概率论与数理统计习题答案.pdf

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1、概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学概率论与数理统计习题及答案习 题 一1 .略.见教材习题参考答案.2 .设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算关系式表示下列事件：(1)A发生，B,C都不发生；(2)A与 B发生，C不发生；(3)A,B,C都发生；(4)A,B,C至少有一个发生；(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C不都发生；(7)A,B,C至多有2个发生；(8)A,B,C至少有2个发生.【解】A B C (2)A B C (3)A B C(4)AUBU C=A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C=A B C

2、 (5)A B C=A B C(6)A B C (7)A B C U A B C U A B C UA B C U A B C U A B C U A B C=A B C=A U B U C(8)A B U B C U C A=A B C U A B C U A B C U A B C3 .略.见教材习题参考答案4.设 A,B 为随机事件，且 P (A)=0.7,P(A B)=0.3,求 P (A B).【解】P (A B)=1 P (A B)=1 P(A)P(A B)=1 0.7 0.3 =0.65.设 A,B 是两事件，且 P (A)=0.6,P(B)=0.7,求：(1)在什么条件下P (

3、A B)取到最大值？(2)在什么条件下P (A B)取到最小值？【解】(1)当 A B=A 时，P (A B)取到最大值为0.6.(2)当 AUB=C时，P (A B)取到最小值为0.3.6.设 A,B,C 为三事件，且 P (A)=P (B)=1/4,P (C)=1/3 且 P (A B)=P (B C)=0,P (A C)=1/1 2,求 A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P (A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)P(A B)P(B C)P(A C)+P(A B C)=1 1 1 1 3+=4 4 3 1 2 423.设 P ()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0

4、.5,求 P (B I A U )【解】P(B A B)P(A B)P A()P A B()P(A B)P(A)P(B)P(A B)0.7 0.5 1 0.7 0.6 0.5 41 1 1,求将此密码破译出5 3 4 3 3.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.【解】设 A i=第 i 人能破译 (i=l,2,3),则P(A i)1 P(A 1 A 2 A 3)1 P(A 1)P(A 2)P(A 3)i 1 31 4 2 3 0.6 5 3 434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0 4 0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两

5、人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落,B i=恰有i 人击中飞机,i=0,l,2,3由全概率公式，得P(A)P(A|B i)P(B i)i 0 3=(0.4 x0.5 x0.3+0.6 x0.5 x0 3+0.6 x0.5 x0.7)0.2+(O.4 xO.5 xO.3+O.4 xO.5 xO.7+O.6 xO.5 xO.7)O.6+O.4 xO.5 xO.7=0.4 5 8习题二1 .一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以 X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X

6、 3,4,5P(X 3)P(X 4)1 0.1 C 3 5 3 0.3 C 35C 24 P(X 5)3 0.6 C 52故所求分布律为2 .设在1 5 只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1 只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)1 3 3P X P 1 X P 1 X P 1 X 2 .2 2 2【解】X 0,1,2.3C 1 3 2 2P(X 0)3 .C15352C1122C13P(X 1)3.C1535CllP(X 2)13.3C1535(2)当 x<O 时，F(x)=P(Xx)=0当 0gx&It;l 时

7、,F(x)=P(Xx)=P(X=0)=22 35当 lgx<2 时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=l)=当 xN2 时，F(x)=P(Xx)=1 故 X的分布函数34 35x 0 0,22,0 x 1 35F(x)34,1 x 2 35 l,x 2(3)31122P(X)F(),2235333434P(1 X)F()F(l)02235353312P(1 X)P(X 1)P(1 X)2235341P(1 X 2)F(2)F(l)P(X 2)1 0.35353.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为0.8,求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射

8、击中至少击中2 次 的 概 率.【解】设 X 表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X 0)(0.2)3 0.0082P(X 1)C130.8(0.2)0.096P(X 2)C(0.8)0.2 0.384P(X 3)(0.8)3 0.512232x 0 0,0.008,0 x 1F(x)0.104,1 x 20.488,2 x 3x 3 1,P(X 2)P(X 2)P(X 3)0.8964.(1)设随机变量X 的分布律为PX=k=akk!其中k=0,1,2,心0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X 的分布律为PX=k=a/N,k=l,2,N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质

9、知1 P(X k)ak 0k 0kk!a e4故a e(2)由分布律的性质知NN1 P(X k)k Ik la aN即a 1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3 次，求:(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X b(3,0.6),Y-b(3,0.7)(1)P(X Y)P(X 0,Y 0)P(X 1,Y 1)P(X 2,Y 2)P(X 3,Y 3)212(0.4)3(03)3 Cl30.6(0.4)C30.7(0.3)+22 C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)30.32076(

10、2)P(X Y)P(X 1,Y 0)P(X 2,Y 0)P(X 3,Y 0)P(X 2,Y 1)P(X 3,Y 1)P(X 3,Y 2)23223 Cl30.6(0.4)(03)C3(0.6)0.4(0.3)22(0.6)3(0.3)3 C3(0.6)20.4Cl30.7(0.3)2322(0.6)3Cl30.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有2 0 0架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.0 2,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降

11、落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有P(X N)0.01即利用泊松近似 k N 1 C200k200(0.02)k(0.98)200 k 0.01np 200 0.02 4.5e 44kP(X N)0.01 k!k N 1查表得N N 9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段 p 1 34 所以 P(X 4)C5()l34210.32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,(1)进行了

12、5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X 6(5,0 3)kP(X 3)C5(0.3)k(0.7)5 k 0.16308k 35(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y b(7,0.3)kP(Y 3)C7(0.3)k(0.7)7 k 0.35293k 3710.某公安局在长度为t的时间间隔(2)P(X 1)1 P(X 0)1 e,k=0,l,252 11.设 PX=k=C2P(1 p)PY=m=C4p(l p)mm4 m2 k,m=0,l,2,3,4分别为随机变量X,Y 的概率分布，

13、如果已知P X*=5,试求PYN1.96【解】因为P(X 1)5 4,故 P(X 1).99而P(X 1)P(X 0)(1 p)24,91即p.3故得(1 P)2从而 P(Y 1)1 P(Y 0)1 (1 p)465 0.80247 8112.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算，np 2000 0.001 2e 2250.0018 得 P(X 5)5!13.进行某种试验，成功的概率为3 1,失败的概率为.以X 表示试验首次成

14、功所需试验的次44数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X 1,2,k,13P(X k)()k 1 44P(X 2)P(X 4)P(X 2k)131313()3()2k 1 444444I31 41(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月 1 日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日，保险公司总收入为2500

15、x12=30000元.设 1年中死亡人数为X,则 Xb(2500,0.002),则所求概率为P(2000X 30000)P(X 15)1 P(X 14)由于n 很大，p 很小，X=np=5,故用泊松近似，有7e 55kP(X 15)I 0.000069 k!14k 0(2)P(保险公司获利不少于10000)P(30000 2000X 10000)P(X 10)10e 5 5 k0.9 8 6 3 0 5k O k!即保险公司获利不少于1 0 0 0 0 元的概率在9 8%以上P (保险公司获利不少于 2 0 0 0 0)P(3 0 0 0 0 2 0 0 0 X 2 0 0 0 0)P(X 5

16、)5e 5 5 kk O k!0.6 1 5 9 6 1即保险公司获利不少于2 0 0 0 0 元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为f(x)=A e|x|,c o&l t;x&l t;4-o o,求：A值;(2)P O&l t;X&l t;l ;(3)F(x).【解】由f i(x)d x 1 得1 A e|x|d x 2O A e x d x 2 A故A 12 .(2)p(0 X 1)12 1O e x d x 1 1 2(1 e)(3)当 x&l t;O 时，F(x)x l2 e x d x 12 e x当 x K)时，F(x)x l2 e|x|d x 0 12 x d x

17、 x l0 2 e x d x1 1 x2 eI x x 0故 F(x)2 e,1 12 e xx 01 6.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为1 0 0f(x)=x 2,x 1 0 0,0,x 1 0 0.求：(1)在开始1 5 0 小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；8(3)F(x).【解】lOOldx.100 x2328pl P(X 150)3()3 32741122(2)p2 C3()339(1)P(X 150)150(3)当 x<100 时 F(x)=0当 xNlOO 时 F(x)x 100f(t)dt f(t)dt

18、 xlOO xf(t)dt lOOlOOt 1 100t2x100,x 100 1 故 F(x)x x 0 0,17.在区间0,a 上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0,中任意小区间由题意知X U 0,a,密度函数为1 ,0 x a f(x)a 其他 0,故当 x<O 时 F(x)=0当 OMx%时 F(x)当 x>a 时，F(x)=1即分布函数 x f(t)dt f(t)dt OxxOlxt aa0,x F(x),al,x 00 x a x a18.设随机变量X 在2,5上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率.【解】X

19、U2,5,即1 ,2 x 5 f(x)3 其他 0,9P(X 3)故所求概率为5312dx 332320222 Ip C3()C3()33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求PYN1.【解】依题意知XE(),即其密度函数为x 1 5 e,x 0 f(x)5 0,x 0 1515该顾客未等到服务而离开的概率为xl 5P(X 10)edx e 2 105Yb(5,e 2),即其分布律为kP(Y k)C5(e 2)

20、k(l e 2)5 k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1)1 P(Y 0)1 (1 e)0.5167 2520.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从 N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N(50,4 2).(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1)若走第一条路，XN(40,x 4060 40 P(X 60)P若走第二条路，XN(50,4 2),则X 5060 50 P(X 60)P故走第二条路乘上火车的把握大些.(

21、2)若 XN(40,1 0 2),则X 4045 40 P(X 45)P若 XN(50,4 2),则X 5045 50 P(X 45)P101 0 2),则(2)0.97727 10 10(2.5)0.9938-H-4 4(0.5)0.6915 1010(1.25)4 41 (1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN(3,22),(1)(2)【解】1求 P2<XW5,P 4<X2,PX3;确定 c 使 PXc=PXc.(1)10.8413 14 3X7P(2 X(1)0.6915310 375)P 20.5328P(4X3X(1)10)35 3122 2

22、2 2P0.9996 22222P(|X|X112)325P(X312)P(XX 35232)PP22222 22 20.6915P(X 3)(2)c=310.9938P(X 33-30.6977)1 (0)0.5 2222.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品，求一螺栓为 不 合 格 品 的 概 率.【解】P(|X 10.05|0.12)P X 10.050.120.060.061 (2)(2)21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,a 2),若要求P120X0.8,允许。最大不超过多

23、少？【解】P(120 X 200)P 120 160X 160200 1601140 40 402 1 0.8故401.29 31.2524.设随机变量X 分布函数为F (x)=A B e xt,x 0,0,x 0.(0),(1)求常数A,B；(2)求 P X W 2,P X3；(3)求分布密度f (x).li mF(x)1【解】(1)由 x 得xli m 0 F(x)A I xli m 0 F(x)B 1(2)P(X 2)F(2)1 e 2P(X 3)1 F(3)1 (1 e 3 )e 3(3)f(x)F (x)e x,x 00,x 02 5.设随机变量X的概率密度为0 x 1,f (x)=

24、x,2 x,l x 2,0淇 他求X的分布函数F (x),并画出f (x)及F (x).【解】当x<0时F (x)=00 2 时 F(x)f(t)d t 1x 0 0 x 10,2 x,2故F(x)2x 2x 1,2 1,1 x 2x 226.设随机变量X 的密度函数为(1)f(x)=ae|x|,X>O;bxO x 1,(2)f(x)=,11 x 2,x2,0,其他.试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】由f(x)dx 1 知 1 ae|x|dx 2ae xd2a故a2即密度函数为 f(x)2e x,x 0 2e xx 0 当 xgO 时 F(x)fi(x)dx2 xdx

25、 12e x 当 x>O 时 F(x)f(x)dx 02xdxx2dx11 x2e 故其分布函数1 1 xF(x)2e,x 012e x,x 0(2)由 1f(x)dx 1 bxdx 2IbO1x2dx 2 12得b=l即 X 的密度函数为130 x 1 x,1 f(x)2,1 x 2x其他 0,当 x2 时 F(x)=1故其分布函数为0,x 0 x2,0 x 1F(x)23 1,1 x 22xl,x 227.求标准正态分布的上分位点，(1)=0.01,求 z;(2)=0.003,求 z,z 12.【解】P(X z)0.01即1 (z)0.01 即z 2.33(2)由 P(X z)0.0

26、03 得1 (z)0.003即(z)0.997查表得由 P(X z/2)0.0015 得1 (z/2)0.0015即(z/2)0.9985查表得 z/2 2.96(z)0.09 故z 2.75 14求 Y=X的分布律.【解】Y 可取的值为0,1,4,9P(Y 0)P(X 0)15117 61530 P(Y 1)P(X 1)P(X 1)1P(Y 4)P(X 2)5I1P(Y 9)P(X 3)30故 Y 的分布律为29.设 PX=k=(k),k=l,2,令 21,当 X 取偶数时 Y 1,当 X 取奇数时.求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】P(Y 1)P(X 2)P(X 4)P(X 2k)1

27、11()2()4()2k 222 111()/(1)443P(Y 1)1 P(Y 1)30.设 XN(0,1).(1)求 丫=*的概率密度；(2)求 Y=2X2+1的概率密度；(3)求 Y=I X I 的概率密度.1523【解】(1)当 yW O 时，FY(y)P(Y y)0当 y>O 时，FY(y)P(Y y)P(ex y)P(X Iny)InyfX(x)dx故ftiFY(y)l ln2y/Y(y)dy yf(lny)2x,y 0(2)P(Y 2X2 I 1)1当 ySl 时 FY(y)P(Y y)0 当 y>1 时 FY(y)P(Y y)P(2X2 1 y)P X2 y 1P

28、2XfX(x)dx故fHY(y)f dyFY(y)X fX(y D/4,y 1 P(Y 0)1当 y0 时 FY(y)P(Y y)0 当 y>0 时 FY(y)P(|X|y)P(y X y)yyfX(x)dx 故 fdY(y)dyFY(y)fX(y)fX(y)y2/2,y 031.设随机变量XU(0,1),试求：(1)Y=eX的分布函数及密度函数;(2)Z=21nx的分布函数及密度函数.【解】(1)P(0 X 1)1 16故 P(1 Y eX e)1 当 y 1 时 FY(y)P(Y y)0 当 l<y<e 时FY(y)P(eX y)P(X Iny)InyOdx Iny当 y

29、Ne时 FY(y)P(eX y)1 即分布函数0,y 1FY(y)lny,l y el,y e故 Y 的密度函数为1Ry)y,i y eYo淇他(2)由 P(0<X<l)=1 知P(Z 0)1当 z 2 2即随机数字序列至少要有2 2个数字。3 6.已知0,I F (x)=x,2 1,x 0,1 0 x,2 1 x.2则F (x)是()随机变量的分布函数.(A)连续型；(B)离散型；(C)非连续亦非离散型.【解】因为F (x)在(oo,+oo)上单调不减右连续，且li mF(x)O xx li mF(x)1,所以F (x)是一个分布函数。但 是 F(x)在 x=0处不连续，也不是阶

30、梯状曲线，故 F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37.设在区间 a,b 上，随机变量X 的密度函数为f(x)=sinx,而在 a,b 外，f(x)=O,则 区 间 a,b等 于()(A)0,7t/2;(B)0,7t;(C)7t/2,0;(D)0,【解】在 0,上 sinxNO,且在 0上在 3兀 .2兀 2 n/20sinxdx 1.故f(x)是密度函数。nOsinxdx 2 1.故f(x)不是密度函数。T T,O sinx 0,故 f(x)不是密度函数。233在 0,兀 上，当 兀 x兀时，sinx<O,f(x)也不是密度函数。22故 选(A)。1938.设随机变量

31、XN(0,c 2),问：当。取何值时，X 落入区间(1,3)的概率最大？【解】因为 XN(0,),P(1 X 3)P(213 X 3)()()令 g()1利用微积分中求极值的方法，有g()(3311)()0 229/2 22 1/2 22 1/2 8/2 1 3e 0 令 得 0 24,则0 ln3 又g(0)0故0X 落入区间(1,3)的概率最大。故当39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P(X),每个顾客购买某种物品的概率为P，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律.e m,m 0,1,2,【解】P(X m)m!设购买某种物

32、品的人数为Y,在进入商店的人数X=m的条件下，Yb(m,p),即km kP(Y k|X m)Ck,k 0,1,m mp(1 p)由全概率公式有P(Y k)P(X m)P(Y k|X m)m k20e mkk Cmp(l p)m km!m kee m k k!(m k)!p(p)kk!mk(l p)m k (1 p)m k(m k)!m k(P)k(1 p)eek!(P)kp e,k 0,1,2,k!此题说明：进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为加.40.设随机变量X 服从参数为2 的指数分布.证明：Y=1 e 2X 在 区 间(0,1)上服从均匀

33、分布.【证】X 的密度函数为2e 2x,x 0 fX(x)x 0 0,由于 P(X>0)=1,故 0<l e 2X<l,即 P(0<Y<l)=1当 yW O 时，FY(y)=0当 yNl 时,FY(y)=1当 0<y<l 时，FY(y)P(Y y)P(e 2x 1 y)1 P(X ln(l y)2即 Y 的密度函数为1 ln(l y)202e 2xdx y1,0 y 1 fY(y)0 淇他即 YU(0,1)41.设随机变量X 的密度函数为1 3,0 x 1,2f(x 尸,3 x 6,9 其 他.0,若 k 使得PXNk=2/3,求 k 的取值范围.【解

34、】由 P(Xk)=21 知 P(X<k)=33若 k<0,P(X<k)=021(2000研考)Ikldx 033 31 当 k=l 时 P(X<k)=3Uki 若 lWkW3 时 P(X<k)=dx Odx 0313Uk2211 若 3<k06,则 P(X<k)=dx dx k若 k>6,则 P(X<k)=1故只有当lk k)=42.设随机变量X 的分布函数为2.3x 1,0,0.4,1 x 1,F(x)=0.8,1 x 3,x 3.1,求 X 的概率分布.0339933 若 0k 1)=故 p=198 知 P(X=0)=(1 p)3=27

35、271 344.若随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，则方程y2+Xy+l=0有实根的概率是多少？【解】1 ,1 x 6f(x)5 0,其他P(X2 4 0)P(X 2)P(X 2)P(X 2)45.若随机变量 XN(2,G2),且 P2<X<4=0.3,则PX.【解】0.3 P(2 X 4)P(4 52 2X 24 2)22()(0)()0.522故(2)0.8X 2 因此 P(X 0)P(2 0 2)(2)1 ()0.246.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新

36、生产了 n(nN2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率a；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率供(3)其中至少有两台不能出厂的概率0.【解】设人=需进一步调试,B=仪器能出厂,则A=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知 B=A U A B,且P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(B|A)0.3 0.8 0.24P(B)P(A)P(AB)0.7 0.24 0.94令 X 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则 X6(n,0.94),故P(X n)(0.94)nn 2 P(X n 2)C2(0.06)2 n(0.94)P(X n 2)1 P(X

37、n 1)P(X n)1 n(0.94)n 10.06(0.94)n47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设 X 为考生的外语成绩，则 XN(72,c2)24 X 7296 72 0.023 P(X 96)P 1 ()故(查表知从而 X-N(72,12)故 P(60 X 84)P 224)0.977 24 2,即 o=12 60 72X 7284 721212 1223(1)(1)2(1)10.68248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V

38、三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和 0.2(假设电源电压X 服从正态分布N(220,252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。【解】设 Al=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由 XN(220,2 5 2)知P(A1)P(X 200)X 220200 220 P 25 25(0.8)1 (0.8)0.212P(A2)P(200 X 240)200 220X 220240 220 P252525(0.8)(0.8)0.576P(A3)P(X 240)1 0.2

39、12 0.576 0.212由全概率公式有P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642i 13由贝叶斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009 P(B)49.设随机变量X 在区间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】fX(x)1,1 x 2 0淇他因为 P(l<X⁢2)=1,故 P(e2<Y<e4)=1当 ye2 时 FY(y)=P(Y1)=1当 y l 时，F Y(y)P(Y y)0 当 y&g t;l 时，F Y(y)P(Y y)P(e X y)P(X I n y)I n y xO e d x 1 l y即 F 1

40、 1y,y&g t;iY(y)O,y 11故 f)y 2,y&g t;lY(yO,y 15 1.设随机变量X的密度函数为f lX(x)=7 t(1 x 2),求Y=1 x的密度函数f Y(y).【解】F Y(y)P(Y y)P(l y)P(X (1 y)3)(1 9 95 研考)2 51 Id x x(l y)3 7 t(1 X2)T I(1 y)31 兀 3 a r c t g(1 y)n 23(1 y)2故 f Y(y)T i l (1 y)65 2.假设一大型设备在任何长为t的时间 F T(t)t 0 0,即间隔时间T服从参数为X的指数分布。e 1 68 (2)Q P(T 1 6|T 8

41、)P(T 1 6)/P(T 8)8 e e5 3.设随机变量X的绝对值不大于1,P X=1 =1/8,P X=l =l/4.在事件 l&l t;X&l t;l 出现的条件下，*在 1,1 (1 997研考)【解】显然当x&l t;1时F(x)=0；而 近1时F(x)=l由题知P(1 X 1)1 1 1 58 4 8x 1 2 当 l&t;x&l t;l 时，P(X x|1 X 1)此时 F(x)P(X x)P(X ,1 X I)P(X x,X 1)P(X x,X 1)P(X x,1 X 1)P(X x,x 1)P(X x|1 X 1)P(1 X 1)P(X 1)X 15151(x 1)2881

42、681 8 当乂=1 时，F(x)P(X x)P(X 1)故 X 的分布函数26x 1 0,51F(x)(x 1),-1 x<l8 16x 1 1,5 4.设 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 N(g l,o l2),Y 服 从 正 态 分 布 N(p2,o22),且P|X-nl|<l>P|Y-g2|<l，试 比 较 Q1 与。2 的 大 小.(2006研考)解：依题意X 11N(0,l),Y 22N(0,l),贝 ljPX 1 1 PX 11Y 21PY 2 1 P因为 PX 1 1 PY 2 1 ,即22PX 111 PY1212，所以有112，即 1 2.习题

43、三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.273.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为TU T sinxsiny,0 x,0 y F(x，y)=22其 他.0,求二维随机变量(X,Y)在 长 方 形 域 0 x【解】如图P0 X m,y 467r 内的概率.3 7nnt,Y 公式(3.2)463兀兀皿虫,)F(,)F(0,)F(0,)434636Ttmtrnm sin

44、sin sin sin sinO sin sinO sin434636 1).题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机 变 量(X,Y)的分布密度Ae(3x 4y),x 0,y 0,f(x,y)=其 他.0,求：(1)常数A；(2)随机变量(X,Y)的分布函数；(3)POX<l,0Y<2.28【解】(1)由f(x,y)dxdy 0 0Ae-(3x 4y)dxdy A12 l 得 A=12(2)由定义，有F(x,y)y xf(u,v)dudvyy(3u 4v)dudv(1 e 3x0 012e)(1 e 4y)y 0,x 0,0,0淇他 P0 X 1,0 Y 2P)0

45、 X 1,0 Y 2 1)0 2(3x 4y012e dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.5.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6 x y),0 x 2,2 y 4,0,其他.(1)确定常数k；(2)求 PX1,Y 3；(3)求 PX<1.5；(4)求 P(X+Y4.【解】(1)由性质有4 f(x,y)dxdy 20 2k(6 x y)dydx 8k 1,故 R(2)PX 1,Y 31 3f(x,y)dydx1 31028k(6 x y)dydx 38(3)P(X 1.5 f(x,y)dxdy 如图 ax 1.5 f(x,y)dxdy DI1.541Odx

46、28(6 x y)dy 2732.(4)PX Y 4 f(x,y)dxdy 如图 bX Y 4 f(x,y)dxdy D224 xlOdx 28(6 x y)dy 23.29题 5 图6.设X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0,0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f 5e 5y,y 0,Y（y）=0,其他.求：（1）X 与 Y 的联合分布密度；（2）PYY,从而方程有实根的概率为：PX2 Yx y 2f(x,y)dxdy1 y/2edy0021 (1)(0)0.1445.dx 1x215.设X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)，并设X 和 Y 相互独立，且服从

47、同一分布，其概率密度为1000,x 1000,f(x)=x2其 他.0,求 Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数FZ(z)PZ z P(1)当 zW O 时，FZ(z)0(2)当 0<z<l 时，(这时当 x=1000 时,y=X z YFZy xzlOOO)(如图 a)z6 yzl0106dxdy 103dy 322dx 221 Oxyxyz103106 z=103 2 3 dy zy 2z y35题 15图(3)当它1 时,(这时当y=103时，x=103z)(如图b)F106Z(z)x2y2dxdy zyl06y xlO3dy 103x2y2dxz=1031061

48、103 y2 zy3 dy 1 2z1 12z,z 1,即f zZ(z),0 z 1,2其 他 0,.12z2,z 1,故 f 1Z(z)0 z 1,2,其他0,.16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=l,2,3,4),则 XiN(160,202),从而Pmin(Xl,X2,X3,X4)180Xi 之间独立 PX1 180 PX2 180PX3 180 PX4 1801 PX1 180 1PX2 1 80 P1X3 1 8P04Xl1 PX 180 160 4I 1804 I

49、201(1)4(0.158)4 0.00063.17.设X,Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为只，36 180PX=k=p(k),k=0,1,2,PY=r=q(r),r=0,1,2,.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=p(k)q(i k),i=0,1,2,.k Oi【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以亿 i X Y iX 0,Y i X 1,Y i 1 X i,Y 0于是PZ i PX k,Y i kX,Y 相互独立 PX k PY i kk 0ik OiiP(k)q(i k)k 018.设X,Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,p 的二项分布.证明Z=

50、X+Y服从参数为2n,p 的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0,1,2,2n.PX Y k PX i,Y k ii OkP(X i)PY k ii 0kk n n k in k i piqn i pqi 0 i k iknn k2n k pqik ii 02n pkq2n kk方法二：设 以 1,四 2,jx n W M l,叩，均服从两点分布(参数为p),则X=pl+p2+.+pn,Y=|il+口 2+河，X+Y=|il+R2+即+以 1 +|12+河，所以，X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.37(1)求 PX=2 I Y=2,PY=3 I X=0；(2)求 V=max(X,