专升本高等数学公式.pdf

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1、-.高等数学公式高等数学公式导数公式：导数公式：(tgx)sec x(ctgx)csc x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)根本积分表：根本积分表：22(arcsin x)11xlna1 x21(arccosx)1 x21(arctgx)1 x21(arcctgx)1 x2tgxdx lncosx Cctgxdx lnsin x Csecxdx lnsecxtgx Ccscxdx lncscxctgx Cdx1xarctgCa2 x2aadx1xalnx2a22axaCdx1a xa2 x22alna xCdxx arcsinCa2 x2a2

2、ndx2 seccos2xxdx tgxCdx2 cscsin2xxdx ctgxCsecxtgxdx secxCcscxctgxdx cscxCaxa dx lnaCxshxdx chxCchxdx shxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insin xdx cosnxdx 00n1In2nx2a22x a dx x a ln(xx2a2)C22x2a2222x a dx x a ln xx2a2C22x2a2x222a x dx a x arcsinC22a22三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x，cosx，u tg，dx 22221u1u1u一些初等

3、函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：-优选-.exex双曲正弦:shx 2exex双曲余弦:chx 2shxexex双曲正切:thx xchxe exarshx ln(xx21）archx ln(xx21)11 xarthx ln21 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：角 A角 A函数-90-90+180-270-360-sin xlim1x0 x1lim(1)x e 2.718281828459045.xxsin-sincoscossincoscossin-sintg-tgctgctg-ctgtg-ctgctgtg-ctgctg-ctg-tg-cos-tg-cos

4、tgctg-tgtg180+-sin-cos-sin-sincoscos270+-cossin360+sin-ctg-tg和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctg倍角公式：倍角公式：sinsin 2sin22sinsin 2cossin22coscos 2coscos22coscos 2sinsin22cossin2 2sincoscos2 2cos2112sin2 cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2半角公式：半角公式：-优选

5、sin33sin4sin3cos3 4cos33cos3tgtg3tg313tg2-.sintg2 1cos1coscos 2221cos1cossin1cos1cossinctg 1cossin1cos21cossin1cos2正弦定理：正弦定理：abc 2R余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosCsin AsinBsinC反三角函数性质：反三角函数性质：arcsinx 2arccosxarctgx 2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹高阶导数公式莱布尼兹LeibnizLeibniz公式：公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(

6、n1)(nk 1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：曲率：当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds 1 y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：K lim.23s0sds(1 y)直线：K 0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abba(y0 y1 yn1)nba 1(y0 yn)y1 yn1n2ba(y0

7、yn)2(y2 y4 yn2)4(y1 y3 yn1)3n梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：-优选-.功：W F s水压力：F p Am m引力：F k122,k为引力系数rb1函数的平均值：y f(x)dxbaa1均方根：f2(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：d M1M2(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2向量在轴上的投影：Pr juAB AB cos,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1a2)Pr ja1Pr ja2ab a b cos axbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间

8、的夹角：cosic ab axbxjaybykaxbxaybyazbzaxayaz bxbybz222222az,c a b sin.例：线速度：v wr.bzaybycyazczbz ab c cos,为锐角时，ax 向量的混合积：abc(ab)c bxcx代表平行六面体的体积。-优选-.1、点法式：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0，其中n A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0Cz0 DA2 B2C2平面的方程：x x0mtx xy y0z z0空间直线的方程：0t

9、,其中s m,n,p;参数方程：y y0ntmnpz z pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：a2b2c212、抛物面：x2y22p2q z（,p,q同号）3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：a2b2c21x2y2z2双叶双曲面：a2b2c2（马鞍面）1多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用全微分：dz zzuuxdxydydu xdxydyuzdz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：z fu(t),v(t)dzz uz vdtutvtz fu(x,y),v(x,y)zx zuuxz vvx当u u(x,y)，v v(x,y)时，du uu

10、vxdxydydv xdxvydy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)0，dyFxd2yFFdydx F，dx2(x)y(xF)yxFyydx隐函数F(x,y,z)0，zx FxzFyF，zyFz-优选-.FF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：J GG(x,y,u,v)0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：FvFuGGuvFvGvx(t)x xy y0z z0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t0)(t0)(t0)z(t)在点

11、M处的法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(z z0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T,GGGxGGG(x,y,z)0yzzx曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x x0y y0z z03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：方向导数与梯度：FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)F

12、z(x0,y0,z0)(z z0)0fff函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)i jxyf它与方向导数的关系是：grad f(x,y)e，其中e cosi sin j，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)CA 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，A 0,(x0

13、,y0)为极小值2则：值AC B 0时，无极AC B2 0时,不确定重积分及其应用：重积分及其应用：-优选-.f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrdDD曲面z f(x,y)的面积AD z z 1 ydxdyx22M平面薄片的重心：x xMx(x,y)dD(x,y)dDD,y MyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F Fx,Fy,Fz，其中：Fx fD(x,y)xd(x2 y2a2)2，Fy f3D(x,y)yd(x2 y2a2)

14、2，Fz fa3D(x,y)xd(x2 y2a)322柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：x rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz,y rsin,z z其中：F(r,z)f(rcos,rsin,z)x rsincos2球面坐标：y rsinsin，dv rdrsinddr r sindrddz rcos2r(,)2F(r,)r sindr0f(x,y,z)dxdydz F(r,)r sindrdddd002重心：x 1Mxdv,y 1Mydv,z 1Mzdv，其中M x dv转动惯量：Ix(y2 z2)dv，Iy(x2 z2)dv，Iz(x2 y2)dv

15、曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y(t)L x tf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y(t)-优选-.第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdy PdxQdy格林公式：()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1当P

16、y,Q x，即：2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。曲面积分：曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1 z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z

17、)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)ds高斯公式：高斯公式：(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生

18、的流体质量，若 div 0,则为消失.xyz通量：Ands Ands(PcosQcos Rcos)ds，因此，高斯公式又可写 成：divAdv Ands-优选-.斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy PdxQdy RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：，yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds常数项级数：常数项级数：1qn等比数列：1qq

19、q1q(n1)n等差数列：123n 2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足s u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu 0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：-优选-.(1)u1u2

20、un，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：1x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3 xnx 1时，发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R 求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，

21、R 0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(x x0)(x x0)(x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx0 0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx x 2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)(mn1)nx x(1 x 1)2!n!352n1xxxsinx x(1)n1(x )3!5!(2n1)!(1 x)m1mx欧拉公式：欧拉公式：eixeixcosx 2ixe

22、cosxisinx或ixixsinx e e2三角级数：三角级数：-优选-.a0f(t)A0Ansin(nt n)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性：1,sin x,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：傅立叶级数：a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf(x)cosnxdx其中b 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111224224262正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn

23、 0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdxn 1,2,3f(x)b02nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdxn 0,1,2f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期 2l2n1lll1nxdx(n 0,1,2)anf(x)coslll其中lb 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)nlll微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶

24、微分方程可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyy f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则u x，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：-优选-.dy1、一阶线性微分方程：P(x)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，y CeP(x)dx P(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y (Q(x)edxC)edy2、贝努力方程：P(x)y Q(x)yn，

25、(n 0,1)dx全微分方程：全微分方程：如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中：P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f(x)，dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p 4q 0)2(*)式的通解y c1er1xc2er2xy (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)两个相等实根(p 4q 0)2一对共轭复根(p 4q 0)2r1i，r2i4q p2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqy f(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)exPl(x)cosx Pn(x)sinx型-优选