2023年中考数学一轮复习12对称图形-圆（解析版）（江苏）.pdf

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1、考点12心命 题趋势圆主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、确定圆的条件、圆周角、直线与圆的位置关系、正多边形、弧长、扇形与圆锥侧面积的计算等，在江苏省各地的中考中，圆的有关概念、圆的有关性质以及与圆有关的计算考查形式以选择和填空的形式为主，难度适中，直线与圆的位置关系以解答题考查较多，通常是对切线的考查为主。在 知 识 导图.圆的391的11美性质对称图形圆就纥与,的回与有关的计1建.,/9L*.IhJfll美累定及行/-U M J RflgMm泥-W的关第美系/-tMMMS三 角 出 物 内 g座梦边给aI候与咄联在重点考向一、圆的概念与性质；二、直线与圆的位置关系;三、与圆有关的计算。考向

2、一：圆的概念与性质1.与圆有关的概念和性质圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.弦心距：圆心到弦的距离.2.圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性.3.圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）.4.垂直

3、于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.5.圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.6.圆周角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推 论 1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9 0。的圆周角所对的弦是直径.I-1-总例引假 a _-1.（2 0 2

4、2 江苏扬州市江都区第三中学九年级月考）如图，A 是以上任意一点，点 C在3外，已知AB=2,BC=4,AC。是等边三角形，则BCD的面积的最大值为（）A.4百+4B.4【答案】A【分析】以8 c为边向上作等边三角形BCM,连接。0,证明DCN四AC3得到。0=他=2,分析出点。的运动轨迹是以点M为圆心，0 M氏为半径的圆，在求出点。到线段8 c的最大距离，即可求出面积的最大值.【详解】解：如图，以3 c为边向上作等边三角形B C M,连接ZW,，/ZC4=ZMCB=60.Z DCA-Z A C M =NMCB-Z A C M,即 Z D C M =Z ACB.在4 D C M和4C8中，DC

5、=AC-Z D C M =Z ACB,M C =BC/.A D C M A A C B(S A S),/.D M =AB=2,，点。的运动轨迹是以点M为圆心，W长为半径的圆，要使 5 8的面积最大，则求出点。到线段5c的最大距离，：_ B C M是边长为4的等边三角形，点M 到BC的距离为26,.,.点D 到 BC的最大距离为2 6 +2,/.3 8 的面积最大值是g x 4 x 仅g +2）=4百+4,故选A.2.（2022.山东济宁市实验初中九年级月考）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽AB=2 4 c m,则水的最大深度为（）A.8cm B.10cm C

6、.16cm D.20cm【答案】A【分析】连接Q 4,作交AB于点C,交圆于点。，根据垂径定理求得O C,利用圆的半径求得8AC=12,即可.【详解】如图，连接。4,作B=90,/ZA=ZBCD=36,：.ZA5D=90-zTA=90-36=54.故选：A.5.（2022浙江余姚市梨洲中学九年级月考）如图，已知点。是 AfiC的外心，NA=35。，连结8 0,CO,则NOBC的度数是（）A.70B.55A【答案】B【分析】根据点。是一ABC的外心，n J BOC=2ZA=70,OB=OC,再由等腰三角形的性质，即可求解.【详解】解：如图，,点O 是 ABC的外心，ZA=35,NBOC=2ZA=

7、70,OB=OC,NOBC=g(180。-NBOC)=55故选：B.考向二：直线与圆的位置关系1.点和圆的位置关系设。的半径为r,点 P 到圆心的距离O P=d,则有:点 P 在圆外O d r；点 P 在圆上O d=r；点 P 在圆内dVr.2.圆的确定：过一点的圆有无数个；过两点的圆有无数个；经过在同一直线上的三点不能作圆；不在同一直线上的三点确定一个圆。3.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0 个1个2 个数量关系drd=rdr（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（会过圆上一点画圆的切线）（2）切线的性质：切线的性质定理圆的切线

8、垂直于过切点的半径.（3）切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.4.三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.5.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.典例

9、引4sA-1.（2022湖北武汉二中广雅中学九年级月考）已 知。的直径为1 2,点。到直线/上一点的距离为2而，则 直 线/与。的位置关系（）A.相交 B.相切【答案】DC.相离D.不确定【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可.【详解】解。的直径为12,二,。的半径为6,点O到直线I上一点的距离为2V10,无法确定点0到直线/的距离，不能确定直线/与二O的位置关系，故选D.2.（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）已知，ABC,AB=10cm,B C =6 c m,以点8为圆心，以BC为 半 径 画 圆B,以点A为圆心，半径为，画圆 A已知 A与B

10、 外 离,则 的取值范围为（）A.0r4 B.0r4 C.0 r4 D.0rr+Rr A B R 即 r0,0 r,过点A作AW_L。?于 点H,则NAHR=ZAH=90。，ZEDC=10S,ZCDB=ZEDA=36,ZADF=108-36-36=36=Z F,：.A D A F,故C符合题意；连接。4、OB,c五边形ABCQE是正方.边形，Z A O B =36-0=12,5OA=O BtZ O A B =NOBA=g（l80。-72。）=54,E4相 切 于0,:.Z OAF=9 0,，NE48=90 54=36,Z A B D =12 ,.NF=72-36=NM B,:.AB=B F，故

11、 D 不符合题意；故选：C.2.（2022海南华侨中学模拟）如图，AB是等 于（）。的弦，半径于点D,ZA=36。，点 P 在圆周上，则N P,A C =B C，CA.27 B.30 C.32 D.【答案】A【分析】由垂径定理得到A C=B C，根据圆周角定理得到NWC=2NP,是直角三角形，即可求得NAOC=54。，即可得到NP=27。.【详解】解：半径OCLAB于点。，36由半径X _ L AB于点。推出 A OD.-.ZAOC=2ZP,，A。是直角三角形，ZAOC=900-Z 4 =54,NP=2 7.故选：A.3.（2022.辽宁朝阳模拟）圆内接四边形ABC。，NA,N B ,N C

12、的度数之比为3:4:6,则 的 度 数 为（）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案.【详解】解：设/A，N B，N C 的度数分别为3x、4x、6x,.四边形ABC。为圆内接四边形，.3x+6x=180,解得，x=20,二 NB=4x=80,ZD=180 Z8=180 80=100,故选：C.4.（2022江苏镇江模拟）如图，Q 是 M C 的外接圆，Z ABO=3 5,则/C 的度数等于（）A.35 B.45C.55 D.65【答案】C【分析】连接A。，根据等边对等角得出NQ4B=NO&4=35。，根据三角形内角和定理

13、得出4 4 0 3 =180。-2x35。=110。，根据圆周角定理即可求解.【详解】解：如图，连接AO,c,.4。=8 0,乙480=35。，/.ZOAB=ZOBA=35,ZAOB=180o-2x35=110,ZC=-AOB=55,2故选：C.5.（2022吉林长春模拟）如图，A 8是。的直径，RV切。于点A,0P交。于点C,连接B C.若ZP=4 0 ,则2 B 的度数是（）A.20 B.35 C.30 D.25【答案】D【分析】根据切线性质得A B L Q,根据NP=40。，得出Z4OP=90。-40。=50。，再根据三角形外角的性质求出结果即可.【详解】解：以为圆。的切线，:.BAJ.

14、AP.-.ZBAP=90,在 RtzXAOP 中，ZP=40,：.ZAOP=T,OB=OC,/B =/OCB,NAOP为 _3OC的外角，.N*N A O P =25。，故 D 正确.故选：D.6.（2022吉林长春模拟）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2,ZAOB=120,则阴影部分图形的面积为（）A.47r B.兀3【答案】CD.16%【分析】阴影部分的面积是一个环形,可用大圆中240。角所对的扇形的面积减去小圆中240。角所对的面积来求得.根据扇形的面积求解即可.r 240 x4 240 x2 士“,生 LU-W J 解：S用 空=-=8%，故选：C.眼 360 3607.（2022.

15、山东省泰安第六中学二模）如图，四边形A3Q）内接于；0,A E 1C B 交C 8的延长线于点E,若A.3 B.2石BA 平分 NDBE,A D =7,CE=5D.【答案】C【分析】连接A C,由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到NABE=N S 4,Z A B D=Z A C D,从而得到Z A C D =N C D A,得出AC=A Z=7,然后利用勾股定理计算AK的长.【详解】解：连接A C,如图，,/BA 平分 NDBE,，Z ABE=Z A B D，,四边形ABC。内接于I O,：.ABC+ZADC=WP,乂 Z A B C +Z A B E =180Z A B E =ZCDA,乂

16、ZABD=ZACD,：.Z A C D =NCDA,：.AC=AD=7,：A E 1 C B,AE=-JAC2-CE2=yll2-5-=2限 故选：c.8.（2022 重庆八中模拟）如图，在 ABC中，以A 8为 直 径 的。分别与BC,AC交于点F,D,点F是BD的中点，连接A R M 交于点 若 A3=10,C=4.连接O F,则弦O F的 长 为（）A.2石 B.475 C.4 D.5【答案】A【分析】连接。尸，先根据圆周角定理可得4 尸，8C,8。，AC,Z B A F =Z D A F,再根据等腰三角形的三线合一可得AB=AC=10,BF =C F,从而可得OF=g B C,然后利用

17、勾股定理可得BC的长，由此即可得.【详解】解：如图，连接DF,A4 3为1 0的直径,AF rBC,BD rAC,点尸是BD的中点，:.BF=DF,NBAF=2DAF,:.AB=AC,BF=CF（等腰三角形三线合一）,:.DF=-BC,2AB=0,CD=4,.AD=AC-CD=AB-CD=6,又.AB2-AD2=BD1=BC2-CD2,.-.102-62=BC2-42,解得BC=46或BC=-4有（舍去）,DF=x4君=2布,2故选：A.9.（2022浙江温州市第三中学模拟）若扇形的圆心角为60。，半径为4,则 该 扇 形 的 面 积 为.【答案】y【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可.【详

18、解】解：根据题意，扇形的圆心角为60。，半径为4,则该扇形的面积为S=Q=6。=竺3600 360 3故答案为：.10.（2022浙江杭州绿城育华学校模拟）如图，AB是。的直径，OA=,AC是，。的弦，过点C的切线交A 8的延长线于点。.若应-1，则4 8=.c【答案】H2.5【分析】连接O C,根据8。=0-1，可得。=亚，再根据切线的性质，可得NOC=90。，再根据勾股定理可得8=1,进而得到NCOD=NCDO=45。，再由圆周角定理以及三角形内角和定理，即可求解.【详解】解：如图，连接OC,V OB=OA=,BD=4 i-1，：.OD=0，,CO是o的切线，A OC V C D,即 N=

19、A F，从而得到 AO=C=AF,AO+)C=AZ)+A F,得到 ADC=D 4 F,得到 AC=O广=12,得到。E=E F =6,设园的 价 为 七 连 接。.根据勾股定理,得列2=(R-3+6，计算2/?的俏日“二【详解】如图，因为点。是弧A C的中点，所以AD=D C；因为4 5为（。的直径,所以A=A户，所以 AD=C=A+C=A+A 尸，所以 ADC=MF，所以AC=尸=12,所以 DE=EF=6,设圆的半径为R,连接。,根据勾股定理，得到R2=（R-3）2+6,解得2R=15.故答案为：15.13.（2022四川省成都市七中育才学校模拟）如图，在，。中，半径。4垂直于弦B C,

20、点。在圆上且Z ADC=3 0P,则/AO 8的度数为.【答案】60【分析】连接O C,由垂径定理可知：注B=?tC，即NAQ3=Z A O C,再根据圆周角定理可知ZA05=ZAOC=6O。.【详解】解：连接。C,D 半 径 垂 宜 于 弦BC,；由垂径定理可知：*8 =泠7，即NAOB=ZAOC,Z4C=30o,ZAOC=60,ZAOB=60,故答案为：6014.（2022吉林长春市朝阳实验学校模拟）如图，A 8是。的直径，弦CO垂直平分。8,则/8 O C的度数为.【答案】30。【分析】连接O C,由弦8 垂直平分OB,E为。8的中点，可得出OE为O C的一半，利用直角三角形中一直角边等

21、于斜边的一半得到这条直角边所对的角为30。，得到NCOB=6（F,进而得出结论.【详解】连接0C,.弦CO垂直平分0B,：.OE=EB,CDYOB,又OB=OC,在 RJOCE中,OE=EB=-O C,，Z O C E=3 0 ,N C O B =6 0 ,:圆心角N C O B与圆周角Z B D C都对N C D B =-Z.COB=3 0 ,2故答案为：3 0 .1 5.（2 0 2 2,宁夏银川唐徐回民中学三模）如图,。外接于.A B C,延长8。交。于点。，过点C作C E _ L 3 O交 B D 于点E.求证：Z B A C Z B C E.（2）若 4 M C=6 0。，8 c =

22、26，求。的半径.【答案】（I）见解析（2）。的半径为2【分析】（1）连接8,由圆周角定理可得4 8 =9 0。，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得N B C E =N B D C,进而可证明结论：（2）利用直角三角形的性质可得N C B D=3 0 ,即可得B D =2 C D,再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解.【详解】（1）证明：连接CO，：B O 是。的直径,，4 8 =9 0 ,二 N D C E+N B C E =90,CELBD,：.Z C E D =90,，/3 O C+/D C E =9 0 ,/.4BCE=NBDC,：NBAC=NBDC,：.ZBAC=NBCE；(

23、2)解：V Z B A C =6 0 ,/.NBDC=NBCE=60,：/BCD=90,ZCBD=30,/.BD=2CD,/BC=23,BD2-CD2=BC2，(2 C )2-C Z)2=(2 石 产，解得8 =2,BD=4,。的半径为2.1 6.(2 0 2 2 福建省福州外国语学校模拟)如图，以 与。相切于点A,点 8在。上，且 用=P 8.(1)求证：PB与。相切；(2)点 Q在劣弧A3上运动，过点。作。的切线分别交B 4,PB于点、M,N.若 B 4=6,则 P M N 的周长为【答案】(1)见解析；1 2【分析】(1)连接08,证明 A P O 丝 B P O (S S S),由全等

24、三角形的判定与性质得出/B 4 O=/P B O=9 0。,得出O BLPB,则可得出结论；(2)由切线长定理可得出答案.【详解】(1)证明：连接。8,AM,：P A与。相切于点A,N B 4 O=9 0,在4 APOih B P。中，PA=PB PO=PO,0A=OB：.A P O B P O(S S S),Z P A O=Z P 3 0=9 0,.P 3 与。O相切；(2)解：；胆，P 8 是。的切线，过点。作。的切线，PA=6,：.MA=MQ,NQ=NB,PA=PB=6,：./PMN 的周长=P M+M Q+N Q+/W=%+P B=1 2；故答案为：1 2.1 7.如图，在 A B C

25、 中：(1)求作AABC内心E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，Z C=7 8 .求/A E B 的值.【答案】(1)见解析(2)1 2 9【分析】(1)以 C为圆心，以小于A C、8c长度为半径作圆弧，与 A C、BC各相交于一点，分别以交点为圆心，以大于两交点距离一半长度为半径作两个圆弧，相交于一点，连接此交点与C作一条射线，同样的方法从B 点作一条射线，两射线的交点即为三解形内心E：(2)根据三角形内心是角平分线交点和三角形内角和为180,通过证明/C48+/CBA=18()o-NAC8,ZAEB=18 0 -+ZB)即可求出.【详解】(1)如图：【小问

26、2 详解】(2)连接A E,如图:,/ZCAB+ZCBA+ZACB=80,ZCAB+ZCBA SO0-Z ACB,.,点 是 ABC的内心，平分NCAB,BE平分/C R 4,ZEAB=-ZCAB,ZEBA=-ZC BA,2 2/E A 8+NEBA=g(NCA8+NCBA)=g(180-ZACB),ZACB=78./E48+N ER 4 M。800-78。)=51。，2 :NAEB=180。-(N EAB+N EBA),ZAEB=180-51o=129.18.(2022湖南怀化模拟)如图，点 A,B,C,。在。上，AB=CD,求证:ADO（1）AC=BD；（2）A ABE/DCE.【答案】（

27、1）见解析；（2）见解析【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似.【详解】（1）V AB=CD*-AB+A D C D +ADBAD=ADC：.BD=AC（2）V Z B-Z CNAEB=/DEC：.19.（2022 福建厦门.模拟）如图，AB是。的直径，点C是圆上一点，C O,A 8于点。，点E是圆外一点,CA 平 分/ECZ）.求证：CE是。的切线.【答案】过程见解析【分析】先根据题意可知NC4O+N4CD=90。，由角平分线定义得/A C E=N A C Q,再根据“等边对等角“得ZC A

28、O=ZA C O,进入得出乙4CE+/ACO=90,可知/E C O=9 0,即可得出答案.【详解】在 RA ACO 中，ZCAD+ZACD=90.CA 平分 NEC。，Z A C E=Z A C D.：AO=CO,：.Z C AO=ZACO,：.NAC+NACO=90,/ECO=90,C.CELCO,；.C E是圆。的切线.20.（2022辽宁鞍山模拟）如图，A 3为。直径，C,D 为。上不同于A、8的两点，Z A B D=I Z B A C.过点C作C E J_O B,垂足为E,直线A 8与CE相交于尸点.（1）试说明：C F 为。的切线；（2）若CE=2,BE =1,求4 8的长.【答案

29、】（1）见解析（2）5【分析】（1）连接O C,根据同圆的半径相等推角相等，再通过已知角的关系推COE。，证明N O b =90。,从而证明C F为C。的切线：（2）过点。作O G L O E,垂足为。，先证矩形，再用勾股定理求线段的长.【详解】（1）证明：如图，连接OC,CELDB,ZOEF=90,OC=OA,.ZA=ZACO,/.Z.COF=NA+ZACO=2ZBAC,ZABD=2ZBAC,:.ZABD=ZCOF,：.C O/ED.:.NOCF=NDEF=9Q,/.O C C F,:.C F为。的切线,(2)解：如图，过点。作O G L D E,垂足为NOGE=90。,CE1DB,NOEC

30、=90。，ZOC=90%四边形COEG是矩形，:.OG=CE=2,OC=EG=1 +BG,设OC=x,则 BG=x-l,在 Rt OGB 中，OB2=OG2+BG2，x2=4+(x-l)2,解得，X=|,/.AB=5.在真题过关1.（2022江苏淮安中考真题）如图，四边形4 3 8 是。的内接四边形，若 N4OC=160。，则/4 3 C 的度数 是（）A.80B.100C.140D.160【答案】B【分析】先根据圆周角定理求得N D 的度数，然 后 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 求 出 的 度 数 即 可.【详解】解：V ZAOC=160,/.ZADC=-ZAO C =SO0,

31、2.四边形ABC。是。的内接四边形，ZABC=1800-ZADC=180-80=100.故选：B.2.（2022江苏无锡中考真题）如图，AB是圆。的直径，弦平分N B A C,过点。的切线交AC于点E,Z E A D=25,则下列结论错误的是（）A.AEVDEB.AE/ODC.DE=ODD.NBOD=50【答案】C【分析】过点。作。尸，A 8于点凡 根 据 切 线 的 性 质 得 到 证 明 OO4 E,根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可.【详解】解：是。的切线，：.ODLDE,OA=OD,ZOADZODA,.,AC 平分NBAC,：.ZOAD=ZEAD,：.ZEAD=ZODA,：

32、.OD/AE,：.A E D E.故选项A、B都正确；V ZOAD=ZEAD=ZODA=25,ZEAD=25,：.ZBOD=ZOAD+ZODA=5Q,故选项 D 正确;平分NB4C,AELDE,DFLAB,：.DE=DF=30。，从而得到NO4O=90。，即可求解;(2)连接0 C,作 0“，5 c 于”，根据垂径定理可得O H=go8=3,进而得到BC=28H=6百，再根据阴影部分的面积为无形BO C-SS O C，即可求解.【详解】(1)解：直线AO与圆0 相切，理由如下：如图，连接。4A D/B C,/D=/D B C,9：AB=AD,ND=NABD,ZABC=60,Z DBC=ZABD

33、=Z D=30,AZBAD=120o,：OA=OB,.ZBAO=ZABD=30%：.NOA)=90。,：.OAAD,0A 是圆的半径，,直线AO与园。相切，(2)解：如图，连接O C,作。HJ_5。于从,:0 6=0 0 6,J NOCB=NOBC=30。,A ZBOC=120,0 H=-0 B =3,2：BH=ylBO2-O H2=3y/3BC =2BH=6G，扇形B O C的面积为毁 由 3 1 =1 2%，3 6 0:SM B C=BC OH=x6y/3x3=9y/3,阴影部分的面积为St M B O C-S BOC=1 2%-96.1 0.（2 0 2 2 江苏南通中考真题）如图，四边

34、形A88内 接 于。，B D 为。的直径，AC平分2BAD,CD=2近,点 E在 3c的延长线上，连接O E.（1）求直径3。的长；Q）若 BE=5丘,计算图中阴影部分的面积.【答案】4（2）6【分析】（1）设OC辅助线，利用通径、角平分线的性质得出N R4C的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出N C8的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论.（2）由（1）已知/C O D =9 0。，O C=O 得出N B D C 的度数，根据圆周角的性质结合N D 4 c=N 5 D C 得出S,=S，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出8C的值，进而利用直角三角形面积公式求出SECO，由阴

35、影部分面积=5,+邑=邑+S 3 可知5 E C D即为所求.【详解】（1）解：如图所示，连接O C,B D 为:。的宜径，AC平分Z f l 4 =9 0o,NBAC=ZDAC=-NBAD=-x 9 0 =4 5 ,OB=OD.2 2.-.Z C O D=9 0.C D =2 5/2 -O C =OD,:.2 0D1=CD-,即 2。方=8.0 D=2.:.BD=O D+OB=2 +2=4.(2)解：如图所示，设其中小阴影面积为岳，大阴影面积为S-弦 与 劣 弧 8 所形成的面积为S 2,由(1)已知NC O Z)=9(),Z D A C =4 5 ,O C =OD,B D =4,NBDC=

36、-(1 8 0 -Z C O D)=-x 9 0 =4 5 .2 2Z D A C =Z J BDC,.,.弦!?。=弦8,劣弧3 C =劣弧C O.Si=s2.Q B D 为。的直径，C D=2&，Z BCD=Z E CD=9 0,BC=8=2拒.BE =5 y/2 ,:.CE =BE-BC=5 4 2-2-j2=3-j2.SAE 8=g c E-CD=g x2 近 x3 yfi=6.S明 时 部 分=S,+S3=S2+S3=SE CD=6,1 1.(2 0 2 2江苏常州中考真题)(现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直 径 的 长 是1 2 c m,C是半圆弧上的一点(点C与点A、8

37、不重合)，连接AC、B C.备用图(1)沿AC、BC剪下则一ABC是_ _ _ _ _三角形(填“锐角”、直角”或钝角”)；(2)分别取半圆弧上的点E、f和直径A8上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6 c m的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹，不要求写作法);(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段AC上的点M、线段3c上的点N和直径A3上的点尸、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4 c m 的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.【答案】(1)直角(2)见详解(3)小明的猜想正确，理由见

38、详解【分析】(1)A8是圆的直径，根据圆周角定理可知/A C 8=9 0。，即可作答；(2)以4为圆心，A0为半径画弧交。于点E,再以E为圆心，E0为半径画弧交于。点厂连接E F、F O、EA,G、点分别与A、。点重合，即可；(3)当点C靠近点4时，设CM=；C 4,C N=&C B ,可证M7 V/1 8,推出M N =g A B =4 c m ,分别以M,N为圆心，M N 为半径作弧交A8于点尸，Q,可得M N =M P=N Q=4 c m,进而可证四边形M N QP是菱形；当点C靠近点8时，同理可证.【详解】(1)解：如图，A O BAB是。的直径，二 NA C B=9 0。，/Z A

39、C B是直角，即 A 8 C 是直角三角形，故答案为：直角；(2)解：以A为圆心，A。为半径画弧交。于点,再以E为圆心，E。为半径画弧交于。点 F连接EF、F O、EA,G、”点分别与A、。点重合，即可，作图如下：由作图可知 AE=EF=FH=HG=OA=1 A 8=6,即四边形E F H G是边长为6 c m 的菱形;(3)解：小明的猜想正确，理由如下:如图，当点。靠近点A时，设CM=CA,CN=-CBtA K E.CM CN CACB3：.MN/AB,.MN CM-ABCA39：.MN=-AB=-xi2=4cn.3 3分别以M,N为圆心，M N为半径作弧交A8 丁点P,Q,作丁点O,NE工

40、AB于 点、E,/.MN=MP=NQ=4cm.,:MN AB,MD 1 AB,NELAB,：.MD=NE,在 RtAMDP 和 RtANEQ 中，MP=NQMD=NE：.RtMDP=RtA?/EC（HL）,/.NMPD=NNQE,：.MP/NQ,又；MP=NQ,：.四边形MNQP是平行四边形，X V MN=MP,：.四边形M N 0P是菱形；同理，如图，当点C靠近点8时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形，B故小明的猜想正确.12.（2022江苏扬州中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如 图 1，已知扇形。4 B,请你用圆规和无刻

41、度的直尺过圆心0 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2,已知线段脑V,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以M V为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3,已知扇形Q 4 3,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】【初步尝试】如 图 1,作NAOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2,先作MN的 线 段 垂 直 平 分 线 交 于 点 O,再以O 为 圆 心 为 半 径 作 圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3 先作0

42、8 的 线 段 垂 直 平 分 线 交 于 点 N,再以N 为圆心NO为半径作圆，与垂直平分线的交点为M,然后以。为圆心，0 M 为半径作圆与扇形048所交的圆弧即为所求.【详解】【初步尝试】如图所示，作NAOB的 角 平 分 线 所 在 直 线 即 为 所 求：【问题联想】如图，先作仞N 的 线 段 垂 直 平 分 线 交 于 点 0,再以。为圆心例。为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作0 8 的线段垂直平分线交。8 于点N,再以N 为圆心N 0 为半径作圆，与垂直平分线 的 交 点 为 然 后 以。为圆心，为半径作圆与扇形。4 8 所交的圆弧CO即

43、为所求.在模型检测1.（2022江苏扬州市翠岗中学二模）如图，A、。是，。上两点，5C 是 直 径.若 ND=35。，则的度 数 是（）A.70B.65C.55D.35【答案】C【分析】先根据圆周角定理求得N 4 O 8 的度数，再根据AO=OB求 得 的 度 数 即 可.【详解】；2 0=3 5,ZAOB=2ND=2x35=70,AO=OB,：.NOA8=NO8A=g x（18（）o-70o）=55。，故选：C.2.如图，A 8是。的直径，点 C,。在。0 上，若/。=110。，则/A 4 c 的度数为（）A.20 B.35 C.55 D.90【答案】A【分析】利用圆内接四边形的性质求出N

44、8,再利用圆周角定理求出NCA8即可.【详解】解：；/4O C+N B=180。，ZA D C=110,/./A 8C=70。，-AB是直径，二 ZACB=90,ZCAB=20.故选：A.3.（2022江苏景山中学三模）已知正六边形的边长为4,则这个正六边形的半径为（）A.4 B.25/3 C.2 D.4石【答案】A【分析】根据正六边形的特征和正三角形的性质计算求值即可；【详解】解：正六边形的六条边平分整个外接圆，.每条边所对的圆心角为360。+6=60。，.每条边的两个端点与外接圆圆心的连线构成等边三角形，外接圆半径=正六边形边长=4,故选：A.4.（2022江苏苏州二模）如图，A P切。0

45、 于点A,O P交。于点B,BP=5,/P=3 0。，则线段A P的长为（）A.10 B.5 C.6 D.5a【答案】D【分析】连接。A,设半径为广，利用30。所对的直角边等于斜边的一半可求出半径，再利用勾股定理求出A P即可.【详解】解：连接OA,切。于点A,/.NOAP=90,设半径为r,则OP=r+5,ZP=30,/.O P =20A,即 r+5=2 r,解得：r=5,A P =4 0产-0岸=5耳.故选：D5.（2022江苏扬州二模）如图，点 力 是。上一点，切。于点A,连接OB交。于点C,若NOAC=65。,则 的 度 数 是（）ocBA.40 B.500 C.45 D.55【答案】

46、A【分析】由切线的性质得到直角，再利用等腰三角形的性质求解N O,利用直角三角形两锐角互余可得答案.【详解】解：A 8切。于点A,OALAB,OAOC,NQ4c=65。，ZAOC=180o-65x2=50,OAAB,：.W=90-?O 40?,故选A.6.（2022.江苏常州二模）如图，AB是。的直径，C,D是，0 上的两点，若NABD=54。，则NBCD的度数 是（）【答案】A【分析】连接A，如图，根据圆周角定理得到/AO8=90。，Z C=Z A,然后利用余角的性质计算出/A,从而得到/C 的度数.【详解】解：如图，连接AO,AB为。的直径，/.4。8=90。，/A=90-2480=90-

47、54=36,：.ZC=ZA=36.故选：A.7.（2022江苏无锡市河埒中学二模）如图，五边形A8CDE是。的内接正五边形,AF是O的直径,则ZBDF的度数是（）A.36 B.72D.60【答案】C 分析利用正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.【详解】解：尸是。的直径，五边形A8CQE是。的内接正五边形,-CF=DF 4C=D E，NBAE=108,BF=EF，：.ZBAF=ZBAE=54,：.ZBDF=ZBAF54,故选：C.8.（2022江苏苏州高新区实验初级中学一模）如图，正五边形4BCCE内 接 于。，点厂为0。上一点,则NEFC的度数为（）A.36B.45BC.60D.72【答案

48、】D【分析】连接E C,根据圆内接四边形性质定理可知NEFC+NEDC=180,再利用五边形ABCDE是正五边形，求解即可.【详解】解：如图所示，连接EC,是圆内接四边形，,ZEFC+ZEDC=80,：五边形ABCDE是正五边形，ZEDC=(5-2)x180=108,，ZEFC=12。,故选：D.9.(2022江苏无 锡 市 天 一 实 验 学 校 模 拟)已 知 在 中，A8=AC=5,BC=6,则，,C的外接圆的半径是.25【答案】vO【分析】通过作辅助线仞 工3 C,可 将 求 外 接 圆 的 半 径 转 化 为 求Rt.BO D的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可.【详解】解：如图，作

49、A D 1 8 C,垂足为。，则。一定在A上，*-AD=V52-32=4，设 OA=r,OB2=OD-+BD2,E P r2=（4-r）2+32,25解得 =o10.(2022江苏泰州模拟)如图，在平面直角坐标系中，己知C(3,4),以点C 为圆心的圆与轴相切，点A、8 在x 轴上，且。4=。8 .点 P 为 C 上的动点，ZAPB=90,则A 8长 度 的 最 小 值 为.【答案】4【分析】连接O C,交 C上一点P,以。为圆心，以0 P 为半径作。O,交x 轴于A、B,此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得0P=2,则A 8的最小长度为4.【详解】解：连接0 C,交，C 上一点P,以。

50、为圆心，以0 P 为 半 径 作 交 x 轴于A、B,C（3,4）,OC=A/32+42=5-,/以点C 为圆心的圆与y 轴相切.c的半径为3,，O P =OA=Q 3 =5-3=2,：A 8 是直径，；ZAPB=90，A 8 长度的最小值为4，故答案为4.11.（2022.江苏泰州三模）已知，中，AB=2,A C =3,8 c =4,以8 c 为边作Rtz8CM,使得Z B M C =90,连 接 则 线 段 A M 长 的 最 大 值 为.【答案】2+叵2【分析】以8 C 为直径的圆作0 O,由题意可得，点M 在圆0。上（除去5、C 两点），连接A O 并延长，交。于点M,此时A M 最大