3,从而得到 C E=1,然后设O E=x,根据勾股定理可得OC2=OE-+CE2=X2+1,OB2=OA2=OE2+AE2=X2+9,从而得至CD2=OB2-OC?=8，即可求解.【解析】解：如图，过点。作OELAB于点E,连接。4,OD,：.AEBE=-A B,2：AC=4,BC=2,BA=6,：.A

13、E=BE=3,:CE=T,设 OE=x,：.OC2=OE2+CE2=X2+1,OD2=OA2=OE2+AE2=x24-9,VCD1OC,Z.CD1=OCT-OC2=x2+9-(x2+1)=8,二8 =2板 或-2正(舍 去).故选：C【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.二、填空题9.平面直角坐标系内的三个点4(1,一3)、8(0,3)、C(2,3),确定一个圆.(填“能”或“不能”)【答案】不能【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆.【解析】解：(0,-3)、C(2,-3),；.BC x 轴，而点A(

14、1,-3)与C、8共线，.点A、B、C共线，三个点A (1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能确定一个圆.故答案为：不能.【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.1 0.下 列 说 法 正 确 的 是 (填序号).半径不等的圆叫做同心圆；优弧一定大于劣弧；不同的圆中不可能有相等的弦；直径是同一个圆中最长的弦.【答案】【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.【解析】解：半径不等的圆叫做同心圆，错误；优弧一定大于劣弧，错误；不同的圆中不可能有相等的弦，错误；直径是同一个圆中最长的弦，正确.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆

15、的有关概念，难度较小1 1.A ,5是半径为3的O上两个不同的点，则弦A 8的 取 值 范 围 是.【答案】0 钻4 6【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解.【解析】解：。的半径为3,。的直径为6,，。的最长弦为6,V A ,B是。上两个不同的点，：.0 A B 6.故答案为：0=3+5=8,ZA=3 0 ,利用含30度的直角三角形三边的关系可得到OH=1 O A=4,再利用勾股定理计算出HF,由EF=2H F得到答案.【解析】解：过。点作防于连O F,如图在 RtDAOH 中，AO=AD+Q=3+5=8,ZA=30,贝 1JOH=|oA=4,在 RtDOHF 中，O H =4,O F =

16、5,则 H F=yJ OF2-OH2=3，贝lj EF=2H F=6cm.故答案为6.【点睛】本题考查了垂径定理，含 30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键.14.如图，在矩形A8CD中，A B =2,A D =,以顶点。为圆心作半径为 的圆.若要求另外三个顶点4 8,C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 的取值范围是【答案】l r r时，点在圆外；当 d=i时，点在圆上；当 d r时，点在圆内.【解析】解：在直角A A B D 中，CD=AB=2,AD=1,则 BD=j2，+12=5由图可知1 上，故答案为：l/3CD4【分析】先找出折痕CD取最大值

17、和最小值时，点 E 的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得.【解析】由题意，有以下两个临界位置：(1)如图，当被折的圆弧与直径A B 相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O 重合，A O(E)B连接OD,由折叠的性质得：。尸=EF=；OE=1,OEJ.CD,OD=2,在 Rt/DOF 中，D F =O E r-O F2=6，由垂径定理得：C D =2DF=26;(2)当 CD和直径AB重合时，折痕C D 的长度最长，此时CD=AB=4,又 要使被折的圆弧与直径A B至少有一个交点，:.CD4；综上，折痕C D 的长度取值范围是2 g VCZ)4,故答案为：2C D 4 .【

18、点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键.出重廊考向三、圆心角、弧:弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等意例引布一、单选题1.下列说法中，正确的是()A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件.【解析】A 中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补

19、构成新圆；8中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；。中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握.2.如图，在一个圆内有AB、CD、EF，若AB+CD=EF，则AB+C。与EF的大小关系是A.AB+CD=EF B.AB+CDEF C.AB+CDEF【答案】D【分析】在弧EF上取一点M,使EM=C。，推出=根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=FM,CD=EM,根据三角形的三边关系定理求出FM+EMFE即可.【解析】如图，在弧EF上取一点M,使EM=C。，则 F

20、M=AB所以 AB=FM,CD=EM,在AMEF 中，FM+EMEF,所以 AB+CDEF,故选：D.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键.3.在.。中，AB,CD为两条弦，下列说法：若=则AB=C O;若AB=CO,则 AB=2C。；若 AB=2C,则弧 AB=2 弧 CD；若 ZAO3=2NCOD,则 AB=2C.其中正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.【解析】若 钻=8,则 48=CD，正确；若AB=CQ，则A3=C）,故不正确；由AB=2C）

21、不能得到弧AB=2弧 C D,故不正确；若 NAO8=2NCO,则 =2C,错误.故选A.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.4.如图，扇形OAB的圆心角为90。，点 C、D 是 AB的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F,下列说法错误的是（）A.AE=EF=FB B.AC=CD=DBC.EC=FD D.Z DFB=75【答案】A【解析】试题分析：利用点C,D 是AB的三等分点，得出AC=CD=DB,NAOC=NCOD=NBOD=；NAOB=30。，再

22、求出NOBA的度数，利用外角求出NBFD的度数，通过证 A O EABOF,得出OE=OF,则 EC=FD.连接A C,在4 ACE中，求证AE=AC,贝 ij可证CD=AE=BF,再根据CDEF得 AE、EF、F B 关系.解：点 C,D 是AB的三等分点，AC=CD=DB,/AOC=/COD=NBOD=ZAOB=30,3选项B 正确；VOA=OB,ZAOB=90,A ZOAB=ZOBA=45,ZAEC=ZOAB+ZAOC=45o+30=75,同理/DFB=75,故选项D 正确./.ZAEO=ZBFO,在AAOE 和ABOF 中，ZAEO=ZBFO,ZAOC=ZBOD,AO=BO,/.AOE

23、ABOF,/.OE=OF,EC=FD,故选项C 正确.在AAOC 中，VOA=OC,.,.ZACO=ZCAO=-(180-30)=75,2.,.ZACO=ZAEC,，A C=A E,同理 BF=BD,又：AC=CD=BD,；.CD=AE=BF,在 AOCD 中，OE=OF,OC=OD,，EFEF,故 A 错误.故选A.5.如图，C、D 为半圆上三等分点，则下列说法：AD=CO=B C;N A O D=/D O C=ZBOC；AD=CD=OC：AAOD沿 OD翻折与ACOD重 合.正 确 的 有()A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个【答案】A【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角

24、相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可.【解析】；C、力为半圆上三等分点，A D =C D =B C 5,：CD=CO,：.ZODC=ZAOD=35,OD=OE,：.ZODC=ZE=35,：.Z DOE 180-Z ODC-Z 180-35-35=110,/AOE=/OOE-NAO=110-35=75,Z BOE=180-ZA 0E=180-75=105,BE的度数是105。.故答案为105.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.9.已知,如图以AB为直径的。O,BC，AB,AC交。O 于点D,点E 在。0 上，若NDEB=2

25、5。,则 NC=_【答案】65【解析】试题分析：因为8 0 =8。，所以NDEB=NDAB=25。，因为BC_LAB,所以ZA BC=90,所以NC+NDAB=90,所以/C=90-NDAB=90-25=65.考点：1.圆周角定理及其推论、2.直角三角形的性质.1 0.如图，在平行四边形ABC0中，Z C=6 0 ,点 A,8 在O。上，点。在优弧A QB上，D4=0 8,则Z A O D的度数为.【分析】连接0 B,先由平行四边形的性质得/04B=N C=6O。，再由等腰三角形的性质得Z O B A =ZOAB=60,则NAO8=60。，然后证 A=OB，即可得出 NAOO=150。.【解析

26、】解：连接。B,如图所示：.四边形ABC。是平行四边形，二/O A 8=/C=6 0。，：OA=OB,./0 8 A =NOAB=60。，N A 08=180-60-60=60,：DA=DB,DA=DB .N 40D=N B 0=g（360-60）=150,故答案为：150。.【点睛】此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质.三、解答题1 1.已知：如图，在。中，弦 A B 与半径OE、OF交于点C、D,A C=B D,求证:（1）OC=OD：（2）AE=BF-【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明：连接OA,O B,证明AOACg/X

27、OBD（SAS）即可得到结论;（2）根据 O A C gA O B D,得到N A O C=N B O D,即可得到结论.【解析】（1）证明：连接OA,OB,VOA=OB,.ZOAC=ZOBD.在ZkOAC 与ZkOBD 中,OA=OBAC=BDAAOACAOBD(SAS).，OC=OD.(2)VAO A C A O B D,.ZA O C=ZBO D,AE=BF-【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明4 0 A C 丝AOBD 是解题的关键.1 2.如图，M B,是。的两条弦，点 A,C分别

28、在弧MB,弧上，且 A 8=C ,点M是弧AC的中点.(I)求证：MB=MD；(2)过。作 O E _L M B 于 E,OE=1,。的半径是2,求 的 长.【答案】(1)见解析；(2)2G【分析】(1)根据圆心角、弦、弧、弦 心 距 之 间 的 关 系 得 出 即 可;(2)根据垂径定理，勾股定理求出ME,进而求出MB即可.【解析】证明：(1)-：A B=C D,A B=C D，又 ,点”是弧AC的中点，*-A B+A M=M C+C D 即：M4MD，：.M B=M D i(2)过。作 O E J _M B 于 E,则例E=BE,连接0 例，在 R3 MOE 中，O E=1,。的半径。M=

29、2,ME=yloM2-OE2=722-l3=G，:.MD=MB=2ME=2B【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提.1 3.如图，过、。的直径AB上两点,N,分别作弦CREF,CD/EF,AC=BF.（2）AM=BN.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接OC、O F,根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到NA=/OCA=NBFC=NB,等量代换得至l/BFC=NACF.根据平行线的性质得到NAMC=NANE.根据全等三角形的性质即可得到结论.【解析】解：（1）如图，连接OCOF

30、.ZCOA=ZBOF,：.ZCOB=ZFOA.BC=AF-(2)ZCOA=ZBOF,OC=OF=OA=OB,：.ZCAB=ZOCA=ABFC=ZABF,:.ZBFC=ZACF.,CDHEF,ZAMC=ZANE.又.A B N F =Z A N E.:.ZAMC=Z B N F.在：A M C和B N F中，.Z A M C =4BNF,-ZCAB=ZABF,A C =BF,:.A M C a B N F（AAS）,A M =B N .【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.1 4.已知是。0的直径，点C在OO上，。为弧8 c的

31、中点.（1）如图，连接A C,AD,0 D,求证：O O A C；（2）如图，过点。作Q E L A B交（D O于点E,直径E F交A C于点G,若G为A C的中点,。的半径为2,求A C的长.图 图【答案】（1）证明见解析；（2）2夜.【分析】（1）连接50,由。为A C的中点，得B D =C D，则N B A O =N C 4 ，由等腰三角形 的 性 质 得=推出N C 4 D=N A 0,即可得出结论；（2）由垂径定理得OF,AC,由平行线的性质得D OLEV,贝hO OE是等腰直角三角形，Z O E D =45,易证 O G A是等腰直角三角形，得 BG=O B,再由B C =2 8

32、 G,即可得出结2果.【解析】（1）证明：。为3 c的中点，BD =C D，：.Z D A B =ZCAD,O D =O B,，ZDAB=ZADO,：.Z C A D =ZADO,:.OD/ACi(2)解：G为AC中点，O F r AC,A C =2AG由(1)得：OD/1 A C,:.DOEF,A D O E是等腰直角三角形，NOE。=45,DE A.AB,:.NEOB=ZAOG=45,是等腰直角三角形，AG-OA-x 2=2,2 2AC=2AG=2s/2.【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和

33、平行线的判定与性质是解题的关键.1 5.已 知。的直径/出=4,弦 AC与 弦 交 于 点 E.且 O)J_AC,垂足为点凡(1)如 图 1,如果AC=B ),求弦AC的长；(2)如图2,如果E 为弦5。的中点，求【答案】(1)A C =2 g;(2)红2【分析】(1)连接O C,由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出N,通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出：(2)连接2 C,根据4B 为直径，得到NAR9=NC=90。，再得到NO=N E B C,证明D E F 空 一 BEC(ASA),求得是 的中位线，设。尸=f,则根据B C=D F,求出的值，由勾股定理求出的值，

34、再求出的值，即可求解.【解析】如 图，连接。C，D.图1ODAC,AD=CD,ZAFO=90又 AC=BD,AC=BD B P AD+CD=CD+BC/3则AC=24尸=2石；如图2,连接BC,AB为直径，ODAC,:.AFO=ZC =90,:.O D/BC,:.ZD =ZEBCDE=BE、NDEF=NBEC,D EF BEC(ASA):.BC=DF,E C=EF,又,AO=OB,.O F是 4 5 C 的中位线，设 OF=f,则 8C=D b=2f,DF=DO-OF=2-t,:.2，=2r解得：/=：2,则。尸=8C=4,AC=JAI-BO?=J42-3=播3 V 9 311 2 r:.EF

35、=-F C =AC=-&2 4 3：.EF:DF=-y/2:-=3 3 2【点睛】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键.3t重田考向四、直线与圆、血与圆的位置关系1、直线和圆的位置关系位置关系：设。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离空直线与圆没有公共点d r=直线1与。相离相切直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r=直线1与O 0相切相交x/1直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线d r）,两圆圆心距为d,则两圆

36、位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离r I,1 二，4两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部.d R +r两圆外离【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况.定 理 1:相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。定理2：相切圆的连心线经过切点。外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部.d =R +ro两圆外切相交两个圆有两个公共点.R-r d R +r 两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在

37、另一个圆的内部.d =R-r=两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例.0 W d R+r：外切，则 =/?+-；相交，则R-r d R+r；内切，则d=R-r；内含，则d R r.【解析】解：两圆半径之差=6-2 =4=圆心距，两个圆的位置关系是内切.故选：B.【点睛】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解.3.（2023春 上海九年级专题练习）已知同一平面内有。和点A 与点8,如果。0 的半径为 6 c m,线段O4=10cm,线段。8=6cm,那么直线AB与。0 的位置关系为（）A.相离 B.相

38、交 C.相切 D.相交或相切【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离.【解析】解：的半径为10cm,线段O4=10cm,线段O8=6cm,.点A在以。为圆心，1 0 c m长为半径的圆上，点8在以。圆心，6 c m长为半径的。上当A 8 _ LO B时，如左图所示，由。8=6 c m知，直线A B与。相切；当4 8与O B不垂直时，如右图所示，过点O作于点。，则O D O B,所以直线A 3与。相交；直线AB与。的位置关系为相交或相切故选：

39、D.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系.4.（2 0 2 3春 上海九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是（2,6），圆P的半径为2,下列说法正确的是（）A.圆尸与x轴有一个公共点，与），轴有两个公共点B.圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点C.圆P与x轴、y轴都有两个公共点D.圆P与x轴、），轴都没有公共点【答案】B【分析】点P到x轴的距离是G，到），轴的距离为2,圆P的半径是2,所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可.【解析】解：尸（2,73）.圆P的半径为2,2=2,73

40、r,直线和圆相离，没有交点；心r,直线和圆相切，有一个交点；d V r,直线和圆相交，有两个交点.5.（2 0 2 2春 上海闵行九年级校考期中）如图，在R ta A f i C中，Z C =9 O ,A C =4,B C =1,点。在边B C上，8 =3,4的半径长为3,。与 A相交，且点8在。外，那么：D的半径长，的取值范围是（）AC D BA.l r 4 B.2 r 4 C.lr8 D.2 r =5,根据圆与圆的位置关系得到r 5-3 =2,由点8 在（力外，于是得到r 53=2,BC=7,*-BD=4）1点8在（。外，r 4,/.力的半径长，的取值范围是2 r r 时，点在圆外；当时，

41、点在圆内.6.（2022 上海九年级专题练习）在四边形4 3 C 3 中，AD/BC,N48c=90。，AB=4,3 c =4,A=1 （如图）.点。是边8 上一点，如果以。为圆心，为半径的圆与边BC有交点，那么。的取值范围是（）BDCA.2 O D =Q E =x,贝I J O C =5-x,在R tZ X C O E中，si n C =O C D C 54O E=(5 x),4由 O D =O石得，x =-(5-x),解得x =92 0；9如图2,当以0。为 半 径 的。过点B时，半径最大，过点。作于巴D设O O =O 8 =y,则O C =5-y,八 .OF DH 4在 R t A C

42、O F 中，si n C =-OC DC 544 3?=-（5-y）=4-y ,F C =-（5-）=3-1 y ,3 BF=4-FC =+-y95在 R tZ X B O/中，由勾股定理得，BF2+OF2=OB2即（1+|4+（4 京）2 =9，Q 4：Q C解得y=U，即0的最大半径为弓，2 6 2 6o n Q C所以当以。为圆心，。为半径的圆与边B C 有交点，那么。的取值范围为3记，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键.二、填空题7.（2 0 2 3 秋 上海 九年级

43、校考期末）已 知。|与 两 圆 外 切，0 0 2=5,。1 的半径为3,那 么。2 的半径/为.【答案】2【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果.【解析】。与。2 两圆外切，.5 =3 +r,r =2,故答案为：2.【点睛】本题考查/两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键.8.（2023春上海九年级专题练习）在 Rt ABC中，ZABC=90,45=6,8C=8,分别以点4 C 为圆心画圆，如果点8 在 A上，C 与，A相交，且点A 在C 外，那 么 C 的半径长 的 取 值 范 围 是.【答案】4r=6,CD=10-6=4,C 与

44、-A 相交，r 4,点A在（C 外，eC 的半径小于10,即r 的取值范围是4 r 10,故答案为:4 r 10.【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边AC的长是解题的关键.9.（2023春 上海 九年级专题练习）已知 心4、4 之间的距离是5 c m,圆心O 到直线4的距离是2 c m,如果圆。与直线乙、&有三个公共点，那么圆。的半径为 cm.【答案】3 或 7【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题.【解析】解：设圆的半径为，tm如图一所示，故答案为：3 或 7.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想

45、解答.10.（2022春上海.九年级校考阶段练习）如图，在 RtA4BG中,ZC=90,BC=9,AC=12,点。在边AB上，且8 0 =2 0 4,以点。为圆心，r 为半径作圆，如 果。与RtZxABC的边共有4 个公共点，那么半径7 取 值 范 围 是.【答案】3 r 5【分析】利用勾股定理求出3 0 =10,OA=5,作ODLAC交于点。，以。为圆心作圆,结合图形可知：3 ，BO=2OA,：.BO=10,OA=5,作 OD_LAC交于点O,以。为圆心作圆，如图:V ZC=ZGn4=90,ZA=ZA,.AO=OD,即RI,一5=OD 解得：八。八 =c 3,AB BC 15 9结合图形可知

46、：当半径等于3 的时候，交点为3 个，当半径等于5 的时候，交点为A、E、E 3个，当3 rv 5 的时候，交点为4 个，二半径，取值范围是3 r 5.故答案为：3 r 5【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解.11.（2023春上海 九年级专题练习）如图，直线AB,CO相交于点O,/4O C =30。，圆 P的半径为cm,动点P 在直线AB上从点O 左侧且距离O 点 6cv处，以 lcm/s的速度向右运动，当圆P 与直线CQ相切时，圆心P 的运动时间为 s.C【答案】4 或 8#8或 4【分析】求得当O P 位于点。的左边与CD相切

47、时f 的值和O P 位于点。的右边与C。相切时 f 的值即可.【解析】解：当点P 在射线OA时O P 与 CZ）相切，如 图 1,过 P 作 PE_LC）于 EpDA 5T 图1P E cm,ZA O C=3 0 O P=2P E=2cm，G）P的圆心在直线A B上向右移动了（6-2）c m后与C O相切6-2.OP移动所用的时间=j=4 （秒）；当点P在射线0 B时。尸与C O相切，如图2,过尸作PE _ L C 于EP F 1 cmN A O C=N O O B=3 0 O P=2P F=2cm.G）P的圆心在直线4 B上向右移动了（6+2）c m后 与 相 切，。移 动 所 用 的 时

48、间=彳=8（秒）当O P的运动时间为4或8秒时，G）p与直线C。相切.故答案为：4或8.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含3 0 的直角三角形，解题的关键在于分点产在射线O A和点P在射线0 8两种情况进行计算.1 2.（2 0 2 1上海闵行九年级期末）如图，在Rt A B C中,Z A C B =90 ,A B =5,B C =3,点P在边A C上，P的半径为I,如 果/与 边B C和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是.B【分析】根据勾股定理得到A C=4,然 后 找 出 P 与边BC、AB相切的临界点，根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】解：在 Rt ABC中，4

49、 c B =90,AB=5,BC=3,由勾股定理，则 AC=j52-3z=4,当：P 与边BC相切时，则点C 恰好为切点，此时PC=1；当UP 与边AB相切时，如图，作 PD_LAB,BV ZA=ZA,ZC=ZADP=90,/.ABCAAPD,.AB BC53TAP=-,3P C=4-=-3 37线段PC长的取值范围是1 P C (.,7故答案为：IPC相切，切点为M；PC 最大值为圆P 与圆E 内切，切点为Q,由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题.【解析】解：根据题意可知：PC 的最小值为圆P 与AO相切，切点为M,如图所示：PM1AD,在直角梯形A8C。中，*,AD/BC,：

50、.ZABC=Z4=90,.四 边 形 是 矩 形，PM=AB=PC=3,PC 最大值为圆产与圆E 内切，切点为Q,PC=PQ=PE+EQ=3+1 =4,当PC=PA时，此时圆P 与线段AO开始有2 个交点，不符合题意,P C =PA=x,则8P=8 C-P C =6 x,4 B =3,/.（6-X）2+9 =X2,则PC长度的取值范围是丁 P C 4 4 或 P C =3.4故答案为：与 P C M 4 或 P C =3.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.三、解答题1 4.（2 0 2 3 春 上海 九年