2023年中考数学一轮复习21几何压轴突破训练（解析版）（江苏）.pdf

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1、考 点 2 1 几 何 压 轴 专 题 突 破 训 练 在 真 罩 过 关 1.（2022江 苏 淮 安 统 考 中 考 真 题）在 数 学 兴 趣 小 组 活 动 中，同 学 们 对 菱 形 的 折 叠 问 题 进 行 了 探 究.如 图（1）,在 菱 形 4BCZ）中，N 8 为 锐 角，E为 中 点，连 接 E,将 菱 形 A8CD沿 折 叠，得 到 四 边 形 A 9 瓦），点 A 的 对 应 点 为 点 4,点 8 的 对 应 点 为 点 小.图（1）图（2）图（3）（1）【观 察 发 现】A O 与 夕 E 的 位 置 关 系 是；（2）【思 考 表 达】连 接 8 C,判 断/D

2、 E C与 NBCE是 否 相 等，并 说 明 理 由；（3）如 图（2）,延 长。C交 4 5 于 点 G,连 接 E G,请 探 究 NOEG的 度 数，并 说 明 理 由；（4）【综 合 运 用】如 图（3）,当 NB=60。时，连 接 B C,延 长。C 交 于 点 G,连 接 E G,请 写 出 B C、E G、OG之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由.【答 案】（1）A D？E；（2）ZDEC=ZBCE,理 由 见 解 析；（3）ZDEG=9 0,理 由 见 解 析；。G=E G+J BC Z,理 由 见 解 析.16【分 析】（1）利 用 菱 形 的 性 质 和 翻 折

3、 变 换 的 性 质 判 断 即 可；（2）连 接 BC,B B，由 B=EC=E8uJ知 点 B、B、C在 以 3 c 为 直 径,E 为 圆 心 的 圆 上，则 N33C=90。,山 翻 折 变 换 的 性 质 可 得 3 3,小，证 明。E C B,可 得 结 论；（3）连 接 B C,DB,DB,延 长。E 至 点 H,求 出 ZDGA=1 8 0*2 x-y,ZGBC=90-y-x,可 得 N C G A=2NGB，C,然 后 证 明 GC=G 8,可 得 E G J _ C B 进 而 得 到。E L EG即 可 解 决 问 题.（4）延 长。G 交 E B 的 延 长 线 于 点

4、 7,过 点。作。R L G 4 交 GA的 延 长 线 于 点 R，设 GC=G 9=x,CD=AD=AB=2 a,解 直 角 三 角 形 求 出 AR=a,DR=&a,利 用 勾 股 定 理 求 出 x=，然 后 根 据 相 似 4 7三 角 形 的 判 定 和 性 质 及 平 行 线 分 线 段 成 比 例 求 出 丁 9=；，DE=；C B i 再 根 据 勾 股 定 理 列 式 即 可 得 出 结论.【详 解】(1)解：在 菱 形 ABCO中，AD/3E,.由 翻 折 的 性 质 可 知，AD/ffE,故 答 案 为：XD/BIE-.(2)解：ZDEC=NBCE,理 由：如 图，连

5、接 8C,BB，*/E为 BC中 点，EB=EC=EF,:.点 B、B、C在 以 8 c 为 直 径,E 为 圆 心 的 圆 上，NBBC=90。,，BB BC,由 翻 折 变 换 的 性 质 可 知 BB 1 DE,DE/CB1,:.NDEC=ZBCE；(3)解：结 论：ZDEG=90；理 由：如 图，连 接 8C,DB,D B,延 长 至 点”,山 硼 折 的 性 质 可 知 ZBDE=ZBDE,设 NBDE=NBDE=x,ZA=ZA=y,四 边 形 ABC。是 菱 形，二 ZADB=NCDB=ZffD A,ZABC=180-y,，ZADG=ZBDB1=2x，NDBE=ZDBE=9 0-2

6、NOGA=180-2x-y,Z.ZBEB=ZBEH+ZBEH=ZDBE+NBDE+ZDBE+ZBDE=90-x+90-叁+x=1800-y+2x,B:EC=E B 点、B、B、C在 以 BC为 直 径,E 为 圆 心 的 圆 上，ZEBC=NECB=g ZBEB=9 0-y+x,:A D Z/ffE,：.ZABE=S 0-y,：.NG8C=ZA8E-NE8C=180-y-1900-gy+x)=9 0-g y-x,/NCGA=2NGBC,?NCG4=ZGBC+ZGCff,:.NGC=NGCB,GC=GB,*.EB=EC,：.EG LC B,：DE/CB1,：.DE A.EG,：.NZ)EG=90

7、。；49(4)解：结 论：DG2=EG2+BC2,理 山：如 图，延 长 OG交 B 的 延 长 线 于 点 T,过 点。作。R_L GA交 GA的 延 长 线 丁 点 R,瘁 G C U G E U X-C D U 4 D=A、BU2a-:N BU60。.:Z A M Z X B/120:NDA、RU60:-A K=A-D.COS60。=uDR mR S D G Ry _ 音 盘(2a+x)2”(su+(314 X 1a 34.GB-a6.ACS UIC 3H D K.:,B T G A D C.-TB-GB-H-DA GA42;:CB-DE.C B-TB-a 4:用 印 卜 4 3a+a3

8、4 Z D E G H 9 0 D G 2 H E G 2+D E 2 yDG2=EG2+BC2.1612.（2022江 苏 镇 江 统 考 中 考 真 题）操 作 探 究 题 180 y（1）已 知 A C是 半 圆。的 直 径，NAOB（是 正 整 数，且”不 是 3 的 倍 数）是 半 圆。的 一 个 圆 心 角.操 作：如 图 1,分 别 将 半 圆。的 圆 心 角 乙 4。8=1 Q0、o（取 1、4、5、10）所 对 的 弧 三 等 分（要 求：仅 用 n圆 规 作 图，不 写 作 法，保 留 作 图 痕 迹）;n=10图 1从 上 面 的 操 作 我 发 现，就 是 利 用 剑、

9、9 豹 所 对 的 弧 去 找 喀。的 三 分 之 一 即 黑 丁 所 对 的 孤 交 流：当”=1 1时，可 以 仅 用 圆 规 将 半 圆。的 圆 心 角 NAOB=180 所 对 的 弧 三 等 分 吗？我 发 现 了 它 们 之 间 的 数 量 关 系 是 4 x?鲁 y-60。=储:我 再 试 试：当”=28时.嗡、的、匿 之 间 存 在 数 量 关 系 因 此 可 以 仅 用 明 规 将 半 眼】。的 圆 心 角 乙 dOB=嗡”所 对 的 弧 三 等 分.探 究：你 认 为 当 满 足 什 么 条 件 时，就 可 以 仅 用 圆 规 将 半 圆。的 圆 心 角 乙 4。8=所 对

10、 的 弧 三 等 分？说 说 你 的 理 由.（2）如 图 2,。的 圆 周 角/物 Q=（一 7 J.为 了 将 这 个 圆 的 圆 周 14等 分，请 作 出 它 的 一 条 14等 分 弧 CC（要 求：仅 用 圆 规 作 图，不 写 作 法，保 留 作 图 痕 迹）.Q【答 案】（1）作 图 见 解 析；交 流:2x60=60）。28 J探 究：正 整 数”（不 是 3 的 倍 数），理 由 见 解 析（2）作 图 见 解 析【分 析】（1）由 操 作 可 知,如 果（詈）。可 以 用 60。与（詈）。的 线 性 表 示,那 么 该 圆 弧 就 可 以 被 三 等 分（2）将 圆 周

11、14等 分 就 是 把=所 对 的 圆 周 角 N Q O P 所 对 弧 三.等 分 即 可，给 出 一 种 算 法:18。一 平 E 等【详 解】（1）操 作:图 中 的 J、8点 即 为 三 等 分 点 图 中 的 C点 即 为 三 等 分 点 图 中 的 C点 即 为 三 等 分 点 图 中 的，点 即 为 三 等 分 点 探 究：设 60一 及（呼）=（乎），解 得=34+1（%为 非 负 整 数）.或 设（詈 60。=（岑 丫，解 得=3 0 1（人 为 正 整 数）.(1 Q A、o所 以 对 于 正 整 数(不 是 3 的 倍 数)，都 可 以 仅 用 圆 规 将 半 圆。的

12、圆 心 角 NAO8=-所 对 的 弧 三 等 分;3.(2022江 苏 泰 州 统 考 中 考 真 题)已 知：A A 8 C中，D 为 8 c 边 上 的 一 点.(2)在 图，用 无 刻 度 的 直 尺 和 圆 规 在 A C边 上 做 点 F,使 N Z)/=/A；(保 留 作 图 痕 迹，不 要 求 写 作 法)(3)如 图，点 尸 在 A C边 上，连 接 BF、D F,若 NDFA=NA,FB C的 面 积 等 于;C A8,以 产。为 半 径 作。尸，试 判 断 直 线 8 c 与。F 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由.【答 案】(1)2(2)图 见 详 解(3)直 线

13、8 c 与 O F 相 切，理 由 见 详 解 CD 2 CD 2【分 析】(1)由 题 意 易 得=二 3,则 有 然 后 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定 可 进 行 求 解；BD 3 CB 5(2)作 OT AC交 A 8于 点。作 N T D G N A T D 射 线。/交 A C于 点 孔 则 点 尸 即 为 所 求；作 BR CF交 F D的 延 长 线 于 点 R,连 接 C R,证 明 四 边 形 是 等 腰 梯 形，推 出 A8=F R,山 CF/BR,推 出 S b B M S b A u g A a C。：；/?-。，推 出 CD_L。尸，然 后 问

14、题 可 求 解.解:VDE/7AB,:_C D E s二 CBA,.DE CD 商 一 方 A B=5,BD=9,DC=6,.DE 6.-=-，5 6+9DE=2；（2）解：作 DT/AC交 A B 于 点 T,作 射 线 D F 交 A C 于 点 F,则 点 F 即 为 所 求;如 图 所 示：点 尸 即 为 所 求，（3）解：直 线 B C 与。尸 相 切，理 由 如 下：作 8R C尸 交 尸。的 延 长 线 于 点 R,连 接 C R,如 图,：ZDFA=ZA,二 四 边 形 ABRF是 等 腰 梯 形，；AB=FR,4 F B C 的 面 积 等 于 CDAB,：.S C CFB=

15、S C-Fr RK=-2 A B CD=-2FR CD,J.CDLDF,：户 7）是。尸 的 半 径，二 宜 线 B C 与。F 相 切.4.（2022江 苏 苏 州 统 考 中 考 真 题）（1）如 图 1,在 中，N 4c8=2N8,C O 平 分 N A C B,交 4 8 于 点 Q,DE/AC,交 BC 于 点、E.图 13 若 D E=1,BD=-f求 B C 的 长；AR RF 试 探 究 黑-器 是 否 为 定 值.如 果 是，请 求 出 这 个 定 值；如 果 不 是，请 说 明 理 由.AD DE(2)如 图 2,NC5G和 N8CF是 ABC的 2 个 外 角，/BCF=

16、2/CBG,C D 平 分 NBCF,交 A 8 的 延 长 线 于 点。，DE/AC,交 的 延 长 线 于 点 及 记 AC。的 面 积 为 加，s 8 8,根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 求 解 即 可；A R R C AR RF 由 OE AC,可 得 不;:言,由 同 理 可 得 CE=O石，计 算 不;一 二=1；AD DE AD DES.AC BC S.BE Si$BC BC 9(2)根 据 平 行 线 的 性 质、相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 亍=缶=,，又 U=R，则 弋 产=左，可 得 三=3，U L L L J 3。C J C*32 c 匕 c E 16

17、设 BC=9x,则 CE=16x.证 明 ACDB S A CED,可 得 CD=12x,过 点。作。H，4C 于 H.分 别 求 得 BD,BH,进 而 根 据 余 弦 的 定 义 即 可 求 解.【详 解】(1):C。平 分 NAC8,ZACD=/DCB=-ZACB.2:ZACB=2NB,：.Z A C D=Z D C B=ZB.3.CD=BD=-.2:DE/AC,：.ZACD=/EDC.ZEDC=/D C B=/B.：.CE=DE=1.：,_ C E*CDB.CEC-D-C D CB_ 9 BC 4,V D E/A C,.AB BC*A D-C E 由 可 得 CE=O E,.AB _

18、BC而 一 床.AB BE BC BE CE A P-D E-D E-D E-D E-AQ RF 受 一 器 是 定 值，定 值 为 匕 AD DE(2)V D E/A C,:.4 B D E S 4 B A C.BC AB AC,BEBDDE H _ AC BC.邑=些*S2 CE.S S3=BC S；CE,o又 S/S3=R S；,lo.BC 9-=.CE 16设 BC=9 x,则 CE=16x.:CD 平 分 NBCF,：.4ECD=ZFCD=-ZBCF.2*/B C F=2/C B G,：.ZJECD=4FCD=Z C B D.:.BD=CD.,?D E/A C,：./E D C=/F

19、 C D.AEDC=ZCBD=ZECD.，CE=DE.:NDCB=NECD,：.ACDBs八 CED.CD CB*C-C D 二 CD2=CB CE=144x2.：.CD=2x.如 图，过 点 力 作。于 H.5.（2022.江 苏 连 云 港.统 考 中 考 真 题）【问 题 情 境】在 一 次 数 学 兴 趣 小 组 活 动 中，小 昕 同 学 将 一 大 一 小 两 个 三 角 板 按 照 如 图 1所 示 的 方 式 摆 放.其 中 4 四=/0 年 二 的。，ZB=30,BE=AC=3.【问 题 探 究】小 昕 同 学 将 三 角 板。M 绕 点 B 按 顺 时 针 方 向 旋 转.

20、（图 1）（图 2）（备 用 图）图 4（1）如 图 2,当 点 E 落 在 边 A 8 上 时，延 长 O E 交 B C 于 点 尸,求 BF的 长.（2）若 点 C、E、。在 同 一 条 直 线 上，求 点。到 直 线 3 c 的 距 离.（3）连 接。C,取 D C 的 中 点 G,三 角 板 由 由 初 始 位 置（图 1）,旋 转 到 点 C、B、。首 次 在 同 一 条 直 线 上（如 图 3）,求 点 G 所 经 过 的 路 径 长.（4）如 图 4,G 为 O C 的 中 点，则 在 旋 转 过 程 中，点 G 到 直 线 A 8 的 距 离 的 最 大 值 是【答 案】（1

21、）2 6#1,2、5 G（3）-716 拽 4【分 析】（1）在 R C B E F 中,根 据 余 弦 的 定 义 求 解 即 可；（2）分 点 E 在 8 C 上 方 和 下 方 两 种 情 况 讨 论 求 解 即 可；（3）取 8 C 的 中 点 0,连 接 G。，从 而 求 出 0 G=g,得 出 点 G 在 以。为 圆 心，石 为 半 径 的 圆 上，然 后 根 据 弧 长 公 式 即 可 求 解；（4）由（3）知，点 G 在 以。为 圆 心，G 为 半 径 的 圆 上，过。作 于 H,当 G 在 O H 的 反 向 延 长 线 上 时，G H 最 大,即 点 G 到 直 线 A 8

22、 的 距 离 的 最 大，在 M 8 0 H 中 求 出 0,进 而 可 求 G.【详 解】（1）解：由 题 意 得，4 E F=ZBED=90。，BF 在 RfABE尸 中，ZABC=30,BE=3,cosZABC=BFBFBE 3cos ZABC cos 30=2 6（2）当 点 E 在 B C 上 方 时，如 图 一，过 点。作 O”_LBC,垂 足 为EC图 1DH B在 A S C中，ZAC5=90,ZABC=30,AC=3,Ar：.tan/A B C=-BC：.BC=-=3石.tan Z.ABC tan 30在 5DEU，NDEB=90,ZDBE=ZABC=30，DEBE=3,ta

23、n ZDBE=BE DE=BE-tan30=6:点 C、E、。在 同 一 直 线 上，RZD EB=90,：.ZCEB=180-ADEB=90.又 在 CBE 中，ZCEB=90,BC=3、BE=3,CE=BC2-B E2=372:.CD=CE+DE=3 N 8在 8 C O中，SAB8=gcD BE=*BC D H，.D H=CEbBE=6+.BC 当 点 E 在 8 c 下 方 时，如 图 二,Ay图 2B在 M C E 中，V ZCEB=90,BE=3,BC=36，CE=d BC?-BE?=3 0:.CD=C E-D E=3 也 S过 点。作。0 J _ 3 C,垂 足 为 M.在 中，

24、S g0c=g B C D M=g c D BE,D M=-L综 上，点。到 直 线 B C 的 距 离 为 后 土 1.c c c c c GO=-B D=y?,(3)解：如 图 三，取 B C 的 中 点,连 接 G O,贝 i j 2图 3.点 G 在 以。为 圆 心，G 为 半 径 的 圆 上.当 三 角 板 DEB绕 点 8 顺 时 针 由 初 始 位 置 旋 转 到 点 C、8、O 首 次 在 同 一 条 直 线 上 时，点 G 所 经 过 的 轨 迹 为 150所 对 的 圆 弧，圆 弧 长 为 空 乂 2万、#=述 360 6:，点 G 所 经 过 的 路 径 长 为 上 叵

25、万.(4)解：由(3)知，点 G 在 以。为 圆 心，G 为 半 径 的 圆 上,如 图 四，过。作 于”,A志、G 7 一/图 4 D E当 G 在 0 的 反 向 延 长 线 上 时，G H最 大，即 点 G 到 宜 线 A 3的 距 离 的 最 大，在 中，NBHO=90。,NOBH=30。,B0=-BC=,2 2/.OH=BO-sinZOBH=sn300=，2 4 GH=0G+0H=y/3-=,4 4即 点 G 到 直 线 A B 的 距 离 的 最 大 值 为 拽.4g 模 单 检 测 1.（2022.江 苏 泰 州.模 拟）过 三 角 形 的 顶 点 作 射 线 与 其 对 边 相

26、 交，将 三 角 形 分 成 两 个 三 角 形.若 得 到 的 两 个 三 角 形 中 有 等 腰 三 角 形，这 条 射 线 就 叫 做 原 三 角 形 的“友 好 分 割 线”.（1）下 列 三 角 形 中，不 存 在“友 好 分 割 线”的 是（只 填 写 序 号）.等 腰 直 角 三 角 形；等 边 三 角 形；顶 角 为 150。的 等 腰 三 角 形.如 图 1,在 A fiC中，ZA=60。，4=40。，直 接 写 出 A fiC被“友 好 分 割 线”分 得 的 等 腰 三 角 形 顶 角 的 度 数；（3）如 图 2,A BC中，ZA=30,C）为 4 B边 上 的 高，B

27、D=2,E 为 A O的 中 点，过 点 E 作 直 线/交 A C于 点、F,作 C W _U,DN l,垂 足 为 M,N.若 射 线 CD为：的“友 好 分 割 线”，求 CM+O V的 最 大 值.【答 案】(2)20,40,60,80。或 100(3)4【分 析】(1)根 据“友 好 分 割 线”的 定 义 判 断 即 可；(2)分 三 种 情 形：当“友 好 分 割 线”经 过 点 C,当“友 好 分 割 线”经 过 点 A,当“友 好 分 割 线”经 过 点 8,分 别 画 出 图 形 求 解 即 可；(3)证 明 组 AGE(ASA),推 出 W=A G.在 Rt_AGF 和

28、Rt_CW尸 中，/C M E=N A G F=90 推 出 C M C F,A G A F,推 出 CM+A G 4 C F+A F,即 CM+A G 4 A C,由 此 可 得 结 论.【详 解】(D 根 据“友 好 分 割 线”的 定 义 可 知，如 图，等 腰 直 角 三 角 形，顶 角 为 150。的 等 腰 三 角 形 存 在“友 好 分 割 线”.等 边 三 角 形 不 存 在“友 好 分 割 线 故 答 案 为：；(2)Q?A 60靶 8=40?,?ACB 180?60?40?80?,如 图，当 EC=E4 时，Z A E C=60。，当 尸 C=E B时，B F C=100,

29、当 BC=BG 时，Z B=40.如 图，当 AC=4?时，ZCAR=2Q,当 C4=CW 时，N C=80。，如 图，综 上 所 述，满 足 条 件 的 等 腰 三 角 形 的 顶 角 的 度 数 为：20,40,60,80。或 100。；(3)解：如 图 2 中，作 A G U 于 点 G.为 A 8边 上 的 高，:.NCDB=NCDA=9Q。.：.Z A C D=90。60.二 _CM不 是 等 腰 三 角 形.:C D为 ABC的“友 好 分 割 线”，.a 汨 和 二 C D 4中 至 少 有 一 个 是 等 腰 三 角 形.CDB是 等 腰 三 角 形，且 C D=B=2.ZB

30、A C=30,：.AC=2CD=4.V Z W J J 于 M/.NDN E=NAG E=90.为 A O的 中 点,/.DE=AE.在&ONE 和 _AGE 中,ZAGE=NDNE-DE=AE乙 DEN=ZAEG:.DNE-AGE(ASA),：.D N=AG.在 Rt AGF 和 Rt CW/中，N C M F=/A G F=90。,：.C M CF,AGAF,：.C M+A G C F+A F,即 CM+AG VA C,：.CM+DN4,/.CM+O N的 最 大 值 为 4.2.（2022 江 苏 无 锡 校 考 二 模）如 图 1,在 矩 形 ABCD中，AB=4,B C=5,点 E

31、在 A 上，ED=3.动 点 P从 点 B出 发 沿 BC方 向 以 每 秒 3 个 单 位 的 速 度 向 点 C运 动，过 点 尸 作 竹 C E,与 边 8 4 交 于 点 尸，过 点 F作 F G 8 C,与 C E交 于 点 G,当 点 产 与 点 A重 合 时，点 P 停 止 运 动，设 点 P运 动 的 时 间 为 f秒.如 图 2,作 点。关 于 C E的 对 称 点 以，当 FG恰 好 过 点 以 时，求，的 值.（3）如 图 3,作 二 F G P的 外 接 圆（。，当 点 户 在 运 动 过 程 中.当 外 接 圆。截 线 段 C E所 得 线 段 GQ=F P时，请 求

32、 出 r 的 值；当 外 接 圆，。的 圆 心。落 在-F G P的 内 部（不 包 括 边 上）时，直 接 写 出，的 取 值 范 围.【答 案】由,5t7/=不 时，以 落 在 AG上.(3)t=*或 f=25夜 T 5；当 袅 时，外 接 圆。的 圆 心。落 在 j G P 的 内 部.34 41 34 6【分 析】(D 由 PFBs E C D,得 名=族=黑，由 此 即 可 解 决 问 题.EC CD DE(2)如 图 2 中，由 一。M G s_ C D E,得 缥=丝，求 出 M G,根 据 尸 F=CG=C M-M G,列 出 方 程 即 可 解 决 CD ED问 题.(3)需

33、 要 对 四 边 形 G。进 行 分 类 讨 论，当 为 一 般 的 矩 形 时 和 为 特 殊 的 正 方 形 两 种 情 况 进 行 讨 论；需 要 分 情 况 讨 论，当？FPG 90?时，当 N F G P=9 0。时，求 出 两 种 特 殊 位 置，的 值 即 可 判 断.【详 解】(1)解：如 图 1 中，四 1四 边 形 A 6 8 是 矩 形，/.AB=CD=4,BC=AD=5,/B=Z D=90,A D/BC,在 R tZ iE C D中，Z D=90,ED=3.8=4,:.EC=yED2+CD2=5，PF C E,F G BC,四 边 形 尸 F G C是 平 行 四 边

34、形，/.4 FPB=4ECB=ZD EC,:、.PFBs：、ECD,.PF BF BP E C C D D E PF BF 3t,一=一=,5 4 3.BF=4 t,PF=5 f,故 答 案 为 4,5 t.(2)解：如 图 2 中,图 2J.D、关 于 CE对 称,:.Diy 1.CE,DM=M iy,-.DE.DC=-.EC.DM,2 2DM=DM=,CM=ICD2-D M2=人，八，日 DM MG由 m c D E,得 F=而 12H/G,4 39：.PF=CG=CM-MG,u 16 9/.5/=-,5 57：.t=.257.=不 时，D0落 在 尸 G上.(3)解：当 外 接 圆 O

35、截 线 段 C E所 得 线 段 GQ=时,G Q/F P,.GQFP为 平 行 四 边 形，P，G,Q四 点 都 在 圆 上，则 圆 心 到 四 点 的 距 离 相 等，四 边 形 G Q FP为 矩 形 或 正 方 形，当 四 边 形 G Q FP为 矩 形 时，Z.FPG=9 0,在 Rt F 8 P和 R t_PG C中,/F P/EC,:.ZF P B=ZPC G,:.R tJ B P s R t PGC,.FP BP,PCCGf由（1）（2）可 得：FP=5t,PC=5-3t,BP=3t9CG=5 t,.5/_3 z 5-3 t 5 t解 得：r=34当 四 边 形 G Q FP为

36、 正 方 形 时，.FP=GP=5hFG=PC=5-3 t,:.FG2=FP2+GP2（5-3 r）2=（5r）2+（5r）2解 得:25 夜-1541当 外 接 圆;。截 线 段 支 所 得 线 段 GQ=F P时,”或 L 25垃-1534-4 如 图 6 中，当？FPG 90?时,5f 35-3/515:.t=一 34如 图 7 中，当 ZFG P=90。时,5-3/35t-556观 察 图 象 可 知：当 称 时，外 接 圆：o 的 圆 心。落 在 qFGP的 内 部.34 63.（2022 江 苏 镇 江 统 考 一 模）【探 究 发 现】在 一 A 8 C中，ZACB=90,AC=

37、BC,M 是 边 A C上 一 点，将 沿 8 M折 叠 得 到 N3M.如 图 1,若 BN与 线 段 A C相 交，连 接 川 V、C N,在 8 M上 取 一 点 P,使 N8CP=NACN,C P 交 B N 于 点 Q,证 明：Z N A C=Z M B C；探 究 CP与 C N的 数 量 关 系，并 写 出 探 究 过 程；【类 比 学 习】如 图 2,在 A 8 C中，ZACB=90,tan ABAC=n,M 是 边 A C上 一 点，将,A B M沿 8 M折 叠 得 到,CP若 8 N 与 线 段 A C相 交，连 接 4 V、C N,在 BM上 取 一 点 P,使 NBC

38、P=ZACN,C P 交 B N 于 点 Q,=_（用 含 的 式 子 表 示）；【拓 展 应 用】在 前 面 的 发 现 和 探 究 的 经 验 下，当=正 时，”是 A C的 中 点 时，若 AN-NQ=12,求 C P的 长.2【答 案】【探 究 发 现】见 解 析；CP=CN,证 明 见 解 析；【类 比 学 习】：【拓 展 应 用】CP=2.【探 究 发 现】设 NA5M=a,利 用 折 叠 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 解 即 可；通 过 证 明 J7P四&Q A 即可 求 解；【类 比 学 习】通 过 证 明 CPBs C N A,求 解 即 可；【拓 展

39、应 用】延 长 8M交 AN于 点 E,利 用 垂 直 平 分 线 以 及 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 一 CQN空 P Q 5,设 CP=x,求 得 2 4、QN,即 可 求 解.【详 解】解：【探 究 发 现】设 由 折 叠 的 性 质 可 得：ZAPM=ZN B M=a,AB=BM:AABN=2a,ZNAB=-(180-ZABN)=90-,2V ZACfi=90,AC=fiC,:.ZCAB=ZCBA=45 f：.ANAC=ZNAB-ZCAB=4 5-a,ZCBP=ZCBA-ZABM=45-a,：.ZNAC=ZMBC；在 C5P和 CAN中/BCP=/ACN ZNAC=ZPBC

40、AC=BC._C8尸 也 一 CAN(AAS):.CP=C N、解：【类 比 学 习】设 N 4B M=a,/CAB=/3由 折 叠 的 性 质 可 得：ZAPM=ZN BM=a,AB=BM:ZABN=2a,NAB=-(180-ZA B2V)=90-a,2.4NAC=/N A B-/C A B=9 O O a-0,/ZACB=90,./ABC=90。/,.ZCBP=ZABC-/ABM=90。一 a/，:.ZCBP=ZNACf又 ZBCP=ZACN：.一 CPBs CNA,.CP _ BC*C 7 V-R A:在 RLABC中，tanN8AC=：BA.CP _-n CN解：【拓 展 应 用】延

41、长 交 AN于 点,则 无 垂 直 平 分 AN,CM _ 72又 为 AC的 中 点 A M E/C N,ME=-C N,2A ZANC=ZAEB=90 f ZBPC=ZNCP,ZCNQ=ZPBQ:；C P B s CNA,：./CPB=/CNA=90,BC BC、rr-=-：-=2n=yJ2 CPCM 1 人 心，=tan NCBP=5 AC BP设 CP=X,W i j BP=y/2x,；.CPBs CNA,BC BP/2 日 1 N U _-=-=,E、|J A/V=2x,NE=xAC AN 2.CP V2-=-CN 2二 CN=&x，即 CN=3P:.CQNPQB(ASA)：.NQ=

42、BQ,BP=P E,即 BE=2 忘 x由 勾 股 定 理 可 得：BN=BE?+NE。=3x，AN-NQ=2六|x=1 2,解 得 x=2,负 值 舍 去，NQ=-x即 CP=2.4.（2022 江 苏 盐 城 校 考 三 模）如 果 一 个 四 边 形 的 对 角 线 相 等，我 们 称 这 个 四 边 形 为 美 好 四 边 形.【问 题 提 出】（1）如 图,点 E 是 四 边 形 A B C D 内 部 一 点,且 满 足 EB=EC,EA=ED,Z.BEC=ZAED,请 说 明 四 边 形 ABCD是 美 好 四 边 形；【问 题 探 究】（2）如 图，A B C,请 利 用 尺

43、规 作 图，在 平 面 内 作 出 点。使 得 四 边 形 ABCZ）是 美 好 四 边 形，且 满 足 A D=B D.保 留 作 图 痕 迹，不 写 画 法；（3）在（2）的 条 件 下，若 图 中 4 5 c满 足：ZABC=90,AB=4,BC=3,求 四 边 形 ABC。的 面 积；【问 题 解 决】（4）如 图，某 公 园 内 需 要 将 4 个 信 号 塔 分 别 建 在 A、B、C、。四 处，现 要 求 信 号 塔 C 建 在 公 园 内 一 个 湖 泊 的 边 上，该 湖 泊 可 近 似 看 成 一 个 半 径 为 200m的 圆，记 为 E 已 知 点 A 到 该 湖 泊

44、的 最 近 距 离 为 5 0 0 m,是 否 存 在 这 样 的 点。，满 足 AC=8 O.且 使 得 四 边 形 A3。的 面 积 最 大？若 存 在，求 出 最 大 值，若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】（1）见 解 析；（2）见 解 析；（3）2 V 2 1+3:（4）存 在，最 大 值 为 40500011?【分 析】（1）连 接 4 C 8 Q,证 明 ACE&D 3E即 可；（2）分 别 以 点 A B 为 圆 心，大 于 长 度 为 半 径 画 弧，两 弧 交 于 两 点，连 接 两 弧 交 点，即 作 A B的 垂 直 平 分 线，以 B为 圆 心，AC长 度

45、为 半 径 画 弧 交 A B的 垂 直 平 分 线 于 点 O,则 点。即 为 所 作；（3）过 点。作 D E I/W 于 点 E,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得=根 据 勾 股 定 理 求 出 A C,则 B D 已 知，然 后 根 据 S ABCD=5VABD+SyB C D进 行 计 算 即 可；（4）当 美 好 四 边 形 的 对 角 线 不 垂 直 时，过 点。作。E/A C 于 点 E,过 点 8 作 M 1 A C 于 点 尸，可 得 DE+B F B D：当 美 好 四 边 形 对 角 线 互 相 垂 直 时，S四 边 囱 38=S.co+S P=g A C

46、（OQ+OB）=A C BD,则 g A C-（OE+BF）g A C B Z）,则 当 美 好 四 边 形 的 对 角 线 垂 直 时 面 积 最 大，从 而 解 决 问 题.【详 解】解：（I）连 接 AC,8。,AB C,:NBEC=ZAED,：.ZBEC+ZCED=ZAED+ZCEDf K J ZBED=ZAEC,在 AEC和 中，AE=DE/AEC=NDEB,EC=EB：.AEC 乌 DEB(SAS),:.AC=BD,四 边 形 ABC。是 美 好 四 边 形；(2)如 图 即 为 所 作；图(3)过 点。作。上 相 丁 点 E,*.AD=BD,AE=BE=-A B,2V ZABC=

47、90,AB=4,BC=3,A AC=5,BE=L X4=2,2V 四 边 形 ABC。为 美 好 四 边 形，AC=B D 5,*-DE=y/BEr-BE2=后-2?=历，二 S AB-DE=-x 4 x y/2 i=2/2,S=-B C BE=-x 3 x 2=3,2 2 2 2,H S iiA B C D=S A B D+S B C D=2V2l+3；(4)存 在，当 美 好 四 边 形 的 对 角 线 不 垂 直 时，如 图，过 点。作。E 工 AC于 点 E,过 点 8 作 工 A C于 点 尸，则 S四 边 形/we。=S.co+S ACB=AC-(DE+BF),DEDO,BF BO

48、,DE+BFBD,当 美 好 四 边 形 对 角 线 互 相 垂 宜 时,/-AC-(DE+BF)-A C B D,2 2当 美 好 四 边 形 的 对 角 线 垂 直 时 面 积 最 大，如 图，当 A C过 圆 心 E,A C最 长，四 边 形 ABC。中，A C/B D 时，其 面 积 最 大,湖 泊 的 半 径 是 2 0 0 m,点 A 到 该 湖 泊 的 最 近 距 离 为 500m,J AC=500+200 x2=900m,1 1 1 9Sy.边 形 ABCD S K D+S ACB=-AC-(OD+OB)=-AC-BD=x 900 x 900=405000m-.5.(2022江

49、 苏 扬 州 校 考 二 模)【尝 试 探 究】已 知 R tA A B C中，ZACB=90。，点。是 A 8的 中 点，作 如 图 2,试 探 索 中 的 结 论 在 一 般 情 况 下 是 否 仍 然 成 立；（2）【解 决 问 题】如 图 3,已 知 RtZVIBC中，Z C=90,AC=6,3 c=8,点。是 A 8的 中 点，过 C、。两 点 的 圆 分 别 交 边 AC、B C 于 点 P、Q,连 接 P Q,求 PC Q面 积 的 最 大 值.【答 案】AP2+BQ2=PQ2；AP2+BQ2=PQ2,在 一 般 情 况 下 仍 然 成 立，过 程 见 解 析（2）当 时，有 最

50、 大 值 整，即 尸 CQ面 积 的 最 大 值 为 整 6 V o 9o【分 析】（I）证 明 C O Q,求 出 AP=C Q,同 理 求 出 CP=B Q,勾 股 定 理 即 可 求 出；延 长。至 D,使 OD=O。，连 接 A、P D,证 明 四 边 形 4 O 8 Q是 平 行 四 边 形，得 出 A Q BQ,A D=B Q,在 Rt 皿 中，由 勾 股 定 理 得：AP2+BQ2=PQ2,即 可 得 答 案:（2）连 接 OP、O Q,则 NPOQ=90。，由（2）知，AP2+BQ2=PQ2,设 CP=x,CQ=y,推 出（6-x）2+（8-y）-=x2+y,求 出、=笠 竺，