2023年中考数学一轮复习18圆压轴题（上海）（解析版）.pdf

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1、专题1 8 圆压轴题忸命 题趋势以圆为背熹的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例（2 0 2 0 年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力出知识 导 图考点一定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；考点二定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；考点三定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；考点四定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；考点五动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系;考点六动圆结合内切直角三角形

2、，三角形相似，线段比，圆位置关系；考点七动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系：考点八动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。典的引颔一、解答题1.(2022.上海嘉定 统考二模)在半圆。中，A 3为直径,AC,A D为两条弦，且NCAD+ND4B=90.(2)如图2,点尸在直径A 3上，D F 交 A C 于点E,若 A E=D E,求证：AC=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下，连接B C,若 A尸=2,B C=6,求 弦 的 长.【答案】(1)见解析(2)见解析 2百【分析】(1)连接8。、C D,先证N O 8A=/D 4C,再证/O C 4=/D 4 C,可得

3、出AD=C),即可推出结论；(2)连接8 0、C D,过点。作。G_L 4c于点G,则/。G4=90。，可证得OG垂直平分A C,得出AC=2AG,再证AO尸丝D 4 G,推出AG=O凡 即可得出AC=2O尸；(3)取 8 c 中点”，连接 OH、O D,贝 lj BH=C”=gBC=3,O H A.B C,证 R m OEDgRtA BHO,推出OE=B/=3,O D=O A=5,则在RnOE中，求出Q E的长，在山AE。中，可求出AO的长.(1)ZADB=90.ZDBA+ZDAB=90ZDAC+ZDAB=90.ZDAC=ZDBA又 NDCA=NDBA，ZDAC=ZDCA；.AD=CDAD=

4、CD(2)证明：如图：连接30、C D,过点。作DGL AC于点GD,-:.ZDGA=90由知AD=CD.QG垂直平分AC/.AC=2AGAE=DE:.ZADF=ZDACZDAC+ZDAB=90ZADF+ZDAB=90:.ZDFA=ZAGD=90又 AD=DA:./ADF AZMG(AAS)DF=AG:.AC=2DF(3)解：取 8C 的中点“，连接 0月、0 D,则 8=C”=gBC=3,OH IB CD/-.OA=OB二.OH是 一 ABC中位线A C=2 O H由(2)知 A C=2。/O H=D FO D=O B.RtA O F D 处 RtA BHO(HL)：.0F=BH=3OD=O

5、A=AF+OF=2+3=5在 R f/X O F D 中，D F2=O D2-O F2=52-32=1 6，在用 A E D 中，A D=d A F2+DF?=正 2 +1 6=2 6【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明N A F Q=9 0。，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等.2.(2 0 2 1 春上海徐汇 九年级统考阶段练习)已知：。的半径为3,。(7 _ 1 弦43,垂足为。，点 E在OO上，N C O =N B O C,射线C 与 射 线 相 交 于 点 F .设 A 8 =x,C E=y,(1)求 y

6、与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；(2)当A O E F 为直角三角形时，求 的 长；(3)如果3 F =1,求 E 尸的长.【答案】(l)y =j 3 6-X2，函数定义域为(0%6)A B =3&或35 7 5 或I【分析】(1)过点。作 OHLC E,垂足为“，先 利 用 垂 径 定 理 得 到=E HC =b，然后利用勾股定理求得。0=运,最后通过证 O Q B 丝 E H。即可2 2 2得到E H=OD,求得结论；(2)当 O E F 为直角三角形时，存在以下两种情况：若/O F E=9 0。；若/E O F=9 0 分别求解即可；分两种情况当C F=O F=O B B F=

7、2 时，可得：C F 0 s/C 0 E；当 C F=O P=03+8产=4 时:可 得：zC F 0 sX C 0 E、利用相似三角形的性质即可求解.(1)过点。作 0”，C E,垂足为“，在圆。中，。_ 1_弦囚&0H上弦CE,AB=x,CE=y f：.BD=-A B =-xf EH ECy,2 2 2 2:在 RtA ODB 中，OD2+BD2=BO2，0B=3,工OD=加 工,2,：0C=0E,：.NECO=/CEO,/NEC0=NB0C,：.ZCEO=ZBOC,又 NODB=NOHE=90。,0E=0B:A O D B 义/XEHO：.EH=OD,.y 36-x2 =-,2 2 屉春

8、函数定义 域 为(0 x 6)(2)当AOE尸为直角三角形时，存在以下两种情况：若N O bE=90,则NCO尸=N O C b=45。/N 008=90,J ZABO=45又 0=0 3 ZOAB=NA8O=45。,/AO8=90.OAB是等腰直角三角形A B =e-OB=3 y i若 N E O F=90。,则 Z O E F=Z C O F=Z O C F=30/008=90,NABO=60又；OA=OB.OAB是等边三角形.8=0 3=3(3)当 CF=OF=O B-B F=2 时，n r2 Q可得：匕 C F O sXCOE,C E=,C F 29 5：.E F=C E-C F=一一

9、2=一.2 2当 C F=O F=O B+B F=4 时，n r2 9可得：CFOSRCOE,C E=-=-,C F 49 7:.E F=C F-C E=4 一 一 =一 .4 4【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键.3.(2023春 上海 九年级专题练习)如图，等边4 3C内接于。0,尸是A 8上任一点(点P与点A、B重合)，连接AP、B P,过 点C作CM8尸交布 的延长线于点(1)求Z A P C和N B P C的度数；(2)求证：XACM会 4 B C P；若 孙=1,P B=2,求四边形P8CM的面积;(4)在(3)的条件下，求AB的长度.【答案】(l)N

10、APC=60。，NBPC=60。(2)见解析4(4)2后万9【分析】(1)根据等边三角形的性质得到NABC=N84C=NAC8=60。，根据圆周角定理即可得至U ZAPC=ZABC=60,NBPC=NBAC=60。；(2)根据平行线的性质得到/BPM+/M=180。，NPCM=NBPC,求得/M=N8PC=60。，根据圆周角定理得到/%C+NPCB=180。，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(3)作于H,根据全等三角形的性质得到CM=CP,AM=BP,根据直角三角形的性质得到P H,根据三角形的面积公式即可得到结论；(4)过点B作B Q L4P,交4尸的延长线于点。，过点A作ANL BC

11、于点N,连接0 8,求得NP8Q=30。，得到产。，根据勾股定理得到BQ和AM 根据弧长公式即可得到结论.【解析】(1)解：:ABC是等边三角形，NA8C=N8AC=NACB=60。，,:BC=BC，AC=4C，NAPC=ZABC=60,/BPC=/BAC=60。：(2)证明：.,CM/BP,：.ZBPM+ZM=S00,/PCM=NBPC,：NBPC=NBAC=60,：.NPCM=NBPC=6Q,：.ZM=1800-ZBPM=180-(ZAPC+ZBPC)=180-120=60,ZM=ZBPC=60,又.4、P、B、C四点共圆，：.ZPAC+ZPCB=SO,：ZMAC+ZPAC=SO0,：.N

12、MAC=NPBC,：AC=BC,在 4。知和4 8 cp中，NM=ZBPC,ZMAC=NPBC,AC=BC：./ACM/BCP(A45)；(3)解：CM/BP,二四边形P8CM为梯形，作 P”_L CM 于，,/XACMBCP,：.CM=CP,AM=BP,又/M=60。，.PCM为等边三角形，CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1 +2=3,在 RtL PMH 中，ZMPH=30,-P H_ 3G i ri-,2:.S 酹度PBCM=1(PB+CM)XPH=-(2+3)x述=1 ；2 2 2 4(4)解：过点8作BQJ_4P,交AP的延长线于点Q,过点A作ANL BC于点N,连接OB,/

13、NAPC=NBPC=60。,.ZBPQ=60,ZPBQ=30,：.PQ=PB=,在 RQBPQ 中，BQ=M-l2=5在放AAQB 中，AB=JAQ、BQ2=1+1)2+(可=币,*/ZABC为等边三角形，.AN经过圆心O,：.BN=-AB=,2 2AN=si AB2-BN2=呼，在 Rt4 B O N 中，设 B O=x,则 0 N=应-X,2.（争2+（等 _牙 量，解得：产 叵,3Z B O A=Z B C A=2 0,1 0 n7 2 1A AB的长度为建。3二2河.1 8 0-9【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行

14、线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.4.（2 0 2 1秋 上海金山 九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图 1,Z A=1 Z .点 尸 是 弧 上 一 点，P C =PD.3(1)当c ot/O QC =：,以8 为半径的圆。与圆。相切时，求。的长;(2)当点。与点B重合，点P为弧A 3的中点时，求 N。的度数；s(3)如果O C =2,且四边形。D P C是梯形，求 首 的值.、公 OCD【答案】(1)I；(2)6 7.5 ；(3)#-1 或3 +指【分析】(1)由题意N C O O=9 0。，c ot/O O C=g =q,可以假设0。=3鼠O C=

15、4 k,则C D=5 k,证明A C=O C=4 Z=2,推出k=g,继而可得结论.(2)如图2中，连 接。P,过点尸作P E L O A于E,P F L O B于F.利用全等三角形的性质证明A P C B是等腰直角三角形，可得结论.(3)分两种情形：如图3-1中，当。C P。时，如图3-2中，当PC O D时，分别求解即可.【解析】解：(1)如 图1中,oDB图1VZCO=90,cotZODC=,OC 4工设。=3h O C=4k,则 CO=5&,以CO为半径的圆。与圆o相切，：.CD=DB=5k,：.OB=OD+DB=3k+5k=4,(2)如图2中，连接O P,过点尸作PE_L OA于 P

16、F LOB F.图2,:PA=PB，：./AOP=/POB,PE LOA,PF LOB.:.PE=PF,ZPEC=NPFB=90。,PD=PC,:.国 P E g R於 PFB(HL),；NEPC=NFPB,ZPEO=ZEOF=NOO=90。，NEPF=90。,；NEPF=NCPB=90。,：NPCB=NPBC=45,：OP=OB,ZPOB=45,ZOBP=NOPB=67.5。,ZC5O=67.5-45=22.5,ZOCD=90-22.5=67.5；（3）如图3 1 中，当 OCPD 时，过点C 作 CE_L PQ,连接OP,图3.1 :OC/PD,NPOO=NAO=90。，VCE1PD,：N

17、CED=9。,四边形OCEO是矩形，：OC=DE=2,CE=OD,设 PC=PO=x,EC=OD=yf则有f+V=1 6,/=产+（厂2）2,可得工=2指-2,（不合题意的已经舍弃）,：.P D=246-2tS&PCD PD 2 1/.SA PCDSA OCD=PDOC=V 6-1,%OC 如图3-2 中，当尸COD时，过点。作。E_L CP,连接OP,图32 :PC/OD,：.ZCOD=ZOCE=/C ED=90。,四边形OCEO是矩形，：.OC=DE=2,CE=OD,V OP=4,OC=2,*-P C=ylop2-o c2=742-22=273，:.P D=P C=2 6，P E=y/pD

18、2-D E2=J(2 可 一 2?=2近,E C=O D=25/3-25/2,qD PC。04OCDPCo5段限,s综上所述，的值为：#-1或3+而.,OCD【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.6.(2021 上海青浦 统考二模)已知：在半径为2的扇形4 0 8中，Z A O B =mo(0m180),点C是A 8上的一个动点，直线A C与直线OB相交于点O.(1)如 图1,当0 2这一种情况，扇形A 0 8中，OA=O C =OB,B C =B D,由边相等得

19、对应角相等，三角形内角和为180。，可得=3；(2)过。作DM _L A 3的延长线于M,连接OC,C为中点，可知ACBC,NAOC=/C O 8 =45。，AO=CO=80，边相等得对应角相等，即可求得Z A C B =35,N B C D =45。，N C B O为 BCD的外角，可得/M )=/,Z C A B Z C B A,由角相等可推出他=B,在Rl A 0 8中，由 勾 股 定 理 知=2,在等腰直角AO 8中AN=g AB=也,根据等高三角形的面积比等于底的比/皿=/=7束可得结果；(3)E为弧AEC与0 8切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在Rt OE。中，由勾股定理

20、知0 0=非,得四边形AOCCf是菱形，由菱形对角线性质，可以推出：.O O E DOP,得0 P=石，在Rt APO中，由勾股定理得AP=姮，即可求出AD的长.2【解析】解：(1)C在A3弧线上，./OBC为锐角，为钝角，则:BCD是等腰三角形时，仅有BC=8。这一种情况，:.N D =NBCD,连接 OC 则。4=OC=O8,ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZOBC,：./OBC=/Z/BCD=2/D,在 LOCQ 中，ZCOD+2ZEH-2ZD=180,ZAOC=n f-NCOD=nf+4ND-180,/.ZAOC=|x(180-OC)nf=180-2ND,2在.AO。中，nf+ZOAC+

21、ZD=180,nf：.180H/3 =180。，2.irf N D=；(2)过。作延长线于M,连接OC,:c为A B中点，:.AC=BC,N84C=且 AO=CO=5。，:.ZOAC=ZOCA=ZOCB=OBC,/.ZACO+ZBCO=y x（360-90）=135,/.BCD=45,：.450+ZODA=ZABC+ZABD =45+ZABC,：.ZABC=/A D O =Z B A C,:.BD =AB=2金（勾股定理），/.BM=DM=2ZMBD=ZOBA=45,BM=DM,：.AM=AB+BM=242+2,*AN=y AB=5/2.SMBI）_AD =AM=242+2=2 i,SBc A

22、C AN V2图2(3)图 2 如下:为弧线4EC 与OB切点，；.A、E、C 在半径为2 的另一个圆上,V ffE =2,OE=1,：.0 O =小（勾股定理）,又：a4 =OC=2,OA=OC=2,，四边形AOCO是菱形，二A C LO O 且 AC、O O 互相平分,且N O O E共角，0 0 E s：DOP,OE=黑 且。P/。邛,0P=石,=（R t （7的勾股定理）2/.A D =A P+P D =2亚 +叵【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键.7.（2022春.上海.九年级专题练习）已知。的直径A

23、 B=4,点尸为弧A 8上一点，联 结 附、PO,点C为劣弧A P上 一 点（点C不与点A、P重合），联结8 c交 出、P O于点。、E.(1)7如图，当c o s/C 8O=工时，求8 c的长;O(2)当点C为劣弧A P的中点，且 E D尸与 A O P相似时，求/A 8 C的度数;(3)当A O=2/）P,且 B E。为直角三角形时,求四边形A O E O的面积.【答案】（1）Z（2）18：（3）（或之名2 3 6【分析】（1）解法一：如 图1,过点。作OG_ L B C于点G,根据垂径定理和余弦的定义可得8 c的长；解法二：如图2,连接A C,根据圆周角定理可得N A C B=9 0。，

24、根据c o s/C B。7=（可得B C的长；O（2）如图3,如图3,连接O C,根据题意可知：与A A O P相似只存在一种情况：X D P E s X O P A,得N QPE=N f i 4 O,设N A B C=a,则N A O C=N C O P=2 a,在 OE B 中根据三角形外角的性质列方程可得结论；（3）当A B E。为直角三角形时，N O B E不可能是直角，所以分两种情况：如图4,当N E O B=90。时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH,OH,的长，根据面积差可得结论：如图5,当/0破=90。时，连接A C,证明N4BC=30。，分别计算各边的长

25、，根据面积差可得结论.【解析】解：(1)解法一：如 图1,过点。作OGL BC于点G,：.B G=B C,：AB=4,：.O B=2,/七D C 7 BG cos CDO=，8 OB7B G=,47：.B C=2 B G=-；2解法二：如图2,连接AC,图2AB是。的直径，ZACB=90,COS zTIJDC-,AB 8.BC 7：BC=K(2)如图3,连接OC,EA O B图3V Z P=Z P,EDP 与 AO尸相似,:丛DPESOPA,:/DPE=/PAO,是AP的中点，/AOC=/COP,设N A 8C=a,则NAOC=NCOP=2a,：OB=OC,：.ZOCB=ZOBC=a,C是AP

26、的中点，:.OC-LAP,：.ZPAO=90-2a,：.NDEP=NOEB=90。-2a,在 A O 中，ZAOP=ZOEB+ZABC.A4a=90-2a+a,/.a=18,ZABC=18；（3）分两种情况：如图4,当NEOB=90。时，过。作。H_L A8于H,图4：.DH/PO,.AD AH（=,PD OH，：AD=2PD,:AH=2HO,AB=4f428.AH=,0H=-,BH=-333：AO=OPf ZAOP=90fNA=45。，4:AH=DH=，3OE/DH,.OE OBOE 2即T =3 3：.0E=,；S 两边形AOED=SABD-SAOEB=1 x4,x-4-1 x 2x 1t

27、2 3 2=5=3；如图5,当NOEB=90。时，连接AC,图5VZC=ZOEB=90,：.AC/OE,CE=BE,AO=2QP,同理得AC=2PE,.A0=80,：.AC=20Ef：.0E=PE=g0P,：.AC=ABf：.ZABC=30,.A8=4,：.OB=2=AC,OE=f B E=g,BC=742-22=273,CE=y/3,*：AC/PE,.C D AD=n2,DE DP:C D+D E=8,.C）=述，3 S四边形AOED=S&B C -SOEB-SACD=-x 2 x 2 -x l x -l x 2 x ,2 2 2 3=5应6.综上，四边形AOEQ的面积是1 或 也.【点睛】

28、本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等.（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形.8.（2021 上海九年级专题练习）如图，已知在四边形ABC。中，AD/BC,Z A B C =90,（2）过点。作垂足为点“，设。=九 试 用 的代数式表示九（3）设点G 为 OC的中点，联结OG、OD,ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出厂 的值；如不能，试说明理由.【答案】（1）3；（2）y=3“尸+4；（3）ODG能成为等腰三角形，r=2 0r+4【分析】（

29、1）证。尸为梯形ABCD的中位线，得出r=OF=g（AD+BC）=3即可；（2）连接O。、O C,过点。作。于则S=8 C-8 M=4,由勾股定理得出D C =2,=+4，由四边形A B C D的面积=/DOC的面积+4AO。的面积+8OC的面积，进而得出答案；（3）证OG是梯形ABC。的中位线，得出OGA。，OG=3,D G =C D =y/r+4,由勾股 定 理 得=分三种情况，分别求解即可.【解析】解：(1),/O F U B C ,O A =O B,。F为梯形A B C D的中位线，O F =g(A +8C)=：(l+5)=3,即 O 的半径长为 3；(2)连接。、OC,过点。作。于如

30、图1所示:,?A D/B C,Z A B C=9 0。，且 DA Y _ L 8 C ,四边形4 6Mo为矩形，则 BM=A D =1，D C =J D M2+CM2=，了+4 2=2 4+4,四边形A B C。的面积=AD0C的面积+A40 D 的面积+ZX 8OC 的面积,(I+5)x 2r=-x 25/r+4 x y +rx 1 +rx 5 ,2 2 2 2(3)一 O D G 能成为等腰三角形，理由如下：:点 G 为。C的中点，O A =O B,/.0 G 是梯形A 8C。的中位线，O G/A D,O G =g(A +B C)=g(l+5)=3,D G =-C D =J r+4,2由勾

31、股定理得：0 D =+A D2=Vr2+12=lr2+1 分三种情况：O G =E O时，则+4 =7777,无解；8=O G 时，如图2 所示：，产 +1 =3,解得：r=2&;G）=GO时，作。/7_LC。于“，如图3 所示:OG/AD,ZADO=NGOD,ZADO=Z.GDO,二。0 是NADG的平分线，由题意知：OAVAD,又OH工CD,?.OA=OH,则此时圆。和C 相切，不合题意；综上所述，ODG能成为等腰三角形，r=2垃.【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键.9.（2022 上海

32、 九年级专题练习）如图，已知A B 是半圆O 的直径，A B=6,点 C 在半圆O上.过 点 A 作 AD_LOC,垂足为点D,A D 的延长线与弦BC交于点E,与半圆O 交于点F（点 F 不与点B 重合）.cEECAO5备用图（1）当点F为BC的中点时，求弦BC的长；DE（2）设O D=x,爷=丫，求y与x的函数关系式；（3）当 AOD与 CDE相似时，求线段0D的长.3-x 3【答案】（1）3 7 3;（2）y=:；（3）-6 2【分析】（1）连结O F,交BC于点H.得出N B O F=/C O F.则/AOC=/COF=NBOF=6 0,可求出BH,BC的长；（2）连结B F.证得OD

33、B F,则 卷=三，即 笔=:三，得 出 笔=早，则得出结DF 3+x AD 3+x AE 6论；（3）分两种情况：当NDCE=NDOA时，AB/7CB,不符合题意，舍去，当NDCE=13/口人0时 连 结O F,证得NOAF=30。，得出OD=-OA=，则答案得出.2 2【解析】解：（1）如 图1,连结O F,交BC于点H.AOFBC,BC=2BH.ZBOF=ZCOF.VOA=OF,OC1AF,ZAOC=ZCOF,ZAOC=ZCOF=ZBOF=60,在 RtZkBOH 中，sinZBOH=2 ,OB 2VAB=6,JOB=3,B H=M,2B C=2B H=3G；AD=DF.又.,OA=OB

34、,ODBF,BF=2OD=2x.DE CD 3 x-=-=-,EF BF 2x.DE 3-x -=-,DF 3+xRnDE 3-x即=-，AD 3+x.DE 3-x-=-,AE 6(3)AAOD和ACDE相似，分两种情况：当N D C E=/D O A 时，ABC B,不符合题意，舍去.当NDCE=NDAO时，连结OF.ZO A F=ZO FA,ZOCB=ZOBC.VZDCE=ZDAO,J NOAF=ZOFA=ZOCB=ZOBC.ZAOD=ZOCB+ZOBC=2ZOAF,.Z OA F=3 0,1 3/.OD=-OA =-.2 23即线段O D的长为【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾

35、股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题.1 0.(2 0 2 1 上海九年级专题练习)如图，已知半圆。的直径A B=1 0,弦且C Z)=8,E为弧C 的中点，点 尸 在 弦 上，联结P E,过点E作P E的垂线交弦C D于点G,交射线O B于点凡(1)当点F与点8重合时，求C P的长；(2)设C P=x,O F=y,求y与x的函数关系式及定义域；(3)如果G P=G F,求EP尸的面积.备 用 图【答案】(1)C尸=2；(2)、=普(0,.3)；(3)吨4-x 2【分析】(1)如 图

36、1,连接E O,交弦C Z)于点H,根据垂径定理得E O L A B,由勾股定理计算=5 =3,可得E 4的长，证明N/PE=NH GE=4 5。，则P E=G E.从而可得结论；(2)如图2,连接O E,证明 列比例式可得结论；(3)如图3,作P Q L A B,分别计算PE和E F的长，利用三角形面积公式可得结论.【解析】(1)连接EO，交弦C )于点H,图1为弧C D的中点,：.E O A B,:CD AB,OH LCD,：.CH=-CD,2连接CO,VAB=10,CQ=8,：.CO=5,CH=4,：OH 7 c()2-CH?=3,：.EH=EO-OH=2f 点与点B重合,：.ZOBE=

37、ZHGE=45,；PE1.BE,：.ZHPE=ZHGE=45%:,PE=GE,：.PH=HG=2,：.CP=CH-PH=4-2=2；(2)如图2,连接O E,交CD于H,:NPEH+NOEF=9伊,ZOFE+ZOEF=90,图2：.ZPEH=ZOFEf；NPHE=/EOF=9。,:PEHSEFO,.EH PH =，FO EO：EH=2,FO=y,PH=4-x,EO=5f2 4-xy=-(0 x/5，*E F r,，EF=3 6，S F=g PE.EF=$3 x 3小=当【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角

38、形列比例式解决问题，属于中考压轴题.一、解答题1.（2022上海嘉定 统考二模）在半圆。中，AB为直径,AC,AD为两条弦，且/C 4 9+ZDAB(2)如图2,点尸在直径AB上，。尸交AC于点E,若 A E=O E,求证：AC=2B(3)如图3,在(2)的条件下，连接B C,若 AF=2,B C=6,求弦A。的长.【答案】(1)见解析 见解析 2石【分析】(1)连接B。、C D,先 证/。区 4=/D 4 C,再证/Q C 4=/D 4 C,可得出AD=C),即可推出结论；(2)连接8 0、C D,过点。作。GL AC于点G,则NG4=90。，可证得OG垂直平分A C,得出 AC=2AG,再

39、证A O FZ A JM G,推出 A G=O F,即可得出 AC=2F；(3)取 BC 中点”，连接 OH、0 D,则 BH=CH=gBC=3,O H 1 B C,证 R d O E D m RtA BHO,推出0E=BH=3,0D=0 A=5,则在R oO E O 中，求出O f 的长，在 R dA E D 中，可求出AO的长.(1)证明：如图：连接B。、CDA B为直径ZADB=90ZDBA+ZDAB=90ZDAC+ZDAB=90Z D A C=Z D B A又 Z D C A Z D B A.1N D A C=N D C A：.AD=CD AD=CD(2)证明：如图：连接30、C D,

40、过点。作。G，AC于点G由知AD=CD.QG垂直平分AC/.AC=2AGAE=DEZADF=ZDACZDAC+ZDAB=90 ZADF+ZDAB=90ZDFA=ZAGD=90又 AD=DA:./ADF 之R4G(A45)DF=AGAC=2DF(3)解：取BC的中点H,连接。、0 D,则8”=C”=g8C=3,OH IB C:,ZOHB=90=ADFOOA=OB二.OH是ABC中位线/.AC=2OH由(2)知 AC=2DF,OH=DF.OD=OB/./?/OFD 沿 RiA BH0(HL)：.OF=BH=3OD=OA=AF+O F=2+3=5在 Rt/OFD中，D F2 O D2-O 尸=5 2

41、-32=1 6在册中，AD=AF?+。产=物 +1 6=2 君【点睛】本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明/A FQ=90。，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等.2.(2 0 2 1 春上海徐汇九年级统考阶段练习)已知：。0的半径为3,OC _ L弦 AB,垂足为。，点 E 在。上，Z EC?=Z B OC,射线C E 与射线0 B 相交于点尸.设A 8 =x,C E=y,(1)求 丫与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域;(2)当A O E 尸为直角三角形时，求 A8的长；(3)如果3 F =1,求 E F 的长.【答

42、案】y =-364，函数定义域为(0 x 6)A B =3&或3(3)|或(【分析】(1)过点。作 O HL CE,垂足为H,先 利 用 垂 径 定 理 得 到=E H =g E C =b，然后利用勾股定理求得O D=叵 三 I,最后通过证AOCB0 EH。即可2 2 2得到E H=OD,求得结论；(2)当A O M为直角三角形时，存在以卜两种情况：若/。庄=90。；若/E O 尸=9 0 0 分别求解即可；分两种情况当C F=O F=O B-B F=2 时，可得：&C F O-C O E：当 C F=O 尸=O B+B F=4 时，可得：ZCFOSXCOE,利用相似三角形的性质即可求解.(1

43、)过点。作 O J _ C E,垂足为H,;在圆 O 中，OC_L 弦 AB,OH上弦 CE,AB=x,CE=Y,：.BD=-A B =-xf EH=-E C =-y f2 2 2 2在 RtA ODB 中，OD2+BD2=BO2,OB=3,A O D=2/3 6-y2：OC=OE,：.ZECO=ZCEOf,/NECO=NBOC,：.ZCEO=ZBOCfX Z ODB=Z OHE=90,OE=OB：./O D B/E H O：.EH=OD,.y 飞36-x1 一=-，2 2 y=yj36-x2函数定义域为(0 x N A a=6 0。，根据圆周角定理即可得至lJ/APC=/A8 C=6 0。，

44、N B PC=N B A C=60。；(2)根据平行线的性质得到N 3 P M+N M=1 8 0。，N P C M=/B P C,求得N M=N 3 P C=6 0。，根据圆周角定理得到N%C+N P C 8=1 8 0。，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(3)作P H LCM于H,根据全等三角形的性质得到C M=C 尸，A M=B P,根据直角三角形的性质得到 尸 从 根据三角形的面积公式即可得到结论；(4)过点3作 8 QJ _ AP,交 A尸的延长线于点。，过点4作 4 0 _ 8。于点M 连接08,求得N PBQ=3 0。，得到P Q,根据勾股定理得到B Q 和 A N,根据弧

45、长公式即可得到结论.【解析】(1)解：:ABC是等边三角形，Z A B C=Z B A C=Z A C B=60 ,：B C =BC，A C =A C：.Z APC=Z ABC=6 0,Z BPC=Z BAC=6 0 ；(2)证明：:C M/B P,，N B P M+N M=1 8 0。，Z P C M=Z B P C,.*Z B PC=Z B A C=60 t：.N P C M=N B P C=6 0。,：.Z M=1 8 0 -Z B P M=1 8 0 -(Z A PC+Z B PC)=1 8 0-1 2 0=6 0,.Z M=Z B PC=60 f又T A、P、B、。四点共圆，.,.Z

46、 4 C+Z PCB=1 8 0,?Z M 4 C+Z M C=1 8 0 ,：.Z M A C=Z P B Cf：A C=B C,在 ACA/和 BCP 中，ZM=Z B P C JAB2-B N2=,2在 Rt&BON 中，设 BO=x,则 0N=-x,2解得：亭,/ZBOA=ZBCA=120fA A B 的长度为7r x 3-2而 九.1 8 0 9【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.4.(2 0 2 1 秋 上海金山 九年级期末)定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的

47、一半.如图 1,ZA=y Z O.已知：如图2,A C 是。的一条弦，点。在。上(与 A、C 不重合)，联结Q E 交射线A。3于点E,联结。D,。的半径为5,t a n/。4 c=二.叭AC图1 图2 备用图(1)求弦A C 的长.(2)当点E 在线段04上时，若 OOE与A A E C 相似，求/。C A 的正切值.(3)当 O E=1时，求点A 与点。之间的距离(直接写出答案).【答案】8(3)2 石 或 卷 网.【分析】(1)过点。作 O，A C 于点”，由垂径定理可得A H=C H=g A C,由锐角三角函数和勾股定理可求解；(2)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG,EG,C

48、 G的长，即可求解；(3)分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解.(1)如图2,过点。作 OH _ LAC于点H,图2由垂径定理得：AH=C=gAC,CH 3在 Rt OAH 中，t a n N OAC-,AH 4J 设。”=3 斯 AH=4x,9OH2+AH2=OA2,/.(3 x)2+(4 x)2=5 2,解得：x=l,(x=-1 舍去)，：OH=3,4”=4,：.AC=2AH=S；(2)如图2,过点。作 O_ LAC于，过后作EG _ LAC于G,图2*.*/DEO=NAEC,当 OOE与AAEC相似时可得：ZDOE=ZA或者N D O E=N A C O；AD=AD/.ZACD=

49、-ZDOE f2 .ZACD/ZDOE：.当Z kOOE与A4 EC相似时，不存在ZDOE=N A C O 情况，当OOE与 E C 相似时，ZDOE=ZA,：.OD/ACt.OD OE.=,AC AE9：OD=OA=5,AC=8,.5 5-AE 一 ，8 AEAE=ZAGE=NAO=90。,J.GE/OH,A G H y C图2 XAEGs XAOH,.AE EG AG 茄访 77740 EG AG=诃一 1-一732 72CG=8-=,13 13EG 1在 R3CEG 中，tan ZDCA=-CG 3(3)当点E 在线段OA上时，如图3,过点E 作 EG L 4C于 G,过点。作 0 4

50、L4 C 于，延长AO交。于 M,连接AO,DM,10 一 AD：.AD=2y/5：当点E在线段A O的延长线上时，如图4,延长A。交。于M,连接AO,D M,过点E作EG_LAC 于 G,是直径，Z A D M=90=Z G C,又:N M=/C,Z.A E G C A A D A/,.EC EGA M A D2 x/i 185 y 10-AD1 8 V 1 4 5：.AD=2 9综上所述：A。的长是2石 或 阿【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键.5.(2 02 1 上海统考二 模)如图，已知扇形