2023年中考数学一轮复习10勾股定理（解析版）（江苏）.pdf

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1、考点1 0勾股定理在命 题趋势.勾股定理主要包括勾股定理、勾股定理的逆定理以及勾股数、直角三角形的判断。在中考中，勾股定理主要以选择题和填空题的形式进行考查，但是勾股定理同样是作为一项工具性质的知识，多与其他几何知识结合，多用来计算三角形边的长度，难度中等。在知 识导图勾股定理的证明勾股定理勾股定理在重 w 考向一、勾股定理；二、勾股定理的逆定理；三、勾股定理的应用。考向一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么+6=0 2.（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直

2、角边长为未知数后，根据题目己知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,h2=c2-a2,c2=（a+b f -2 ab.2.勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.在 图（1）中5正 方 形4 8 8=（4 +6）2=。2+4*5。/?=/+/?2=。2方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.在 图(2)中 S正 方 形A B C D =c 2=(b-a)2-4 x g a b n a 2+b 2=c 2，所以/=+方 工方法三：如 图（3）所示，将两个直角三

3、角形拼成直角梯形.(3)在 图（3）中，S正 方 形 小=辿=2 x +#=2。共例引砥1.如图，二A B C中，。为 A 8的中点，E A C l.,S.B E 1 A C.若 E =1 0,A E =6,则 B E的长度为（）DEB CA.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得A B=2D E,再利用勾股定理列式计算即可得解.【详解】解：；8 E _ L A C,。是AB的中点，:.AB=2DE=2?10 20.在 Rt_ABE 中，BE=-JAB2-AE2=V202-162=12故选：C2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC

4、=6cm,8 c=8 c m,现将一ACD沿直线AO折叠，使点C落在斜边AB上的点E 处，则C的 长 为()cm.【答案】C【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE,BE的长，从而利用勾股定理可求得8的长.【详解】解：AC=6cm,BC=8cm,ZC=90,AB=JAC2+BC2=用+/=I O(cm),由折叠的性质得：AE=AC=6a，NAD=NC=90。，/.BE=10cm-6cm=4cm,/BED=90,设C0=x,则5O=BC-CE=8-x,在 R t.8中，BE2+DE2=BD2即 42+x2=(8-Jr),解得：x=3(c/?z),.CD=3cm，故选：C.3.

5、如图，在 ABC中，AB=ACZB=72,/A Q 3 的平分线CO交 A 3于点。若 AC=2,则CB的长为A.5/5-1B.3-/5()【答案】A【分析】过 C 作6,4 8 于口，根据等腰三角形的性质得到NB=NACB=72。,BC=AD=CD=x,得到8 0 =2-X,根据勾股定理即可得到结论.【详解】解：过C 作于推出BC=AD=C D,设:B =ZACB=72,.ZA=36,C 平分 ZACB,ZAC=ZBC)=36,:.ZA=ZACD,AD=CD，,ZCOB=180-ZB-ZBCD=72o,ZCDB=/B,BC=CD，/.BC=AD=CD,&BC=AD=CD=x,BD=2x,:.

6、DH=BH=-BD =-x ,2 2:.AH=i+-x ,2BC2-BH2=CH-=AC2-AH2,x2-(1-x)2=22-(1+-X)2,2 2解得x=-l (负值舍去)，故CB=75-I,故选：A.4.如图，三角形 ABC 中，AB=AC,NBAC=90。，B D L B C,C E 工 BC,N D A E =45。,若 B D=遥,CE=M,则线段r =()D.5&【答案】C【分析】将A8绕点A顺时针旋转90。得到4C/?.只要证明户是直角三.角形，,E4)g EAF,即可解决问题.【详解】解：如图，将A 8Q绕点A顺时针旋转90。得到A C F,连接EF,D则 C/=8。=痴，AF

7、=AD9 NCAF=/BAD,BD 工 BC,EC 1 BC,./DBC=/ECB=90。,AB=ACf ZBAC=90,.ZABC=ZACB=45,ZABD=ZACF=ZACE=135,二.NEC户 二 90。，在RfAECF中,由勾股定理得：EF=j +（而j =4,ZDAE=45,/.ZEAF=ZE4C+ZC4F=ZEAC+ZBAD=45,/.ZEAD=ZEAF9AD=AF,AE=AE,FAD空 E4F（SA5）,.，DE=EF 二 4,故选：C.5.如图，在ABC中，NC=90。，点。为边AB的中点，DELDF，DE交AC于点E,DF交BC于点F.若AE=3,BF=2,则 E/的 长

8、为（）A.V13 B.5 C.V5 D.13【答案】A【分析】过点4作AG 8 c交/。的延长线于点G,连接EG,叮证可 得 叱=AG,EF=EG,由勾股定理可得结论.【详解】解：过点A作AG 8 c交/）的延长线于点G,连接七G,丁点。是AB的中点,:.AD=BD,AG BC,ZB=ZGADf在AG。和BFD中，4B=NGAD,AD=BD,/ADG=NBDF：-AGD 空 BFD,，BF=AG,GD=DF,；DE上DF，：.EF=EG,?ZCAB+ZB=90,.ZCAB+ZGAD=90 f：.ZGAE=90,*-EF=EG=lAE2+AG2=7 22+32=V1 3 故选：A.考向二：勾股定

9、理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长久b、C,满足。2+6=。2,那么这个三角形是直角三角形.2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；（2）验证：/+与 0 2 是否具有相等关系：若/+=,2,则 ABC 是以NC 为 9 0。的直角三角形；若时，ABC 是锐角三角形；若+/J 2V C2时，ABC 是钝角三角形.3 .勾股数：满足不定方程/+2=z?的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形。4.常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、

10、17；7、24、25；9、4 0、4 1.如果（a、b、C）是勾股数，当 t 为正整数时，以勿、初、/5,BE=，2+4。=2-75 AE=V22+1 =/5X V 52=（75）2+（2/5）2,/.BC2=CE2+BE2,.48C E是直角三角形，ZE=90,又；CE=AE.：.是直角直角三角形，二 Z4C=45,二 ABAC=180-ZE4C=180-45=135,故选：B.3.若 a,b,c 为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（）A.。=8,方=15,c=17 B.a=3,b=5,c=4C.a=4,b=8,c=9 D.a=9,6=40,c=41【答案】C【分析】直

11、接用勾股定理逆定理逐一验证即可.【详解】A、82+152=172,能构成直角三角形;B、32+42=52.能构成直角三角形;C、42+82 92,不能构成直角三角形；D、92+4 02=4 12.能构成直角三角形.故选：C.4 .下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A.1,7 2.3 B.10,15,20 C.,3,4 D.2,3,4【答案】C【分析】根据勾股定理逆定理逐个进行验证即可.【详解】解：A、因为+（夜）2*3、所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、因为102+15 2w 20,所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、因为3 2+（7 7）2=4 2,所以能组

12、成直角三角形，故本选项符合题意；D、因为于+3?*4?,所以不能组成直角三角形，故本选项不符合题意.故选：C.5 .下列各组数中以a,b,c 为边的三角形是直角三角形的是（）A.a=2,b=3,c=4 B.a=,b=,C.a6,b=0,c=8 D.a3,b=4,c =5【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理计算即可判断.【详解】解：A、因为22+3 2*2,所以该三角形不是直角三角形，故不符合题意；B、因 为 口+口彳（6）2,所以该三角形不是直角-:角形，故不符合题意：C、因为6 2+8 2=102,所以该三角形是直角三角形，故符合题意；D、因为（6 +3 4 2,所以该三角形不是直角三角形

13、，故不符合题意；故选：C.考向二：勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算;（4）勾股定理在实际生活中的应用.典例引颔*-*_ _ _1.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔M 在北偏东60。方向上，且AM=100海里.那么该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行（）A.50海里 B.5 0 6 海里 C.65海里 D.75海里【答案】B【分析】如图所示，过点M 作于 N,则N/W M=90,利

14、用含3（）度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AN的长即可得到答案.【详解】解：如图所示，过点M 作MV 1 AB T N,则ZANM=90.由题意得NAWV=30。，/.MN=1 AM=50海里，2AN=-JAM2-M N2=50A/3 海里，乂 垂线段最短，,该船要到达离灯塔距离最近的位置需继续航行50道 海里，故选B.北2.一艘渔船从港口 A 沿北偏东60。方向航行60海里到达C 处时突然发生故障，位于港口 A 正东方向的B处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45。方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C 处所用的时间为（）A.1 小时【答案】D2B.小时c 乎 小 时D.乎 小

15、时【分析】过 点 C 作垂足为点/）,先求出8 的长度，再根据勾股定理求出BC的长度即可.【详解】解：过点C 作C D _L 4B,垂足为点。,：NC4Q=90-60=30,AC=60海里，Z.CD=工 AC=30海里，2ZCBD=90-45=45,B D =CD,根据勾股定理得：B C =B l f+C D2=3 0 0 海里，二救援艇到达C 处所用的时间为：辿1=逑.40 4故选：D.3.如图，在长方体ABCD-EFG”盒子中，已知4?=4cm,8 c =3cm,CG=5 cm,长为10cm的细直木棒恰好从小孔G 处插入，木棒的一端/与底面48CZ）接触，当木棒的端点/在长方形48。内及边

16、界运动时,G7长度的最小值为（）A.(1 0-5 /2)c m B.【答案】A【分析】当G/最大时，GJ【详解】解：当G Z最大时,A B3 c m C.(1 0-4 /2)c m D.5 c m最小，当/运动到点4时，G I最 大,根据勾股定理求解即可.，最小，当/运动到点A时，G/最大，【答案】D止 匕 时 G/=JA C2+C G2，而 AC2=AB2+BC2=42+32=25,-G1=125+52=而=5 6，二G J长度的最小值为（1 0-5忘）c m .故选：A.4.如图，一根木杆在离地面3 m处折断,1A.5 m B.6 m木杆顶端落在离木杆底端4 m处，木杆折断之前的高度是()

17、C.7 m D.8 m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道/两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度.【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3 m处折断，树的顶端落在离树杆底部4 m处,.折断的部分长为 质不=5 m，二折断前高度为5+3 =8 m.故选：D.5.一架长为1 0米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6 米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（）【答案】C【详解】如 图,在 A B C 中，NACB=9 0,AB=1 0米，AC=6米,由勾股定理得BC=8 米，AIBCI 中，ZC=9 0,AIBI=1 0 米，A|C

18、=5 米，由勾股定理得 BiC=5 百米，/.BBI=BIC-BC=5-8=0.66（米），故选 C.件 跟 踪 训 翥*1.如图，在.A BC中，AC=5,BC=8,Z C =60,B D =3,点。在边B C 上，连接4 9,如果将AB。沿 AD 翻折后，点 8的对应点为点E,那么点E 到直线0 c 的距离为（）4A.巫B.4 C.B22【答案】A【分析】先证AACD是等边三角形，可得NAOC=60。,B D=E D =3,由直角三角形的性质可求解.【详解】解：如图，过点E 作 EN_L8 C于 N,A丁.D-i由折叠的性质可得Z A D B =Z A D E=1 20,AV BC=8,8

19、 0 =3,:.CD=5,/AC=5,:.AC=DC,乂丁 ZAC5=60,._AC。是等边三角形，ZADC=60,ZAZ)B=120,.将ABO沿 A。翻折后，点 8 的对应点为点E,ZADB=ZA)E=120,BD=ED=3,：.ZEDC=60,*/ENBC,：.ZDBV=30,1 3:.DN=-DE=,2 2 EN=YJDE2-DN2=即点E 到直线Q C 的距离为空，故 A 正确.2故选：A.2.若直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 1 2,则斜边上的中线长是()A.5 B.6 C.6.5 D.不能确定【答案】C【分析】先利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的

20、中线等于斜边的一半进行求解即可.【详解】解：直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 12,直角三角形斜边的长为 巧G=13,13，斜边上的中线长是芝=6.5,故选C.3.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,8、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正方形E 的面积是（）ABA.10 B.13 C.15 D.26【答案】B【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为X,.y,Z,由勾股定理得I l|f=8,y 2=5,z 2=/+y 2,即最大正方形的面积为z 2.【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E 的边长

21、为Z,则由勾股定理得:x2=3+5=8,/=2+3=5,z2=x2+y2=13,即最大正方形E 的面积为：Z2=13.故选：B.4.如图，直角三角形两条直角边AC、3 c 边长分别是3 和 4,则AB上的中线长为（）AkC BA.5 B.2.5 C.2.4 D.3【答案】B【分析】根据勾股定理可得A B=5,再由直角三角形的性质，即可求解.【详解】解：直角三角形两条直角边AC、8 c 边长分别是3 和 4,*-AB=y/AC2+BC2=5-A8上的中线长为g AB=2.5.故选：B5.如图，在 M C 中，AB=B C,由图中的尺规作图痕迹得到的射线8。与 AC交于点E,点 F 为8 c 的中

22、点，连接E F,若 3E=A C=4,则CEF的周长为（）A.6+1 B.石+2 C.2-75+2 D.2-y5+3【答案】C【分析】根据作图可知BD平分/A B C,结合AB=8 C,由三线合一求出EC长，根据勾股定理求出BC长,再根据直角三角形斜边中线的性质求出E F 长，即可解答.【详解】解：由作图可知，3 0 平分/A B C,V AB=BC,BE=AC=4,:.B E A C,AE=EC=-A C =2,2BC=JBE2+EC2=A/42+22=2后8E _L A C,点 F 为BC的中点，EF=-B C=F C =45,2（?/的周长为：CE+EF+FC=2+0+石=2石+2.故选

23、：C.6.两个直角三角板如图摆放，其中N84C=/E D F=90。，ZE=45,ZC=30,BCE/且 E F 过点A,点。为BC中点，已知BC=2 0,则E F 的 长 为（）BDA.15 B.10石 C.sVlO D.l0/2【答案】B【分析】过点A作 A H L B C,过点。作。G,所，证明四边形AHDG为矩形，可得A”=G)=5 /L 然后利用直角三角形的性质即可得出答案.【详解】解：过点A 作过点。作 D G L E F,如图所示:.ZAHB=ZDGF=90B C/E F二四边形A4DG为矩形即 AH=GDZC=30,N84C=90。，点。为 3 c 中点AD BD =-B C,

24、NB=602即AB。为等边三角形8c=20：.AB=AD=BD=0在直角二 A B 中，AH=AB sin60AH=GD=5石,ZE=45。，NEDF=90。,-.ZEFD=45ZFDG=ZDGF-ZEFD=90-45=45为等腰直角三角形;.GD=GF=GE=5 拒即 EF=G f+GE=1 0 6故选：B.7.如图所示，F 为正方形ABC。的AO边上的一 点.C E A.C F,交 A 8的延长线于E,若正方形ABC。的面积为64,尸的面积为5 0,则 C8 E的面积为（)A.20B.24【答案】B【分析】可先证 C D F g/X C B E,得 CEF是等腰直角三角形，得到C E的值，

25、再求CBE的面积即可.【详解】解：正方形A S C D,面积为64,C E 1 C F,Z D C B =A F C E=Z D =Z.C B E=9 0,D C=B C =8,ND C F =NB C E,在,C D F和CBE中,NC D F =NC B E C D =C BND C F =Z B C E/*C 8 E,C F =C E,则 SM E F=；C F C E =g cE。=5 0,解得CE=1 0,在 RtzXCBE 中，B E =y l C E2-C B2=A/1O2-82=6SArBF=C B-B E=x8 x6=24.CBE 2 2故选：B8.我们知道，三个正整数“、b

26、、c,满足/+/=/,那么，“、6c,成为一组勾股数；如果一个正整数机能表示成两个非负整数x、y的平方和，即机=X2+产，那么称小为广义勾股数，则下面的结论：7是广义勾股数；1 3是广义勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数：若X=“2-/，y =2mn,z=/?+”2,其中X,y,Z,祖，是正整数，则X,y,Z是一组勾股数；其中正确的结论是（）.A.B.C.D.【答案】D【分析】根据勾股数、广义勾股数的定义，再结合整式的运算，反证法逐项判断即可.【详解】7无法表示成力=/+/J、y为非负整数)，故7不是广义勾股数，错误;1 3=2 2+3,故1 3是广义勾股数

27、，正确；两个广义勾股数1 =02+-,5 =12+22,即和为 6 =1+5 =(0?+F)+Q 2 +F),但是6无法表示成初=V +V(x、y为非负整数)，故6不是广义勾股数，即两个广义勾股数的和是广义勾股数的说法错误，错误；设 两个广义勾股数为加=x?+y 2,n =p2+q2,贝!：加=+y 2 )(/+/)=釜2 +J/+y 2 P 2 ,即 i n n =x2p2+2x y p q +y2q2+x2q -2x y p q +y2p2=(x p +y c 1)+(x q -y p?,即机是广义勾股数，则两个广义勾股数的积是广义勾股数，正确：若x =，2-2,y =2 w ,Z=m2+

28、n2,其中 x,y z,m,”是正整数，则：x2=n i*2m2n2+nA y2=4m2n2,z2=m4+2m2n2+n4,即有：x2+y2=z2,则x,y,z是一组勾股数，正确，故选：D.9.如图，四边形 A B C D中，AB/CD,A C =BC =D C =布,A D=V 1 4.则 8 0=【答案】任【分析】延长B C到E,使CE=B C,连接 E,由“S A S”可证 丝 D C 4,可得4。=功)=旧，由勾股定理可求解.【详解】解：如图，延长8C到E,使C E=B C,连接OE.*/BC=CD,:.CD=BC=CE=y5.：.4CBD=/CDB,ZE=ZCDE,/CBD+NCDB

29、+/E +/CDE=1 80。,A ZB=90,BE=2y/5.:AC=BC,：.ZABC=ZBAC,:AB/CD.ZABC=/BCB=/BAC,ZBAC+ZDCA=180,又:NDCB+NDCE=180。,J ZDCE=ZDCAtCE=AC在OCE 与DCA 中，ZDCE=ZDCA,DC=DC：.)(7：丝OCA(SAS),:.AD=Z)=V14.在 RtZXBDE 中，BE=2BC=2 5：,BD=jBE2-DE2=720-14=V6故答案为：瓜.1 0.己知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6,那么AG的长为【答案】2石【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出CD的长，然后根据

30、重心的性质可知DG=gs,最后由勾股定理可求得AG的长【详解】连接CG并延长交A 8于点。，CO是等腰直角二角形ABC斜边的中线C D =-A B =-7A C2+BC2=x j3 6 +36=3&2 2 2 点G 是等腰直角三角形4 3 c 的重心，*D G =C D=/2,J I.A D C D -3-V2在Rl ADG中，根据勾股定理得：A G =ACr+D G1=J18+2=2 石1 1.如图，在二ABC中，NABO45。，AO和 BE分别是8 c 和 AC边上的高，交 8E于 点 凡 连接)E,D E =2五,A E =,则线段BE的长度是.【答案】5【分析】过点。作 DG 1 D

31、E交B E于点G.利用“ASA”证明出一E 4 g G B D ,即得出D G =D E =2五,B G =A E =,再根据勾股定理求出GE=4,最后由3E=3G+G E求解即可.【详解】如图，过点。作 Q G 1O E 交8E 于点G.ZABC=45,ZADB=90,A.ADB为等腰三角形，即AD=BD.：ZADG+ZBDG=90,ZADG+ZADE=90,NBDG=ZADE.:在 VBOF 和AEF 中，ZBDF=ZAEF=90,ZBFD=ZAFE,：.ZEAF=/D BF,即 NEAD=NGBD,二 一E4O，.GBO(ASA),:DG=D E=2g，BG=AE=1,GE=DG2+DE

32、2=4,BE=BG+GE=4+=5.故答案为：5.1 2.如图，等边.ABC和等边VADE中，AB=2近,AO=2百，连CE、B E,当NAC=15()。时，则BE=.【答案】4【分析】如图所示，延长CE交AO于 凡 连 接C。，先利用SAS证明C4E四BA D,得到CE=BD,ZADBZAEC=50,则/双 龙:四。；再利用SAS证明&AEC四二。反7,得到AC=CD,ZACE=ZDCE,则 AFAO=G,2利用勾股定理求出F=3,CF=5,则OE=CE=2,在七中由勾股定理得：BE=yDE2+BD2=4.【详解】解：如图所示，延长CE交AO于R连接。，.ABC和VAOE都是等边三角形，A

33、AC=AB,AE=AD=DE,ZCAB=ZEAD=ZAED=ZADE=60,：.ZCAE=ZBAD,：.CAEAD(SAS),:CE=BD,ZADB=ZAEC=50,：.NBDE=ZADB-ZADE=90,V ZCED=360-ZAEC-ZAED=150,ZAEC=/DEC,又：AE=DE,CE=CE,A AC.DEC(SAS),J AC=CD,AACE=ZDCE,：.CFAD,/.AF=AD=/3,2*-EF=JAE2-A F2=3,CF=yjAC2-A F2=5,DE=CE=CF-EF=2,.在RtABDE中由勾股定理得：BE=JDE2+BD2=4，D13.如图，是等边三角形，以AO为边向

34、外作V A 0E,使NAR9=30。，且AE=3,DE=2,连接BE,则庞:的长为.【答案】713【分析】作AE,艮）=E,连 接 、：然后根据一角形全等的判定方法，判断出/BDEq A A D F 所以B E=A F：最后在直角三角形AE尸中，根据勾股定理，即可求解.【详解】解：如图，E F I A E,且 EF =D E,连接A F、D F,因为N4F=90。，所以“防=90。-30。=60。，D E =EF,所以,。所 是等边三角形，所以ZEDF=60,Z A D F =4 B D E，因为 AD=3，D E =E F,Z A D F =Z B D E，所以 BDE怂 ADF,而 AE=

35、3,D E =E F =2,所以 BE=AF=JAE?+EC=四+22故答案为：yf3.14.如图，在IB C 中，NABC=45。，AB=4 拒，AC=6,B C 4,点 E,尸分别在 5C,AC 边上，且 AF=CE,则A E+B F的最小值为.【答案】2晒【分析】过A点作AG B C,截取AG=A C,连接FG,BG,过8作 欧，A G,交G4的延长线于R,则ZRBC=ZBRA=9 0,证明.A F G&C E 4可求得AE+所 的最小值即为5G的长，再结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解.【详解】解：过A点作AG B C,截取AG=A C,连接b G,BG,过B作BR_ L AG,

36、交G4的延长线于R,则 NMC=N 8R 4=90。，,NGAF=ZACE,在r AEG和CE4中，AG=AC由旋转的性质得：CA=C M ,NACM=60,ACM为等边三角形，A M =CA=2-.故答案为：2.1 6.如图，三角形纸片ABC,Z C=90,E、F 分别是CB、AB边上的点，CE.EB=5:6,将三角形纸片沿FE 折叠，使点B 的对应点。落在AC边上，且。=2而，则 BC的 长 为.ABCE【答案】22【分析】设CE=5x,BE =6 x,首先根据折叠的性质得DE=5E=6 x,再根据勾股定理可得x=2,据此即可求得.【详解】解：CE:EB=5-6,设 CE=5x,BE=6x

37、,：.DE=BE=6x,ZC=90,在 Rt ADCE 中，C D。+CE2=D E2,即（2X/T T+（5X=（6X）2,解得x=2或x=-2（舍去），.GE=5x2=10,8E=6x2=12,B C =C E+B E =1 0+1 2 =2 2,故答案为：22.1 7.如图，）为 3 c 上一点，Z A C B =Z B D E 90,尸为AE的中点.(1)求证：D F =CF ；(2)若 ND尸 C=120。，探究。E,AC与C。之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)DE=A C+CD3【分析】(1)延长C尸交DE于点H,根据NACB=NBDE=90。，可得到DEA C,从而得到Z

38、E=ZE4G N E H F =Z A C F,再由尸为AE的中点，可证得&7步g=47尸，即可求证；(2)根据题意得到NFCD=NF)C=30。，从而得到C=2Z)，进而得到OH=立 C D,再由3.E H F W A C F ,可得 E=4 C,即可求解.【详解】(1)证明：延长C尸交于点V.ZACB=NBDE=90,.ZACB=ZCD=90,：.DE/AC,.NE=ZE4C,NEHF=ZACF,产为AE的中点，:.AF=EF,:.EHF金 ACF,:.HF=CF.NCD石=90。，HF=CF,:.DF=CF.（2）解：DE=AC+C D,理由如下：3HF=CF,ZFC=120,ZFCD=

39、ZFDC=30,QZCDE=90,:.CH=2DH,:.CD=y/CH2-D H2=y3DH，.DH=CD.3.EHF出 一 ACF,:.HE=AC,.DE=HE+DH=AC+CD.31 8.如图所示，在四边形4?C D中，ADYAB,CDBCf ZAC=120,BC=14,AD=3 f 求OC 的长.ADB【答案】146-6【分析】延长BA,CD交于点E,根据多边形内角和定理可得/8=60。，从而得到N8EC=30。,角形的性质可得8E=28C=28,。日=24。4,再由勾股定理可得CE=14/5,即可求解.【详解】解：如图，延长3A,CD交于点E,再由直角三：.ZBAD=ZC=90f :Z

40、AZ)C=120,ZB=60,ZBC=90-ZB=30,VBC=14,AD=3,，BE=2BC=28,DE=2AD=6,*-CE=BE2-B C2=A/282-142=14 7 3，J CD=CE-D E=4y/3-6.19.如图，在Rt ABC中，ABAC=90 f AB=AC=lf。是 3 c 边上的一点，以AO为直角边作等腰心AQE,其中N7ME=90。，连接CE.AEB D求证：AB虑4（?：；若 ABAD=22.5。时，求 8。的长.【答案】见解析；（2）a-1【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得小 场=90,AZ）=A E,进而证明NBAO=/C 4 E,即可根据SAS 证明

41、 ZlABD AC E；（2）勾股定理求得BC=夜 根 据已知条件证明AADC是等腰三角形可得AC=D C,进而根据BD=BC-CD即可求解.【详解】（1）证明：VADE是等腰直角三角形，/.ZDAE90,AD=A E,/ft4 c =90,/./BAD =90-ADAC=ZCAE,在43。与AACE中AB=AC JAC2+AB2=/2,Z.BAC=90,/BAD=22.5,.ADAC=90-/BAD =67.5,AB=AC,/.ZACD=g（l80。90。）=45,.ZADC=180-ZACD-ZDAC=67.5,J ZADC=ZACD,.AC=OC=1,:.BD=B C-D C =y/2-

42、1 2 0.某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知A O=4 m,C)=3 m,ADX.DC,A 8=1 3 m,f i C=1 2 m,求这块地的面积.【答案】2 4 m 2【分析】连接AC,利用勾股定理求出A C的长，再利用勾股定理的逆定理证明A B C是 直 角1角形，根据SAABC-SAA*求出即可.【详解】解：连接A C,V A D=4,DC=3 R A D L D C,.在H r A D C中，AC=j AD2+D C2=5 .在一/I B C 中，A C2+B C2=52+1 22=1 6 9,V A B2=1 32=1 6 9.AC1+BC-=AB2,A B C是直角三角形，

43、,SMBC 1st i ADC=-x1 2 x 5 x 4 x 3 =2 4 ,.这块地的面积是2 4 m 2.2 1.已知：A B C 的边长 a =1-1 ,b=2n ,c -n2+l 且 w l.CB（i）判断三角形的形状，并说明理由；若 ZB=60,求：,ABC的三边长.【答案】（1）ABC是直角三角形（2）。=2,b=2/3,c=4【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根据/3 =6 0 ,可得乙4=30。，从而得到1+1 =2（2 1）,继而得到=百，即可求解.【详解】（1）解：抽。是直角三角形，理由如下：V 6 7 =7t2-1,b=2n,c=7?2+1,a2+b2=

44、（/一 1）+（2）2=4 2n2+1+4/=+2n2+1=（1 +1）=c2,=90即 是 直 角 三 角 形；（2）解：8=60。，ZC=90,ZA=30,c=2a,即+1 =2（/I?-1）,*rr=3 解 得：n=6或n=（不合题意，舍去）当=6 时，a=n2 =（A/3）2-1=3 1 =2,h=2n=2A/3,c=2a=4.2 2.如图是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，/W C的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形.(1)A B C的周长为；(2)如图，点。、P分别是A 8与竖格线和横格线的交点，画出点尸关于过点。竖格线的对称点。；(3)请在图中画出

45、A 8 C的角平分线8 E.【答案】(1)9+后(2)图见解析(3)图见解析【分析】(1)利用勾股定理求出A B,AC,可得结论；(2)根据对称性作出图形即可；(3)利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可.【详解】(1)解：由题意钻=反 不=5，3 c =4,A C=7F=历，/.的周长=5 +4 +V F 7 =9 +J i 7,故答案为：9 +A/F7;(2)如图，点。即为所求;(3)如图，线段跖即为所求.2 3.如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A,B,C在小正方形的顶点上.在图中画出与_ABC关于直线/成轴对称的ZVIBC；连结CBg C,求VCB的周长.【答案】（1

46、）见解析（2）VCBtT的周长为J B +际+4【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点B、C 即可;（2）利 用 勾 股 定 理 分 别 求 出 的 三 边 长，即可.CB=正+32=岳，=+22=石,CC0=4,二 V C B 的周长为 C*+B，C+CC，=/i3+石+4.2 4.如图，在,A 3C中，ZBAC=90,AC=6,BC=IO.A（1）尺规作图，作BC边的垂直平分线，垂足为点E,交A 8边于点。（不写作法，保留作图痕迹）;（2）求线段AO的长.7【答案】见解析；了【分析】（1）分别以点8、C 为圆心，大 于 为 半 径 作 弧，两弧相交于两点，过这两交点作宜线，交 48于力

47、，交 B C 于 E,即可；（2）连接C。，先由勾股定理求出48=8,再由作图知：OE垂直平分8 C,所以BD=CD,则CDAB-Af）=3-AD,在 R/ZkAOC中，由勾股定理求解即可.【详解】（1）解：作 BC的垂直平公线交AB于。，交 B C 于 E,即可如图所示，DE就是所要求作的.在 R/A 8 C 中，由勾股定理，得AB=y/BC2-A C2=/102-62=8，OE垂直平分3C,二 B D =CD,：.C D A B-A D =8-AD,在A C 中，C D2=A D2+A C2,（8-A）2=A2+62,7解得：AD=-.425.如 图，公路MN和公路PQ 在点。处交汇，且N

48、QPN=30。，点 A 处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周 围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？A/0【答案】会受到影响，2 4 s【分析】过点A 作 A 3L PN 于点3,则可得AB=8 0 m,从而可判断学校会受到影响：设从点E开始学校学到影响，点尸结束，则易得4 E=A凡从而B E=B F,由勾股定理可求得B E的长，从而得E F的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间.【详解】如图，过点A 作 A B L

49、PN 于点B,；N Q P N=30。,AP=l 6 0 m,AB=A P =8 0(m),V8 0 m JCH2+DH2=J（4可+（2何=25/10.两艘货船之间的距离为2而 km.2 7.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中A B=A C,由于种种原因，由C 到 A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A,H,B 在一条直线上）,并新修一条路C H,测得CB=3 千米，CH=2.4千米，H B=L8千米.（1）问 CH是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线A C 的长.【答案】（1）是，理由见解析；

50、（2）2.5米.【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得R S C H B是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答：（2）设 A C=A B=x,则 A H=x-1.8,在 R sA C H 中，根据勾股定理列方程求得x 即可.【详解】V 1.82+2.42=32，BH2+CH2=BC2,.RtACHB是直角三角形,即CH_LBH,；.C H 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设 A C=A B=x,则 AH=x-I.8,.在 RS ACH,：.CH2+AH2=AC2,即 2.4?+（x-1.8）2=解得 x=2.5,原来的路线A C 的长为2.