概率论与数理统计习题及答案.pdf

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1、概率论与数理统计习题及答案习 题 一5 .设4 8 为随机事件，且 尸(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求 P(A 5 ).【解】P C A B )=-P(A B)=l-P(/)-P(4-8)=l-0.7-0.3 =0.66 .设Z,B,C为三事件，且 尸(A)=P(8)=1/4,P(C)=1/3 且 P (4B)=P(B C)=0,P(A C)=1/12,求 4,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(Z U B U C)=P(A)+P(B)+P(O-P(A B)-P(B C)-P(A C)+P(A B C)9 .对一个五人学习小组考虑生I I 问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率

2、；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期I I 的概率.【解】(1)设小=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7 5,有利事件仅1 个，故P(小)=(-)5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设色=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6$,故P=.=)5（3）设出=五个人的生日不都在星期日P（小）=1-P（4）=1-（；）S13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=恰 有，个白球（i=2,3）,显然生与小互斥.P（4）C：C；=18C；35。（4）cl=C；35故尸（4 U4）

3、=尸（4）+尸（4）=天1 9.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设4=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故P(即)=P(AB)P(4)6/8 6778-7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.2 3.设 尸(4 )=0.3,P(8)=0.4,P(N B)=0.5,求 尸(8 I/U 8 )【解】P(中U 5)=P(AB)P(/U 8)尸(一尸(/历P(/)+P(8)P(丽0.7-0.5 1-0.7+0.6-0.5-42 4.在一个盒中装有1 5个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

4、赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=第一次取出的3个球中有i个新球,=0,1,2,3.8=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有3P(B)=P(BA)P(4)i=03 0 3 0 2 zi3 3 0 3 0 35 5 J L46 j W y 十-十-十 3 0 3 3 3 3 3 3 3。15 e 1 5 5 。15 15 15=0.08934.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0 5 0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则K机一定被击落

5、，求：飞机被击落的概率.【解】设/=飞机被击落,民=恰 有i人击中飞机,z=0,l,2,3由全概率公式，得3P(A)=P(A B i)P(B)z=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 8习题二2.设在1 5只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图;(3)1 3 3PX-,P1X

6、-,P1X-,P1X2.【解】X=0,l,2.C3 22P(X=O)=二*.C：5 35C1 1P(X=2)=V =.C；35故X的分布律为X012P22121353535(2)当 x0 时，F(x)=P(XWx)=022当 OWxvl 0寸，F(x)=P(XWx)=尸竹0尸 3534当lWx2时，F(x)=P(XWx)=尸(六0)+尸(六1户百当 x22 时，F(x)=P(XWx)=1故X的分布函数尸(x)=0,x 022,0 x l3 5l x 2尸心如吗)=|,P(l x4)=F(|)-F(l)=|i-|i =03 3 12P(l X-)=P(%=l)+P(l J f-)=3 4 1P(

7、l J f 2)=F(2)-F(l)-P(X =2)=l-=0.3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.0 0 8P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.0 9 6P(X=2)=C 3(0.8)20.2=0.3 8 4p(X =3)=(0.8)3 =0.5 12故 X的分布律为X0 12 3p0.0 0 8 0.0 9 6 0.3 8 4 0.5 12分布函数0,x 00.0 0 8,0 x lF(x

8、)=0.10 4,l x 20.4 8 8,2 x 3P(X 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8 9 64.(1)设随机变量X的分布律为尤PX=k=a,其中Q 0,1,2,4 0为常数，试确定常数a(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=l,2,N,试确定常数口【解】(1)由分布律的性质知8 X】k1 =2 P(X=k)=a =，*=o *=o k!故Q=e（2）由分布律的性质知NN1 -1P(X-k)=，k=*=1a=4N即4 =1.9.设事件力在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,（1）进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）

9、进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5次独立试验中4发生的次数，则 长 6 （5,0.3）5P(X 2 3)=Z C“0.3 (0.7)5 T=0.16 3 08*=3(2)令 y 表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb(7,0.3)7P(y 3)=Z C(0.3(0.7)7 T=0.3 5 2 9 3k=318.设随机变量X在 2,5 上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即2/*)=32 x 3)=|d r =|故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布).某顾客在窗口

10、等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求尸U21.【解】依题意知xE，)，即其密度函数为1-e 5,x 0/(x)=j 50,x10)=-e-?dx=e-2丫仇5,e l)=l-P(r =0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X_lO.O5|0.12)=d XT0O5火(0.06 0.06)=1-0(2)+0(2)=21-0(2)=0.04 562 6.设随机变量X

11、的密度函数为（1）fix）=geT 叫 X 0;bx,0 x 1,危 尸 3,lx 2,x0,其他.试确定常数。力，并求其分布函数尸（x）.【解】（1）由/（工）0 x)=；2-e2 x x 0 时 F(x)=j /(x)d x =f2故其分布函数F(x)=l-e A,x 02-eZ r,x 0、2(2)由 1 =/(x)d x =bxdx+&f 2 2得6=1即X的密度函数为/(x)x,0 x 1 7,1 X 20,其他当 x W O 时 F(x)=0当 0 x l 时 F(x)=/(x)d r =j*/(x)d r +_ /(x)d r当 1 W x 2 时F(x)-f(x)d x =Od

12、 x +x d x +二 d r_ 3 _ J _2 x当x N 2时 尸(x)=1故其分布函数为0,x00 xllx22 9.设 PX=k=（,A=l,2,，令1,当X取偶数时-1,当X取奇数时.求随机变量x的函数丫的分布律.【解】尸（y=l）=P（X=2）+P（X=4）+-+P（X=2）+p（y=_l）=l_ p（y=l）=g3 0.设A-N(0,1).(1)求丫=的概率密度；(2)求r=z r2+i的概率密度;(3)求y=I x l的概率密度.【解】当/0时，4 0 0 =尸(y”)=0当户0 时，Fy(y)=P(Yy)=P(exy)=P(X Q八y V2T I P(y=2X?+12 1

13、)=1当yW l 时耳(j，)=尸(Y 4 j，)=0当 y时 K(y)=P(y y)=P(2X2+14y)尸(y n 0)=1当 yWO 时 6(y)=P(y 4 y)=0当 y0 时 FY(y)=P(Xy)=P(-y X 0 x/2 兀习题三2.盒子里装有3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取4 只球，以X 表示取到黑球的只数，以 y 表示取到红球的只数.求X 和 y 的联合分布律.【解】x 和 y 的联合分布律如表：00010C；C；C；_ 6C：352P(0黑,2红,2白尸C C C；_ 6C；354.设随机变量(x,r)的分布密度求：(1)常数/；(2)随机变量(X,Y)的分

14、布函数;(3)尸 0*1,0Y2.C O iM-O C 0【解】(1)由 L /(x,y)d x d y =得 4=12(2)由定义，有尸 C)=Xf(u,v)d w d vC；C；=3C4,35C C；_ 2-35c；C；C；=12C；35C；C；_ 2C；一35C；C；=3C：350f(x,y)=0,y 0,其他.A12_ 12 e-(3 w+4 v,d z/d v _J(1-e-3 x)(l-)y 0,x 0,=O,=|0,其他(3)P 0 l,0 y 2=p 0 x i,o r c L r d y =(1-e-3)(1-e-8)0.9 4 9 9.8.设二维随机变量(X,y)的概率密度

15、为J 4.8 X 2-X),0/(x,y)=0,求边缘概率密度.【解】Z f(x)=/(x,y)d y_ 4.8 y(2-x)d y 2.4 x2(2-x),0 x 1,=q=o,其 他43)=r/(x J)”f 4.8 X 2-x)d x (2.4 y(3 ”+/),OW y W l,=*y =o.1，其他 x l,0 x,其他.9.设二维随机变量（X,丫）的概率密度为f (x，y)=0 x 0,一0：=f，其 他fY(y)=,/U)dx=卢7,y 0,%.=)0,其 他11.设随机变量（X,Y）的概率密度为求条件概率密度力ix S I%），&y（x Iy）.题11图【解】人(幻=/(x,y

16、)dyf idy=2x,0 x 1,=J-x0,其 他I l d x =l+y,-l y 0,4-yfv(y)=：/(x/)&=I d r =1 -y,o y 1,0,其他.所以用 人（X）二 12xf0，yxl,其他.1-1_9-yyx=-1 f M1i+-y x(),),其 他 Q-y2故/（羽田，,丫独立人）人）=2q0 x 0,其他.题14图（2）方程/+2M z +y=0 有实根的条件是A =(2X)2-4 K 0故 隹 匕从而方程有实根的概率为：尸 f 2丫 =J J 7(x/)d xd yx2y=1dx=1-疡 -(0)=0.1445.26.设二维随机变量（X,Y）的概率分布为一

17、-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中”,6,c为常数，且X的数学期望项=-0.2/七0作0=0.5,记Z=R Y.求:(1)。,如的值；(2)Z的概率分布;(3)PX=Z.解(1)由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=l即 q+b+c =0.4.由 E(X)=0.2,可得-q+c =0.1.再由p r o|x o p x o,r o P X 0 +0.1 _-=0.5,a+/?+0.5得Q+6=0.3.解 以 上 关 于b,c的三个方程得(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,a=0.2,6 =0.1,c =0.1.PZ=-2 =P X=-l,r =-l =0.2,Pz

18、=1 =P x =i,y =0 +p x=o,y=-i =o.i,pz=o =P x=-i,r =i+P x=o,y =0 +P x=i,y=-i =o.3,pz=i =P x=i,r =o +P x=o,y=i =0.3,p z =2 =p x =i,y=i =o.i,即 z的概率分布为Z-2-1012P0.20.10.30.30.1(3)P X=Z =尸 y=0 =0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.习题四1 .设随机变量X 的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求 E(X),E(X2)3,E(2 R 3).(2)(2)=(-l)2x-!-+02x i +l2x

19、l +22x l =-;8 2 8 4 4(3)E(2 X +3)=2E(X)+3=2 x；+3=42.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5 个产品中的次品数为X,则X 的分布律为【解】E(X)=(-1)X：+0X:+1X：+2XJ =1;o 2 o 4 2故(%)=0.583x0+0.34 0 x1+0.070 x2+0.007x3+0 x4 +0 x5X012345pc5学=0.583c5 o oc1 c4 4 =0.34 0Tco5 o=0.07000=0.007Coo小/c54=0Coo=0.501,5/=0=(0-0.5

20、01)2 x0.583+(l-0.501)2 x0.34 0+-+(5-0.501)2 x0=0.4 32.5.设随机变量X的概率密度为x,0 x 1,f(x)=2 x,1 x。丫 =4x12+9 x16 =19 2.求 E C 3 X-2Y),D(2-37).10.设随机变量X,丫的概率密度分别为fx(x)_ 2e-2x,x0,0,x,V 0,y 0,x E(y),再由相关系数性质知分产0,即X与y的相关系数为0,从而X和y是不相关的.3 3 1又尸X=_ l P Y -x-P X -l,Y =-o o o从而x与y不是相互独立的.从而 fx(x)=/(x,y)dy=f、2dy=2x.因此E

21、(X)=f/(x)dx=j 2x2dr=g,E(X?)=j 2x3d,r=；,i 4 iO(X)=E(X2)-E(X)Y3 1同理可得 E(Y)=-,D(Y)=2 18E(XY)=2xydxdy=2 1 xdx j1 ydy=,G X 125 4 1Cov(X,y)=EGT)-E(X)E(Y)=-=28于是概率论与数理统计习题及答案习题一5 .设4,8 为随机事件，且 尸(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求 尸(A B ).【解】P(A B)=-P(A B)=-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.66 .设N,B,C 为三事件，且 尸(/4)=P(8)=1/4,P(C)=1/3

22、 且 P (A B)=P(B C)=0,P(A C)=1/12,求 4 B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(/U B U C)=P(A)+P(B)+P(Q-P(A B)-P(B C)-P(A C)+P(A B C)1 1 1 1 3=I-4 4 3 1 2 49 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设小=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7$,有利事件仅1 个，故P(小)=(-)5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设上=五个人生日都不在星期日,有利事件数

23、为6$,故/、6、6 5P(力)=-=(一)_ 75 7(3)设小=五个人的生日不都在星期日29P(4)=1-尸(4)=1-(；)51 3.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4 个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设4=恰有，个白球册=2,3）,显然也与小互斥.一 丁 一 方0 米=43 5故P（4 U 4）=P+。=百1 9.已知一个家庭有3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设/=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩,样本点总数为2 3=8,故P(8 )=P(A B)_ 6/8 6P(A)或在缩减样本空间中

24、求，此时样本点总数为7.尸（即）=,2 3.设/(4 )=0.3,尸(8)=0 4,尸(力 B)=0.5,求 尸(8 I 4 U 5 )【解】。同 山 历=尸 一 (疝.1尸(U3)P(A)+P(B)-P(A B)0.7-0.5 1-0.7 +0.6-0.5-43 024.在一个盒中装有1 5个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设4=第一次取出的3个球中有，个新球,i=0,1,2,3.8=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有3P(8)=Z P(8|4)P(4)/=03 3 2 3

25、21 3 3 3=上上上匕+4旦.*一+=0 0 8 93 3 丁 3 p3 3 p3 3。1 55 j 534.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0 4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设4=飞机被击落,8,=恰 有i人击中飞机,40,1,2,3由全概率公式，得3P(4)=Z P(*5,)(即7=0=(0.4 X 0,5X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5X 0.7)0.2+(0.4 X 0,5 X 0 3+0.4 X

26、 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7=0.458习题二2.设在1 5只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求:(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)3)【解】1 3 3p j r-9p i j r-,p i j r-,p i j r2 故 X 的分布律为X=0,l,2.P(X =0)=2c3 =42 2.C：5 3 5P(x =l)=C c2 =1 2.C：5 3 5C1 1P(X =2)=笠J.3 5X01 2P2 21 2 13 53 5 3 5(2)当 x0 时，F

27、(x)=P(XWx)=02 2当 0Wx l 0寸，F(x)=P(XWx)=P(A=O)=3 53 4当 lWx2 时，F(x)=P(XWx)=P(AO)+P(J1)=当 x)2 时，F(x)=P(XWx)=1故 X 的分布函数3 2尸(x)=0,x 022,0 xl35341,lx2尸(X)=吗)=11，3 3 34 34P(lJT-)=F(-)-F(l)=-=0J J J J3 3 I?P(l X -)=P(%=l)+P(l Jf-)=34 1P(lJf2)=F(2)-F(l)-P(X =2)=l-=0.3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的

28、次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008尸(X=1)=C；0.8(02)2=0.096P(X=2)=C；(0.80.2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.51233故 X 的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数E(x)=0,0.008,0.104,0.4 88,J，x 00 x ll x 22 x 3P(X 2)=P(X =2)+P(X =3)=0.8964.(1)设随机变量X 的分布律为兄PX=k=a,其中仁0,1,2,4 0 为常数，试确

29、定常数a(2)设随机变量X 的分布律为PX=k=a/N,k=i,2,，N,试确定常数口【解】(1)由分布律的性质知产_ 产 kl=P(X =k)=aYJ =ae&=o jt=o k!故a-e”34（2）由分布律的性质知N N1 -E1P(X-k)=Z4=1*=1aT V即a=1.9.设事件力在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5 次独立试验中4 发生的次数，则 长 6 （5,0.3）P(X 2 3)=Z C (0.3)A(0.7)

30、5-*=0.16308R=3(2)令 y 表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb(7,0.3)7P(y N 3)=Z C：(0.3)*(0.7 产=0.35293k=31 8.设随机变量X在 2,5 上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即2/*)=32 x 0/(x)=j 50,x 1 0)=-e d x =e-2丫仇5,e.2),即其分布律为P(y=幻=Ce-2 A(1 e-2)5T，左=0,1,2,3,4,5P(y l)=l-P(r =0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.0

31、62)，规定长度在10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.【解】尸(|X-10.0 5|0.12)=PX 10.0 50.0 60.12-0.0 6=1-。(2)+(2)=2 1-0(2)0.0 4 5 6362 6.设随机变量X的密度函数为（1）心尸绥一叫人 o；bx,0 x 1,危）=二，1 x 0/(x)=：-eZ v x 0 时 F(x)=f(x)dx=夕 dx +-l-e-A v2故其分布函数37尸(x)=-e-Ax,x 02-e2x,x 02 由 1 =/(x)dx=6xdx+得b=即X的密度函数为/(x)x,0 x 1 -,1 x 2x0,其他当 x0 时 F(x

32、)=0当 0 xl 时 F(x)=f (x)dx=/(x)dx+j /(x)dxp,x2=xdx=2当 1 Wx2 时F(x)=J f (x)dr=j Odx+xdx+j d r_ 3 _j_ 2 x当x 2 2时 尸(x)=1故其分布函数为380,x 0 x2,0 xlE(x)=23 1-,lx 229.设 PX=k=(/,A=l,2,，令v 1,当X取偶数时/=0 时，4 3)=PY y)=P(e*用=P X ny)rln v=L力 心此 3)1 ,八、43)=8 -=Q八y V2T I p(y=2 x 2+iz i)=i当yWl 时 耳。，）=尸（丫4），）=0当y 时 耳(y)=P(y

33、y)=P(2X2+y)P X1 l2土y-l 缶 2 0)=1当 yWO 时 耳。)=/(丫4丁)=0当 j0 时 耳0，)=尸(|Xy)=P(-y Xy=f ZJx)dx故/0)=FY O;)=Zv(y)+A (-y)dy=/=e r2/2,y0习题三2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以y表示取到红球的只数.求X和y的联合分布律.【解】x和y的联合分布律如表：X0123412000c；C：3C；35C；C10C；C；C；_ 6C；一35C；C；C；_ 12C；-35c；cc4J2P（0黑,2红,2白尸c；c；C；6C；35BJ 3C；350

34、352354.设随机变量（x,r）的分布密度f(x,y)=0,y 0,其他.求：(1)(2)(3)【解】常数小随机变量（X,Y）的分布函数；尸0*1,0Y 0,x 0,=l ，其他(3)P 0 Z l,0 y 2=P0 JT l,0 r 2=12e-(3v+4 y)iYdy=(1-e-3)(l-e-8)0.94 99.8.设二维随机变量(x,y)的概率密度为4.8X2-x),0 x l,0jx,f(x,y)=什 0,其 他求边缘概率密度.【解】f M=/(x,y)dy_ 4.8y(2-x)dy 2.4 x2(2-x),0 x 1,=q =o,其 他fY(y)=f(x,y)dxf 4.8X2-x

35、)dx f2.4y(3-4y+y2),0J-1,=*y=v0,0,其他.43题 9图9.设二维随机变量（X,丫）的概率密度为/(x,y)e-0 x 0,=0,%一 =l o,其他4411.设随机变量（X,Y）的概率密度为/(x,y)求条件概率密度力ix S I x），R y （x Iy）.1,|_ y|x,0 x 1,题11图【解】人(x)=/(x,y)dyJ I dy=2x,0 x 1,o：其他4 5产=1+招-i y 0,fY(y)=1(x,J，)dx=Idr=1 -y,0 y 1,0,其他.所以加 3 上个=E 3 XLJ A x)0,其他.Zv|y(x|j)/(x j)fy(y)-，y

36、x i,i-y1 ,-：，-y x0,他”其(i)求x和y的联合概率密度；(2)设含有。的二次方程为d+2必+&0,试求a有实根的概率.1,0 x 1,%3)=，2 一0,其他.4 7L,刈 一“、.-e-y/2 0 x 0,故x/)X,y独 立 人(x)人(历=2 /0,其 他一0 1 x题1 4图(2)方程/+2拓+丫 =0有实根的条件是A=(2 Z)2-4 K 0故 隹 匕从而方程有实根的概率为：尸 月2丫 =J J.f(x/)d x d yx2y=1-届 -(0)=0.1 4 4 5.2 6.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为4 8一-101-1a00.200.1b0.2100.1c

37、其中”,6,c为常数，且X的数学期望项=-0.2/七0作0=0.5,记Z=RY.求:(1)。,如的值；(2)Z的概率分布;(3)PX=Z.解(1)由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=l即 q+b+c =0.4.由 E(X)=0.2,可得-q+c =0.1.再由p r o|x o)p x o,r o P X 0。+6 +0.1 -=0.5,。+/?+0.5得Q+6=0.3.解 以 上 关 于b,c的三个方程得(2)Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,a=0.2,6 =0.1,c =0.1.PZ=-2 =P X=-l,r=-l=0.2,PZ=1 =P X =i,y =0 +p x=o,y =

38、i =o.i,49pz=o =P x=-i,r=i+P x=o,y =0+P x=i,y =-i =o.3,pz=i =P x=i,r=o +P x=o,y =i =0.3,pz =2 =p x =i,y =i =o.i,即 z的概率分布为Z-2-1012P0.20.10.30.30.1(3)P X=Z =尸y =0 =0.1 +b+0.2 =0.1 +0.1 +0.2 =0.4.习题四1 .设随机变量X 的分布律为X-1012P1/81/21/81/4求 E(X),E(X2)3,E(2 R 3).(2)(2)=(-l)2x-!-+02x i +l2x l +22x l =-;8 2 8 4

39、4(3)E(2 X +3)=2 E(X)+3=2 x；+3=42.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5 个产品中的次品数为X,则X 的分布律为【解】E(X)=(-1)X：+0X:+1X：+2XJ =1;o 2 o 4 250故(%)=0.583x0+0.34 0 x1+0.070 x2+0.007x3+0 x4 +0 x5X012345pc5学=0.583c5 o oc1 c4 4 =0.34 0Tco5 o=0.070c150 0=0.007Cooc54=0Coo=0.501,5/=0=(0-0.501)2 x0.583+(l-

40、0.501)2 x0.34 0+-+(5-0.501)2 x0=0.4 32.5.设随机变量X的概率密度为x,0 x 1,f(x)=2 x,1 x。丫 =4 x12+9x16=192.求E(3X-2X),D(2X-3X).10.设随机变量X,丫的概率密度分别为fx(x)_ 2e-2x,x0,0,xo,歹 0,x 0.(3)E(X，=：x2/(x)d(x)=2A：2xe!故 0(冷=颐 月)E(X)=5 修=1 5.对随机变量X和匕 已知。(X)=2,D(X)=3,Co v(X y)=-l,计算：Co v(3X-2 N+1,X+4 Y-3).解Co v(3X -2 y +l,X +4 Y -3)

41、=3 D(X)+1 0 Co v(X,丫)-8。(丫)=3x 2 +1 0 x(l)-8 x 3=-2 8（因常数与任一随机变量独立，故 Co v（X,3）=Co v（y,3）=0,其余类似）.5317.设随机变量（x,r）的分布律为X-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8验证x 和 y 是不相关的，但 x 和 丫 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，x 与 y 显然不独立，由联合分布律易求得x,y 及 x r 的分布律，其分布律如下表54X-101p323888Y-101P323888XY-101P24288855由期望定义易得E (X)=E(7)=E(

42、.XY)=0.从而尸E 巧()9,再由相关系数性质知p0,即x与y的相关系数为0,从而x和y是不相关的.3 3 1又px =_ i pr=-i =-x-=px =-i,y =-i o o o从而x与y不是相互独立的.从而人(x)=:f(x,y)dy=2 d y =2x.因此E(X)=/(x)d x =_ 2 x2d x =|,E(X 2)=1 2x3dx=1,i 4 iD(X)=E(X2)-E(X同理可得 (r)=3 z)(D =1.2 1 8E(XY)=2xydxdy=2 f x d x /ydy=,GX 1 2于是5 4 1Co v(X,y)=E(AT)-E(X)(r)=-D(U)=D(X +Y)=-1 8 1 8 36 1 856