《概率论与数理统计》课后习题答案.pdf

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1、习题L 1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,8,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试 写 出 样 本 空 间 及 事 件 中 的 样 本点。解：。=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A =(正，正)，(正，反);8 =(正，正)，(反，反)。=(正，正)，(正，反)，(反，正)2.在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件+8,彳C,8 C,A-8 -C 中的样本点。解：。=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(2,6

2、),(6,1),(6,2),(6,6)；A B =(U),(1,3),(2,2),(3,1)；A +B =(1,1),(1,3),(1,5),-,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；4 C =；6 C =(1,1),(2,2)；A-B-C-D (1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3.以A,8,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试 用 表 示 以 下事件：(1)只订阅日报；(2)只订日报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三种

3、报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(1)A B C ；(2)A B C ；(3)A B C +A B C +A B C;(4)A B C +A B C +A B C;(5)A +B +C；(6)A B C ,(7)彳万仁+彳万C +彳6 +A豆。或X B +彳仁+豆(8)A B C；(9)A+B +C4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件4，4 2,4分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2+A3,而，A1+4,A4 A，2+A 3 +A A 3 .解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、

4、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件A,民。满足4 BCW，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A+B+C,A B +C f B AC.解：如图：A +8 +C =A B C +A B C +A B C +A B C +A B C +A B C +ABC-AB+C=A B C+C-B-A C =A B C +A B C +A B C=雨 +A B C B C +A B C6.若事件A,3,C满足A +C =B +C,试问A =8是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：4=3,4,5 ,B =3,C =4,5 ,那么，A+C=8+C,但4*8。7.对于事件A,6,C,试问4-(8-。)=

5、(4 8)+。是否成立？举例说明。解：不一定成立。例 如:A =3,4,5 ,8 =4,5,6 ,C =6,7),那么 A (8 C)=3,但是(A -B)+C =3,6,7 .8.设尸(A)=g,P得,试就以下三种情况分别求产(8 4)：(1)AB=(1,(2)A u B,(3)P(AB)=卷.o解：-1(1)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-；2-1(2)P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=-；6一 1 1 3(3)P(BA)=P(B AB)=P(B)_ P(AB)=-=-o2 8 89.已知 P(4)=P(B)=P(C)=1，P(A C)=P(5 C)=3，P

6、(4B)=0求事件4 16A,8,C全不发生的概率。解：P(A B C)=P(A+B+C)i-P(A+B+C)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A =三个都是红灯”=“全 红 ；B =“全绿”；。=“全黄”；D=“无 红 ；E=“无绿”；F =三次颜色相同 ；G =颜色全不相同；H=颜色不全相同”。解：P(A)=P(B)=P(C)=岩g ；P(D)=P=苦-=2；3x 3x 3 2 7 3x 3x 3 2 71111 3 2P(尸)=+

7、=_；P(G)=-=-；2 7 2 7 2 7 9 3x 3x 3 98-9=1-9-11.设一批产品共100件，其中9 8 件正品，2 件次品，从中任意抽取3 件(分三种情况：一次拿3 件；每次拿1件，取后放回拿3 次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求:(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解:一次拿3 件:c2 c(1)P =-=0.05 8 8；(2)GooPC 2 c 98+C 2 c 980.05 9 4；每次拿一件，取后放回，拿 3 次:(1)P=；x 3=0.05 7 6；1003(2)9 83P =l v=0.05 8 8；100

8、3每次拿一件，取后不放回，拿 3 次:(1)心益就4 0.0 5 8 8；-=。5 9 412.从0,1,2,9中任意选出3 个不同的数字，试求下列事件的概率:A,=三个数字中不含0与5 ,A2=三个数字中不含0或5 。解:C3 7p（4）=4或13.从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：P5*4年 _ 419 014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在10月份;(2)6人中恰有4人生日在10月份;(3)6人中恰有4人生日在同一月份;解:(1)H6P=廿 0.41；(2)P =1262-=0.0006 1；(3)C

9、l C41121 2 v-0.007 312615.从一副扑克牌（5 2张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解:pc3cl cl c1=0.6 0 2或P =1 e 吟比均三0 602C M习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令4=取到的是i等 品 ，i=1,2,3p闺4）p（A4）_ 尸（4）_ 竺 _ 2尸（彳3）-P（4）-（1 9 -32.设 10件产品中有4 件不合格品，从中任取2 件，已知所取2 件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令月

10、=两件中至少有一件不合格，B=两件都不合格P A)P(AB)P(A)P(B1l-P(X)3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和 n。两种报警系统单独使用时，系统1和 H有效的概率分别0.92和 0.93,在系统I 失灵的条件下，系统n 仍有效的概率为。8 5,求（1）两种报警系统I 和 II都有效的概率;（2）系统II失灵而系统I 有效的概率；(3)在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令4=系 统(1)有 效 ，B=系 统(H)有效”则 P(A)=0.9 2,P(B)=0.9 3,P(B I A)=0.8 5(1)P(AB)=P(B-AB)=F(B)-P(AB)=P(B

11、)-P(A)P(B I A)=0.9 3-(1-0.9 2)x 0.8 5 =0.8 6 2(2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)P(AB)=0.9 2 -0.8 6 2 =0.0 5 8(3)P(A I N)=P()=0.8 2 8 6P(B)1-0.9 34.设 0尸(A)：:A与8独立，彳与8也独立。/.PB I A)=A)=P(B):.P(B I A)=P(B I A)u：v 0 P(A)1 .-.0 P(X)0,P(B)0,则有(1)当A 与6 独立时，A 与8 相容；(2)当A 与8 不相容时，A 与6 不独立。证明：P(A)0,P(6)0(1)因为A 与 8 独立，所以P(A

12、8)=P(A)P(3)0,A 与B 相容。(2)因为尸(AB)=0,而尸(A)尸(B)0,P(A8)H P(A)P(6),A 与 6 不独立。7.已知事件A,B,C相互独立，求证A U 8与。也独立。证明：因为A、B、C 相互独立，P(A U 8)n C=P(AC u BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)尸(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(A U B)P(C)A U 8 与C 独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7,0.8和 0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床

13、需要工人照顾的概率。解：令 4，42，43分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 P(A)=0.7,P(A2)=0.8,P(A,)=0.9令 8 表示最多有台机床需要工人照顾，那么 P(B)=2(444+4 A2 A 3 +444+A 1 4 4)=P(AIA2A3)+P(I1A2A3)+P(/41X2A3)+P(A1A2A3)=0.7 X 0.8 X 0.9 +0.3 X 0.8 x 0.9 +0.7 x 0.2 x 0.8 +0.7 x 0.8 x 0.1=0.9 0 29.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0 p 诃=直=a攵=1 k=l 乙 1 4 JP C 00 1

14、1P（X 2 5）=p =自=记k=5 k=5 2 1 2 1 02 .设随机变量X的概率分布为尸（X =幻=算0-，攵=1,2/-）,且/1 0,求常k数C.-.C 1=1,即c=（l-e-）T0!3 .设一次试验成功的概率为P（O P 1）,不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X 表示试验的次数，求 X 的概率分布。解:p（x =k）=p Q-p）i,k =l,2,.4 .设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X 的概率分布；（2）P（X N 5）。解：(1)(X=0)=(l-p)”=

15、(0.9)X 0.1,左=0,1,2,(2)P(X N5)=Z(X =A)=Z(0-9)&X0.1=(0.9)5k=5 k=55 .一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p =4，所以这是一个 =5,p=J4 4的独立重复试验。P(XN4)=C；(：)4 x：+C冲 5(6。=专6 .为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01,各台设备工作情况相互独立。(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；(2)设有设

16、备100台，1台发生故障由I人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解：(1)1 -(0.9 9)20-20 x 0.01 x (0.9 9)19 0.017 5 (按 Po i s s。(泊松)分布近似)(2)n=100,np=100 x 0.01=1 =2(1$Poisson(泊松)分布近似)100 100*-1P(X N N +1)=X。髭(01)*(9 9严 -*X -1).j 1解：尸。=0)=1=,-.2=l n 20!2P(X1)=1 P(X 1)=1 P(X=0)+P(X=1)=l-+-l n 2 =-(l-l n 2)2 2

17、28.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4 页，每页上都没有印刷错误的概率。解：P(X=1)=P(X=2),即 一e =e,4 =21!2!:.P(X=0)=2.-.P=(e-2)4=e*9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3 时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5 时收到1次紧急呼救的概率；9.在长度为，的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从

18、参数为/的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午12时至下午3 时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5 时收到1次紧急呼救的概率；解：3-f =3,4 =P(X=0)=e 25-(2)t5 ,2=-P(X N1)=1-P(X=0)=1-e 21 0.已知X 的概率分布为：X-2-10123P2a1i o-3aaa2a试 求(l)a；(2)丫 =乂2 1的概率分布。解：(1 )*.*2 H-F 3。+。+Q+2 11 01ci=10(2)y-1 0 3 83 i 3 rp _ _ _ _ 10 5 10 5解:(1)v-(-r

19、)x0.5+-x0.5x3=l2 2(2)/(x)=-x+x e-1,0),x e 0,3)其它12.设连续型随机变量X的概率密度为1 1 x+2 21 106 2sin x,0 x af(x)=)=Js i n xdx-c o s x l|=-6军 不261 3.乘以什么常数将使er,、变成概率密度函数？+00解：令 ce-x2+xdx=100+8/I 2 1即 c j e edx=1-0 0-r-1 -即 ce4 y/7r=1 c=e 41 4.随机变量X N(M),其概率密度函数为1.d-4*+4/(x)=J_e 6(-o o x +o o)6兀试求,。2；若已知(x)dx=j f(x)

20、dx,求 C.解：.t2-4.v+4 (x-2)2f(x)=ye 6=-r=-r=e 2(7 6兀 7 2兀73/./=2,c r2=3+00 c若J7(x)dx=f(x)dx,由正态分布的对称性c 00可 知c =M=2.1 5.设连续型随机变量X的概率密度为/(x)=2x,0,0 x l其他以y表示对x的三次独立重复试验中“x ”出现的次数，试求概率尸(丫 =2).Ii2解：P(X J)=Fxdx=；P(y =2)=*吗1 6.设随机变量X服从 1,5上的均匀分布，试求P(X1 X 2)如果(1)X)1 x2 5；(2)1 Xj 5 x2.解:X的概率密度为/(x)=4，1 W x W 5

21、0,其他(1)*1 iP(X1 X )=J-=-(x2-1)(2)5 1Px X 1 0)=1-P(X l)=l-(l-e-2)5 0.51 67习题1.4解答1.已知随机变量X 的概率分布为尸(X=1)=0 2,P(X=2)=0.3,p(X=3)=0.5,试求X 的分布函数；P(0.54 X 2)；画出尸(x)的曲线。解:F(x)=00.20.51尸(x)曲线:,x 1,1 x 2,2 x 3F(x)P(0.5 X 2)=0.5c-O3IYI2r丫Iu522.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)=0,x 10.4,-1 X10.8,1 x 3试求：(1)X 的概率分布；(2)P(X 2

22、IX W1).解:(1)X -1 1 3P 0 4 0 4 02(2)P(X 2 I X H l)=P(X=-1)_ 2P(X w l)-W3.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X为途中遇到红灯的次数，试 求(1)X的概率分布；(2)X的分布函数。解：2 3 P(X=k)=C -)-)3-k,k=0,1,2,3列成表格X0 1 2 3P27 54 36 81 25 1 25 1 25 1 250,x 027,0 x 11 25Ct 1(2)F(x)=81,1 x 2?251 1 7,2 x 34.试求习题1.3中第1 1题X的分布函数

23、，并画出尸(x)的曲线。解:尸(x)X 1-l x 00 x35.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)=A+Be0,x 0 x 0试求：(1)A,B 的值；P(-1 X 0+(2)P(-l X 1)=F(l)-F(-l)=-e2(3)/(x)=U(x)=y0,x 06.设 X 为连续型随机变量，其分布函数为%X 1;F(x)=bxln x+ex+d,x e.试确定F(x)中的c,d的值。解：v F(-o o)=0.a=1又 F(+o o)=1 :.d=又l i m(b x l n x +c x +l)=a=0 c =-1A-l又 v l i m(bxnx-x+i)=d=1 ，h e-e+1

24、 =1 即 b =1x-e7.设随机变量X 的概率密度函数为y(x)=亚 丁，试确定。的值并求F(x)兀(1+x )和 P(|X|1).+00即a r c t a n x 1 曹=1 :.a=71L/f ,1 1F(x)=-a t =+a r c t a n x ,-o o x 4-00r(l +/)2 71P(X ，)=P(N(f)=0)=eSiF(t)=P(X t)=l-e u当，0F(x)-0 x0X服从指数分布(2=0.1)(2)/(3)=1 U 0 26(3)F(5)-F(3)*0.139.设 X N(-1,16),试计算(1)P(X-1.5)；(3)P(|X|1).解：2 44-(

25、1)3 44(1)尸(X-1.5)=l-P(X -1.5)=1-(T：+l)=1-O(-1)=0.54984+1-4+1 5-3 P(l X l(?!)1三0.6678(4)尸(I X-11 1)=尸(X 0)U(X2)=P(X 2)=(誓)+1-(言)=(+1 -(三8825310.某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,102),第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？P(X N xlX 2 60)=100产(X Nxl X 2 60)尸(X 2 x)PI(X 2 60)_ P(X N x)P(X 60)P(X 60)P(X 60)=1-060-7010=0)(1)=0.84

26、13P(X x)=0.2x0.8413=0.16826P(X 2x)=1-x 7010=0(1)=0.16826J x 70、x 70 .-=0.83174,-0.96,x 79.6I 10 J 1011.设随机变量X和y均服从正态分布，X N(,42),y N(,5 2),而Pi=P(X一 4),p2=P(Y N +5),试证明 P=2证明：v p=P(X /+5)=i-=i-o)(i)=0(-1)1 P=Pz-1 2.设随机变量X服从口，切上的均匀分布，令丫=CX+d(C H 0),试求随机变量y的密度函数。解：0其它-5-,ca+d y 0 时，万(y)=c(b-。)0,其他-?-,cb-d y cc当cvO时，/y(y)=c(b a)0,其他