专升本高等数学重要考点.pdf

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1、 高 等 数 学 第 一 章 函 数、极 限 和 连 续 一、函 数 二、极 限 三、连 续 第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 一、导 数 二、微 分 三、中 值 定 理 四、导 数 的 应 用 第 三 章 一 元 函 数 积 分 学 一、不 定 积 分 二、定 积 分 第 四 章 多 元 函 数 微 积 分 学 初 步 一、多 元 函 数 二、二 元 函 数 的 导 数 与 微 分 一 一 偏 导 数 与 全 微 分 三、二 元 函 数 的 积 分 一 一 二 重 积 分 第 五 章 常 微 分 方 程 初 步 第 六 章 常 数 项 级 数【考 试 tips一、考 试 形 式：闭 卷

2、、笔 试，满 分 100分，考 试 120分 钟，使 用 答 题 卡 答 题。二、试 卷 内 容 比 例 1.函 数、极 限 和 连 续 约 占 15%2.一 元 函 数 微 分 学 约 占 27%3.一 元 函 数 积 分 学 约 占 23%4.多 元 函 数 微 积 分 学 初 步 约 占 17%5.常 微 分 方 程 初 步 约 占 10%6.常 数 项 级 数 约 占 8%三、试 卷 题 型 比 例 1.单 项 选 择 题 约 占 15%2.填 空 题 约 占 15%3.计 算 题 约 占 48%4.综 合 题 约 占 22%四、试 卷 难 易 度 比 例：容 易：中 等 题：难 题=

3、4：4：2重 要 考 点 一 极 限 极 限 理 论 是 微 积 分 学 的 基 础，微 积 分 中 的 基 本 概 念 都 是 运 用 极 限 方 法 阐 述 的;【思 考】什 么 是 极 限？无 限 接 近【技 巧】极 限 的 计 算 思 路 1.直 接 代 入 2.处 理 之 后 再 代 入：约 分、通 分、分 子 有 理 化、分 母 有 理 化 3.套 用 公 式 oo,m zz(1).l i.ma-X-n-t-4-a!-X-m-1-H-F-Q-+-Q-=%,m=nX f8 bqX+bxxn+.+bkX+bfl b o0,m/0，X-8,X+0 0,定 理 仍 然 成 立。形 如“0

4、8”，“8-8”，“产，“0”，“8”等 形 式 的，先 将 这 些 形 式 进 行 变 形，变 成“或 型，再 用 洛 必 达 法 则 进 行 计 算。5.夹 逼 定 理：设 函 数 火 x),g(x),(x)在 X。的 某 个 去 心 邻 域 内 满 足:夹 条 件：fix)g(x)h(x)逼 条 件：粤*)=粤*=4,则 粤 虱 X”，I重 要 考 点 二 连 续【思 考】什 么 是 连 续？什 么 是 函 数 的 连 续？连 续，不 间 断，无 缝 连 接。A A 函 数 在 某 点 连 续 的 充 要 条 件：左 连 续+右 连 续;或 极 限 存 在 且 极 限=该 点 的 函 数

5、 值:或 左 极 限=右 极 限=该 点 的 函 数 值。【金 句】连 续：间 断 点 若 函 数./U）在 Xo处 不 连 续，则 称 沏 为.危 0的 间 断 点。第 一 类 间 断 点：左、右 极 限 均 存 在，但 不 连 续 的 间 断 点。典:左 右 极 限 左 等 时,这 样 的 间 断 点 为 可 去 型 间 断 点;左 右 极 限 存 在 但 不 相 等,这 样 的 间 断 点 为 跳 跃 型 间 断 点。第 二 类 间 断 点：左 右 极 限 中 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点。无 穷 间 断 点 震 荡 间 断 点 2重 要 考 点 三 导 数 一、导 数

6、 的 定 义 函 数 fix)的 导 数，记 作/。)或 dy/dx或 dfd)/dx或 y 1r(x)=lim/(-Y+A v)/(X)A A-O A Y(1)段)在 XO处 可 导 的 充 要 条 件 是/U)在 x0处 左 可 导+右 可 导 且/)=/+(Xo)=f(Xo)”。(2)可 导 与 连 续 的 关 系：4)在 的 处 可 导 是 在 的 处 连 续 的 充 分 非 必 要 条 件。(3)导 数 的 几 何 意 义：导 数 表 示 函 数 兀 v)在 某 点 的 瞬 间 变 化 程 度，即 切 线 的 斜 率。【金 句】二、导 数 的 运 算 1.基 本 导 数 公 式【】c

7、=(xny=S)=(logx)=(e*)=(lnx)=(sin x)=(arcs in x)=(cosx)=(arccosx)=(tan x)=(arctan x)=2.四 则 运 算：若 函 数;(x),g(x)均 可 导，则 其 和、差、积、商 构 成 的 函 数 亦 可 导。且：/Wg(X)寸(X)士 g(x)/(x)g(x)=y(x)g(x)t/(x)g。)【】/(x):/(x)g(x)-/(x)g(x).g(X)g(x)23.复 合 函 数 的 导 数【】【金 句】链 式 求 导 法。4.高 阶 导 数【金 句】先 算 一 阶 导 数 广(X),再 算 二 阶 导 数/Q).，直 到

8、 阶 导 数 r)(x),并 找 规 律。5.隐 函 数 的 导 数【】【金 句】(+对 数 求 导 法)6.微 分：【思 考】导 数 表 示 了 函 数 中 每 点 的 斜 率，那 么 微 分 表 示 什 么 呢？函 数 尸/U)=f,如 左 图。正 方 形 的 边 长 x 增 加 了 Ar,面 积 y 增 加 了)=2XAA-+AXA T。我 们 把 其 中 的 2JA X 称 为 该 函 数 的 微 分：dy=2xxc(1)微 分 表 示 自 变 量 x 的 改 变 带 来 的 因 变 量 y 的 近 似 改 变。【因 变 量 的 变 动 与 自 变 量 变 动 必 须 是 线 性 关

9、系(一 次 项 关 系)。】(2)一 元 函 数 的 可 导 性 和 可 微 性 是 等 价 的：dy/dxfx)-dyfx)dx【金 句】3重 要 考 点 四 导 数 的 应 用 一、微 分 中 值 定 理 1.罗 尔 定 理(Rolle)：若 函 数 式 x)满 足 条 件：在 闭 区 间 口,加 上 连 续：在 开 区 间(a力)内 可 导；犬)=火 与；则 在 3 内 至 少 存 在 一 点&使 得/化)=0。导 数/(X)等 于 0 的 点 称 为 函 数 次 x)的 驻 点。【几 何 意 义】满 足 这 三 个 条 件 的 曲 线 上，至 少 有 一 个 点 的 切 线 与 x 轴

10、 平 行。二、拉 格 朗 日 中 值 定 理：若 函 数.危 0满 足 条 件：在 闭 区 间 口,以 上 连 续；在 开 区 间(a,份 内 可 导；则 在(a 内 至 少 存 在 一 点 自 使 得 笔 罗 尔 定 理 可 以 看 作 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 特 殊 形 式。二、导 数 的 应 用 1.洛 必 达 法 则：不 定 式 极 限 的 一 种 有 效 方 法 见 极 限 的 计 算 2.函 数 单 调 性 的 判 断【单 调 性 判 定 定 理】设 函 数 式 用 在 3,句 上 连 续，3 力)内 可 导：【证 明】若 在(。力)内 广(x)o,则 火 X)在

11、m 用 上 单 调 递 增；若 在 3 力)内/(x)0,右 侧/(x)0,沏 为 极 大 值 点；在 点 为 左 侧/(x)0,xo为 极 小 值 点；在 点 沏 两 侧 尸(x)不 变 号，沏 不 是 极 值 点。第 二 充 分 条 件：大 幻 在 点 处 沏 有 二 阶 导，且，5)=0,r保)中 0：若 尸(沏)O，则 式 外 在 沏 处 取 极 小 值。34（4）求 出 极 值。【金 句】4.函 数 最 值 的 计 算：指 函 数 在 某 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值。最 值 在 极 端 值 点、导 数 不 存 在 的 点、区 间 端 点 处。计 算 步 骤：连 续 函

12、 数 次 的 在 闭 区 间 a,例 上 的 最 值（1）求 应）在（4,。）内/（X）=O和/U）不 存 在 的 点 山 用 内,修；计 算 函 数 值 为 a）R x i）爪 X2）,.爪 X）爪 b）；（3）函 数 值 几 7）次 即）,/（必）,忧 x X 初 中 最 大 的 为 最 大 值，最 小 的 为 最 小 值。【金 句】5.曲 线 的 凹 凸 性 和 拐 点（1）方 法 一：定 义 法：弦 总 位 于 这 两 点 的 弧 段 上 方，则 称 该 曲 线 是 凹 性 的：弦 总 位 于 弧 下 方，则 称 该 曲 线 是 凸 性 的。（2）方 法 二：一 阶 导 数 法 若 左

13、）在 区 间 伍 力）内 具 有 一 阶 导 数，若 曲 线）=*x）位 于 其 每 一 点 处 切 线 的 上 方，则 函 数 7（x）在 区 间（a力）内 是 凹 的：若 曲 线 月 伏）位 于 其 每 一 点 处 切 线 的 下 方，则 函 数 y（x）在 区 间（a力）内 是 凸 的。（3）方 法 三：二 阶 导 数 法 若 兀 0在 区 间 3,6）内 具 有 二 阶 导 数，若 当 x d（a 时/（x）0,则 曲 线,/（X）在 区 间（a力）内 是 凹 的；若 当 x d（a力）时 r（x）0,则 曲 线 7（x）在 区 间（a,b）内 是 凸 的。=拐 点：在 曲 线 上，若

14、 某 点 的 两 侧 有 不 同 的 凹 凸 性，则 称 该 点 为 该 曲 线 的 拐 点。若 沏 是 火 x）的 拐 点，则 广（沏）=0。根 据 拐 点 的 定 义，结 合 凹 凸 性 的 判 断，若/W 在 必 的 邻 域 内 具 有 二 阶 导，且/1）=（）,广（X）在 沏 两 侧 异 号，则（Xo，f（Xo）是 曲 线 式 X）的 拐 点；此 外，/（Xo）不 存 在 的 点，也 可 能 是 曲 线 4X）的 拐 点。曲 线 凹 凸 性 与 拐 点 判 别 的 步 骤（1）确 定 函 数 的 定 义 域；（2）求/（X）,并 找 出 _T（x）=0和/。）不 存 在 的 点，这

15、些 点 将 定 义 域 分 成 若 干 个 小 区 间。（3）列 表，由/”（x）在 上 述 点 两 侧 的 符 号 确 定 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点。【金 句】六、曲 线 的 渐 近 线 1.水 平 渐 近 线【金 句】2.垂 直 渐 近 线【金 句】5重 要 考 点 五 不 定 积 分【金 句】不 定 积 分 是 导 数 的 逆 运 算 f/(x)*=F(x)+CJ/(X)土 g(x)的=J f(x)d x j g(x)d x1.不 定 积 分 的 基 本 性 质 j k f xdx=4 J/(x)dx k n士 0l j f(x)d x=/(x)或 f(x)d x=f(x)d

16、xjF(x)d x=F(x)+C2.基 本 积 分 公 式 J kdx=J axdx=j sin xdx=j xHdx=dx=J Xf,dx=J cos xdx=J 1+x2J 2 d XJ COS X/1 dx=J Vl-A23.换 元 积 分 法(1)第 一 换 元 积 分 法：又 称“凌 微 分 法 是 导 数 复 合 运 算 的 逆 运 算。从 里 往 外 凑。设 函 数 人)有 原 函 数 F()，=9(x)可 导，则：J/S(x)2(x)冰=P(x)+C(2)第 二 换 元 积 分 法 一 一 真 正 的 换 元 法 设 函 数 户 口 单 调、可 导，且“知。又 设 矶 贝 川

17、具 有 原 函 数 G，贝 I：Jg(x)dx=GV-1(x)+C此 方 法 是 引 入 变 量 f(f可 用 X 来 表 示)，将 计 算 X 的 积 分 转 化 成 计 算 f的 积 分。4.分 部 积 分 法：是 导 数 乘 法 的 逆 运 算 设 函 数 片 产 心)的 导 数 都 存 在 且 连 续，则：口 出(x)=(x)v(x)-Jv(x)而 6重 要 考 点 六 定 积 分【金 句】一、定 积 分 一 一 函 数 7U)在 区 间 勿 上 与 X 轴 围 城 的 面 积：记 作 治。1.计 算 平 面 图 形 的 面 积 2.计 算 旋 转 体 的 体 积 二、定 积 分 的

18、计 算【金 句】牛 顿-莱 布 尼 茨 公 式：设 函 数/(x)在 区 间 a力 上 连 续，F(x)是/U)在 fa力 上 的 一 个 原 函 数,贝 U：-积 分 上 限 函 数 1：/.是 於)在 a用 上 的 一 个 原 函 数；-积 分 下 限 函 数 是-危)在 值 句 上 的 一 个 原 函 数；7重 要 考 点 七 多 元 函 数 多 个 自 变 量【金 句】一、二 元 函 数 的 极 限 与 一 元 函 数 类 似 二、二 元 函 数 的 连 续 与 一 元 函 数 类 似 三、二 元 函 数 的 导 数 与 微 分 与 一 元 函 数 类 似 1.偏 导 数【金 句】z=

19、/U,y)关 于%的 偏 导 函 数：&z=Ax,y)关 于 y 的 偏 导 函 数:2.二 阶 偏 导 数 d 2 z“Z对 X的 二 阶 偏 导,记 作：存 或/二(工，)或 Z;d 1 zz对)，的 二 阶 偏 导 为:亍 或 G，y)或 Z。I若 z 对 先 x 后 y求 导 数,得 到 的 二 阶 偏 导 数 称 为 二 阶 混 合 偏 导，记 作 鼠 或 同 理，有 z 对 先 y 后 x 的 二 阶 混 合 偏 导,记 作：薪 或/工 一)或 1可 以 证 明 得 到，=z 即 二 阶 混 合 偏 导 的 值 与 求 导 顺 序 无 关。3.全 微 分【思 考】一 元 函 数 y

20、=/(x)的 微 分 表 示：x 的 增 量 A x带 来 的 因 变 量 的 改 变 量 Ay(A y只 与 A x的 一 次 项 相 关)的 近 似 值 y。且 小 可(x)办。类 似 的，多 元 函 数 的 全 微 分 表 示 什 么 呢？以 二 元 函 数 的 全 微 分 为 例：与 一 元 函 数 的 全 微 分 类 似：二 元 函 数 z=/U v)的 全 微 分 应 表 示 自 变 量 的 增 量 带 来 的 因 变 量 变 动 的 近 似 值&。那 么：dh?A A A 即：二 元 函 数 z=/(xj)的 全 微 分 表 示 函 数 自 变 量 的 变 动,)，带 的 因 变

21、 量 z 的 近 似 改 变 dz且 可 以 证 明 得 到：dz=f(x,y)Ax+f=fx(.x,y)dx+fy(x,y)dy4.多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 5.二 元 隐 函 数 的 求 导 法 则 与 一 元 隐 函 数 的 求 导 类 似 86.二 元 函 数 的 极 值、最 值 与 一 元 函 数 的 极 值 最 值 类 似。(1)极 值：【极 值 存 在 的 必 要 条 件】设 函 数 z=/(xj)在 点(沏,涧)处 有 极 值，且 函 数 在 该 点 的 一 阶 偏 导 数 存 在，则 外(毋)，0)=0,八(毋 泗)=0【极 值 存 在 的 充 分 条 件】

22、设 函 数 z=/(xj)在 点(xo,)b)的 邻 域 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数，且 点(期,0)为 函 数 z=/(x,y)的 驻 点，记：A=fxx(xa,y0),B=fxy(.x0,y0),C=f yy(xo,yo)当 炉-AC0,且 A 0时，./(xo,)，o)是 函 数 的 极 大 值；当 6-AC 0 时，於 o M 是 函 数 小)的 极 小 值；当 炉-A G O 时，,),%)不 是 函 数 加,y)的 极 值。(2)最 值：最 值 在 函 数 的 极 值、端 点 值 和 驻 点 上 取 得。三、二 元 函 数 的 积 分 一 一 二 重 积 分 函 数 z

23、=/u，y)在 区 域 D 上 的 积 分 记 为：二 重 积 分 的 计 算，可 以 归 化 为 两 个 有 序 的 定 积 分，即 二 次 积 分：JJ/(x,y)d(y=Jj f(x,y)dxdyD D【金 句】9重 要 考 点 八 常 微 分 方 程 初 步 微 分 方 程 是 指 含 有 微 分 的 方 程，由 于 微 分 和 导 数 可 以 互 相 表 达，因 此，含 有 导 数 的 方 程 也 可 以 成 为 微 分 方 程。阶：指 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 的 阶 数；解：指 满 足 微 分 方 程 的 函 数；通 解：指 满 足 微 分

24、方 程 的 所 有 函 数，其 常 包 含 常 数 C,且 常 数 的 个 数 等 于 方 程 的 阶 数；特 解：指 满 足 微 分 方 程 的 所 有 解 的 其 中 一 个 解；特 解 常 可 以 通 过 一 个 条 件 来 确 定，我 们 把 这 样 的 条 件 称 为 定 解 条 件(或 初 始 条 件)。在 实 际 中，方 程 的 形 式 是 复 杂 多 样 的，我 们 这 里 只 讨 论 三 种 特 殊 的 微 分 方 程：一、可 离 变 量 的 微 分 方 程 可 离 变 量 的 微 分 方 程 是 指 可 写 成：g(y)dyx)dx的 微 分 方 程。【求 解 方 法】分

25、离 变 量 法：将 微 分 方 程 表 达 称 以 上 标 准 形 式 之 后，在 方 程 两 边 直 接 计 算 积 分:ig(y)dy=if(x)dx,即 可 解 出 x 与 y 的 关 系 式。二、一 阶 线 性 微 分 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 是 指 可 写 成:a(x)，4b(x)产 c(x)的 微 分 方 程。(a(x),6(x),c(x)为 已 知 函 数)c(x)=O时，该 微 分 方 程 称 为 一 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 a(x)y+b(x)y=O,常 表 示 成:y+P(x)y=O c(x)和 时，该 微 分 方 程 称 为 一 阶 非 齐 次

26、 线 性 微 分 方 程 a(x)y+b(x)y-c(.x),常 表 示 成：y+PMy=Q(x)1.一 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 y+P(x)=O的 通 解 y+P(x)=O 可 用 分 离 变 量 法 写 成：dy/dx+P(x)r=O dy/y=-P(x)dx两 边 不 定 积 分：W)/y=J-P(x)公。得 ln|y|=JP(x)公+lnG即 通 解 为：y=CeSP(xdx2.一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 y，P(x)=Q(x)的 通 解 设 y，+P(x)产 Q(x)的 通 解 为：产 C(x)e/叫 两 边 求 导：旷=。(柳 严)仁 千)其 0小 巴

27、代 入 原 方 程，得：。3=。0)/四，两 边 不 定 积 分：C(x)=iQ(x)e)dxdx+C.所 以：一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程)，+P(x)产 Q(x)的 通 解 为：y=eiQ(xP W xdx+C三、二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 y+py+q)=O的 通 解 及 特 解：【步 骤】1.写 出 微 分 方 程 的 特 征 方 程/+p什 q=0.2.求 出 特 征 方 程 的 两 个 根 外，23.根 据 特 征 根 的 不 同，按 下 表 写 出 微 分 方 程 的 通 解。，厂 2的 情 况 通 解 两 不 等 实 根 一，7*2 y=G

28、 erx+C2er/两 相 同 实 根 ri=r2y=(G+C2x)er,x一 对 共 胡 复 根 rj,2=如 邛 y=eax(Cicospx+C2 sinPx)10重 要 考 点 九 常 数 项 级 数 的 收 敛 性 一、数 列 二、常 数 项 无 穷 级 数：数 列 无 穷 项 的 和 三、常 数 项 无 穷 级 数 的 收 敛 性：数 列 无 穷 项 的 和 的 收 敛 性 数 列 无 穷 项 的 和 的 极 限 存 在 一 一 收 敛 数 列 无 穷 项 的 和 的 极 限 不 存 在 发 散 1 1目 录 第 一 章 函 数、极 限 和 连 续 一、函 数 二、极 限 三、连 续

29、 第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 一、导 数 二、微 分 三、中 值 定 理 四、导 数 的 应 用 第 三 章 一 元 函 数 积 分 学 一、不 定 积 分 二、定 积 分 第 四 章 多 元 函 数 微 积 分 学 初 步 一、多 元 函 数 二、二 元 函 数 的 导 数 与 微 分 偏 导 数 与 全 微 分 三、二 元 函 数 的 积 分 二 重 积 分 第 五 章 常 微 分 方 程 初 步 第 六 章 常 数 项 级 数 12【考 试 tips一、考 试 形 式 闭 卷、笔 试，满 分 100分，考 试 120分 钟，使 用 答 题 卡 答 题。二、试 卷 内 容 比

30、例 1.函 数、极 限 和 连 续 2.一 元 函 数 微 分 学 3.一 元 函 数 积 分 学 4.多 元 函 数 微 积 分 学 初 步 5.常 微 分 方 程 初 步 6.常 数 项 级 数 约 占 15%约 占 27%约 占 23%约 占 17%约 占 10%约 占 8%三、试 卷 题 型 比 例 1.单 项 选 择 题 约 占 15%2.填 空 题 约 占 15%3.计 算 题 约 占 48%4.综 合 题 约 占 22%四、试 卷 难 易 度 比 例 容 易：中 等 题：难 题=4：4：213第 一 章 函 数、极 限 和 连 续 第 一 节 函 数【回 顾】什 么 是 函 数？

31、对 于 任 意 存 在 的 X,有 且 仅 有 一 个 v与 其 相 对 应,则 称 y 是 X 的 函 数。记 作 月(X)。一.函 数 的 四 要 素 变 量：x 为 自 变 量，y 为 因 变 量 函 数 关 系：表 示 y 与 x 之 间 的 关 系 f 定 义 域：x 的 取 值 范 围 值 域：y 的 取 值 范 围【例 题】求 下 列 函 数 的 定 义 域：1 2(1)y=j=；(2)y=log arcsinx；(3)y=-；yjx2 _9 sin 内(4)y=g-+log“(2x-3)；(5)y=arccos-+logu(4-x2)x-2 2*定 义 域(实 际 背 景 根

32、号 下 非 负/分 母 非 零/对 数 中 底 数 大 于 0 且 不 等 于 1、真 数 大 于 零/.)【例 题】下 歹 恪 题 中，函 数 段)和 8可 是 否 相 同？为 什 么？(1)/(%)=x,g(x)=；(2)/(x)=cosx,g(x)=l-2sin2；2(3)f(x)=-,g(x)=x-l；(4)/(x)=,g(x)=x。x+x.函 数 的 性 质(1)有 界 性：设 函 数 兀 r)在。上 有 定 义，如 果 存 在 两 个 实 数 帆 和 M,满 足：对。中 所 有 的 x 都 有 不 等 式，则 称/U)在。上 是 有 界 函 数,，为 下 界，M 为 上 界。否 则

33、 为 无 界 函 数。如：y-a+bx,xGR-无 界；y=xz+bx+c,xR-无 界；y=sinx,xGR-有 界；(2)单 调 性：设 函 数 式 X)在。上 有 定 义，若 对 于 任 意 的 孙 巧 仁。且 X|42，都 有 4修)勺 52)成 立，则 称/U)在 D 上 是 单 调 递 增 函 数;若 对 于 任 意 的 两 用 七。且 乃 X2,都 有 於 1)“2)成 立，则 称/U)在 D 上 是 单 调 递 减 函 数。【例 题】尸 f,x W R 的 单 调 性【思 考】y=f呢？14(3)奇 偶 性：设 函 数 上 是 奇 函 数;果 对 任 意 的 xG。，都 有 斤

34、 x)/x)成 立，则 称 r)在 D 上 是 偶 函 数。奇 函 数 关 于 原 点 对 称,偶 函 数 关 于 v轴 对 称。【例 题】下 列 函 数 中 哪 些 是 偶 函 数，哪 些 是 奇 函 数，哪 些 既 非 偶 函 数 又 非 奇 函 数？|_2(1)y=x2(l-x2)(2)y=3x2-x3；(3)y=-；+x(4)y=x(x-l)(x+l)；(5)y=sinx-cosx+l(6)y-a。(4)周 期 性【例 题】下 列 各 函 数 中 哪 些 是 周 期 函 数？对 于 周 期 函 数，指 出 其 周 期：(1)y=cos(x-2)(2)y=cos4x；(3)y=1+s i

35、 n；(4)y=xcosx；(5)y=sin2x(6)y=sin3x+tanx。3.分 段 函 数、隐 函 数、反 函 数、复 合 函 数(1)分 段 函 数：如 果 在 定 义 域 内，变 量 之 间 的 关 系 不 能 用 一 个 表 达 式 给 出，则 需 要 将 其 分 段，构 造 分 段 函 数。x+2,x 0(2)隐 函 数：由 变 量 x,y满 足 的 方 程 确 定 的 函 数)可 代)称 为 隐 函 数。如：x2+y2=l,x=y+siny注：有 的 隐 函 数 可 以 解 出 显 函 数,有 的 则 不 可 以。(3)反 函 数：设 式 x)是 定 义 在。上 的 一 一

36、对 应 函 数，值 域 为 Z,若 对 应 关 系 g 使 得 对 任 意 的 yez,都 有 唯 一 的 x W O 与 之 对 应，且 y(x)=y，则 称 g 是/的 反 函 数，也 称 逆 函 数，记 作 户 g(y/Cy)。习 惯 用 内 气)表 示。反 函 数 与 原 函 数 的 定 义 域 和 值 域 刚 好 相 反，两 者 关 于 y=x对 称。【例 题】求 下 列 函 数 的 反 函 数：2*(1)y=2sinx；(2)y=l+k&(x+2)；(3)y=用 y 表 示%；x 和 y 互 换，(并 确 定 定 义 域 和 值 域).(4)复 合 函 数：函 数 之 间 除 了

37、加 减 乘 除 和 数 乘 运 算 之 外，在 实 际 中，我 们 还 常 考 虑 函 数 之 间 的 嵌 套，即 将 某 个 函 数 直 接 作 为 另 一 个 函 数 的 自 变 量，我 们 把 复 合 之 后 的 函 数 称 为“复 合 函 数 15复 合 函 数/(g(x)：可 看 做 两 个 函 数 於)和 g(x)的 复 合，g(x)作 为 x)的 自 变 量。【例 题】下 列 各 组 函 数 中 哪 些 不 能 构 成 复 合 函 数？把 能 构 成 复 合 函 数 的 写 成 复 合 函 数，并 指 出 其 定 义 域。(1)y=x3,x=sinr(2)y=all,u=x1；(

38、3)y=logfl uyu=3x1+2；(4)y=yu,w=sinx-2(5)y=Vw,w=x3(6)y=logrt w,w=x2-2 o16第 二 节 极 限 极 限 理 论 是 微 积 分 学 的 基 础，微 积 分 中 的 基 本 概 念 都 是 运 用 极 限 方 法 阐 述 的。【思 考】什 么 是 极 限？从 直 观 来 看，极 限 表 示 了 对 事 物 向 某 个 目 标 无 限 接 近 的 研 究。我 们 把 寻 求 的 事 物 的 某 个 极 端 目 标 称 为 该 事 物 在 某 个 方 向 上 的 极 限。实 际 上，“极 限”起 源 于 人 们 对“无 限 接 近”、

39、终 极”问 题 的 思 考。古 代 的 人 们 并 已 用 到 极 限 的 思 想 来 解 决 实 际 问 题。如：我 国 古 代 数 学 家 刘 徽 用“割 圆 术（割 之 弥 细，所 失 弥 少，割 之 又 割，以 至 于 不 可 割，则 与 圆 合 体，而 无 所 失 矣）“，圆 的 内 接 多 边 形 面 积 近 似 计 算 圆 的 面 积，并 计 算 圆 周 率 兀。庄 子 天 下 篇 的“一 尺 之 槐，日 取 其 半，万 世 不 竭”。对 于 极 限，我 们 讨 论 其 以 下 几 个 问 题：概 念 性 质 运 算 一、概 念 我 们 可 以 将 极 限 进 行 分 类：1.函

40、 数 在 某 点 的 极 限 设 函 数./U）在 沏 的 某 个 去 心 邻 域 内 有 定 义，若 当 x“无 限 趋 于”沏 时，其 对 应 的 函 数 值 兀 0无 限 趋 于”一 个 确 定 的 数 A,则 称 函 数./U）在 X T X O时 的 极 限 是 A,记 作 舞 走”“左 极 限：设 函 数 _/U）在 沏 的 左 侧 附 近 有 定 义，若 当 且“无 限 趋 于“Xo时，其 对 应 的 函 数 值/（x）“无 限 趋 于”一 个 确 定 的 数 A,则 称 函 数 式 x）在 X T X O时 的 左 极 限 是 A,记 作 里 佝 一；右 极 限：设 函 数 7

41、U）在 心 的 右 侧 附 近 有 定 义，若 当 XXo且“无 限 趋 于“XO时，其 对 应 的 函 数 值 大 幻 无 限 趋 于”一 个 确 定 的 数 A,则 称 函 数 7U）在 XXO时 的 右 极 限 是 A,记 作【例 题】设/*）=卜 2（%1）（1）作 函 数 y=/（x）的 图 形；（2）根 据 图 形 求 极 限 lim/（x）与 lim f（x）；x-r X T I+（3）当 五 一 1时，/（x）有 极 限 吗？2.函 数 在 无 穷 大 处 的 极 限（1）无 穷 小 量 若 缙 拉）=0,则 称 函 数./U）在 x沏 时 是 一 个 无 穷 小 量，记 作

42、yu）=o（D，（xxo）。17Inn-c无 穷 小 量 的 比 较：设 处 佝=,如 期=,若 5 g(x),则:当 C=O,称 y(x)是 g(x)在 X f o 时 的 高 阶 无 穷 小 量；当 今 0 且 存 1,称 r)是 g(x)在 x死 时 的 同 阶 无 穷 小 量；当 c=l,称 r)与 g(x)在 X-Xo时 的 等 价 无 穷 小 量：y(x)g(x)kx I【例 题】若 当 X f 00时，一 与 二 是 等 价 无 穷 小，则 常 数 4 _，(2x+3)4 X3(2)无 穷 大 量：若 函 数 丽 在 XTXo时 是 一 个 无 穷 小 量，则 称 y(x)在 X

43、沏 时 是 一 个 无 穷 大 量,记 作 I 变 八 力=8。(大 于 0 时 为 正 无 穷 大 量，小 于 0 时 为 负 无 穷 大 量)(3)无 穷 大 处 的 极 限 设 函 数 兀 r)在 无 穷 大 处 有 定 义，A 是 一 个 常 数。若 对 于 任 意 的 8 0,总 存 在 30,使 得 当 因 3时，有)刊 成 立，则 称 函 数 段)在 X8 时 的 极 限 是 A,记 作 M”+七 即：当 M 无 限 增 大 时，J(x)无 限 趋 于 A。正 无 穷 大 的 极 限：设 函 数 兀 v)在 正 无 大 远 处 有 定 义，A 是 一 个 常 数。若 对 于 任

44、意 的 0，总 存 在 60,使 得 当 x3时，有|/(X)-A|V成 立，则 称 函 数 於)在 犬 一+8时 的 极 限 是 A,记 作 吧/)=。负 无 穷 大 的 极 限：设 函 数 负 X)在 负 无 穷 大 处 有 定 义，A 是 一 个 常 数。若 对 于 任 意 的 o，总 存 在 30,使 得 当 广 3时，有 仪 x)-A|0 x(4)lim(l+e-A)；X-8(5)lim巨 U(6)lime-3Xfl X 1 A-+o h x r l y/x二、性 质 18 唯 一 性：若 极 限 细 扭)存 在，则 其 值 唯 一。有 界 性：若 极 限 明，存 在，则 函 数 於

45、)在 X。的 一 个 去 心 邻 域 内 有 界。若 极 限 存 在，则 数 列 卬 有 界。保 号 性：若 极 限 里 加“存 在，且 A 0,则 函 数 应 r)在 司 的 一 个 去 心 邻 域 内 大 于 零;若 在 沏 的 一 个 去 心 邻 域 内/W K),且 极 限 基 侬 存 在，则 里“加。三、运 算 1.四 则 运 算 若 照 78=4,妈 南”，贝|J：lim/(x)g(x)=4Blim|/(x)g(x)=AB(lim kf(x)=kA,kR)lim 出=W g(x)B(8*0)2.夹 逼 定 理 设 函 数 x),g(x),7z(x)在 xQ的 某 个 去 心 邻 域

46、 内 满 足:夹 条 件：J(x)g(x)。x(8)+；1 双 X)+2 丫%(II)lim X+)1-cosx(3)lim-；-“0 xsinx(6)limfl+-|1 风 X)(9)lim(l+tanx)8；X TO(12)lim 1X T 8 1719第 三 节 连 续 连 续 函 数 是 应 用 最 为 广 泛 的 函 数。【思 考】什 么 是 连 续？什 么 是 函 数 的 连 续？从 直 观 来 看，连 续 表 示 了 事 物 在 某 一 点 左 右 无 缝 连 接。一、函 数 连 续 的 概 念 设 函 数 7U）在 沏 及 其 附 近 有 定 义，若 蚂/成 立，则 称 函 数

47、 4 X）在 X。处 连 续，X。称 为 函 数./（X）的 连 续 点。左 连 续：设 函 数 y（x）在 X。及 其 附 近 有 定 义，若 蚂 用=、成 立，则 称 函 数 7U）在 沏 处 左 连 续 右 连 续：设 函 数 _/在 X。及 其 附 近 有 定 义，若 的 八 折 打、成 立，则 称 函 数 火 X）在 X0处 右 连 续【例 题】画 出 下 列 函 数 的 图 形,并 指 出 其 连 续 性 9(1)/(%)=-X;（2）八 加 2二 X(04x41)(lx2)(3)/(%)=x(|x|1)(4)夕(x)=(xwO)(x=0)【例 题】a 为 何 值 时 函 数/（x

48、）=|e 在 0,2 上 连 续？a+x（1 x O，则 在 刖 附 近 4 0 0。零 点 存 在 性：若 函 数;（X）连 续，且 存 在 两 点 Xi,X2,使 得 人 的 次 切 0,使 得 对 任 意 的 xdQ,句，都 有 成 立。闭 区 间 上 最 大 值、最 小 值 的 存 在 性：若 函 数 火 X）在 闭 区 间 m,切 上 连 续，则 存 在/，使 得 对 任 意 的 x w 句，都 有 人）g u）g（n）成 立。即 人 却 是 函 数 式 工）在 闭 区 间 口，句 上 的 最 小 值，是 函 数 式 x）在 闭 区 间 值 切 上 的 最 大 值。20【例 题】证

49、明：方 程 炉 3 x=l 在 区 间(1,2)上 至 少 有 一 个 根。三、连 续 函 数 的 运 算 1.四 则 运 算：若 函 数/(x),g(x)均 在 我 处 连 续，则 x)+g(x),；(x)-g(x),/(x)g(x)，7(x)/g(x)g(x)#)均 在 沏 处 连 续。2.复 合 函 数 的 连 续 性：若 函 数 g(x)在 沏 处 连 续，X)在 劭=g(Xo)处 连 续，则 复 合 函 数 1 g(x)在 沏 处 连 续。3.反 函 数 的 连 续 性：若 函 数 4 x)存 在 反 函 数，且 4 x)在 用 处 连 续，则 其 反 函 数/七，)在)，oMxo)

50、处 连 续。21第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 第 一 节 导 数【思 考】什 么 是 导 数？从 斜 率 说 起。如 右 图，直 线 的 斜 率 为：X 70如 果 需 要 计 算 曲 线 在 A 点 的 斜 率 呢？我 们 只 需 将 图 中 三 角 形 无 限 小，计 算 的 结 果 可 以 看 做 是 曲 线 在 A 点 的 斜 率。即：r 就 是 A 点 的 斜 率。这 就 是 导 数。一、导 数 的 概 念 设 函 数 词 x）在 沏 及 其 附 近 有 定 义，如 果 极 限 1 工-4 存 在，则 称 函 数 r）在 广 沏 处 dy df（x）可 导，极 限 的 值