概率论与数理统计课后答案.pdf

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1、1概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题 一一一一1 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有 2 个发生；（8）A，B，C至少有 2 个发生.【解】【解】（1）A（2）AB（3）ABCBCC（4）ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCABC(5)=(6)ABCABCABC(7)BCACABCAB=ABCABBCA

2、CABCABCABC(8)ABBCCA=ABACBCABCCBA3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（）.AB【解】【解】P（）=1P（AB）=1P(A)P(AB)AB=10.70.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2）当AB=时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（AB）=P（

3、BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)2=+=141413112347.从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】【解】（1）设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，

4、有利事件仅 1 个，故P（A1）=（）5（亦可用独立性求解，下同）51717（2）设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A2）=()5556767(3)设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1()5179.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.22301604P=22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于的概率；65（2）两个数之积小于的概率.14【解】【解】设两数为x,y，则 0 x,y1.（1）x+y.6511 4 4172 5 510.68125p=(2)xy=(

5、3)12(1)!13!(2)!;,3!nnppnnnn=38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】【解】设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由0 xa,0ya,0axy+构成的图形，即02022axayaxya+正正（甲乙）=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=1246.证明“确定的原则”（Surething）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，则P（A）CCP(B).【证】【证】由P（A|C）P(B|C),得()(),()()P ACP BCP CP C即有()()P ACP BC同理

6、由(|)(|),P A CP B C得()(),P ACP BC故()()()()()()P AP ACP ACP BCP BCP B=+=47.一列火车共有n节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】【解】设Ai=第i节车厢是空的，（i=1,n）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)nkkikkijkiiinP AnnP A AnnP A AAn=其中i1,i2,in1是 1，2，n中的任n1 个.显然n节车厢全空的概率是零，于是132112111122111111123111()(1)C(1)2()C(1)1()C(1)0()

7、(1)nnnkkinikijnij nnkniiiniiinnnniniSP AnnnSP A AnnSP A AAnSPASSSS=0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为 1.【证】【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1(1)1()nn49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知(),()mnP BP Bmnmn=+1(|),(|)12rP A BP A B=则由贝叶斯公式

8、知()()(|)(|)()()(|)()(|)P ABP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B=+121212rrrmmmnmnmnmnmn+=+iii50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？14【解】【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，121()()2P BP B=另一盒恰剩r根，说明已取了 2nr次，设n次取自B1盒（已空），

9、nr次取自B2盒，第 2nr+1 次拿起B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里试验，则所求概率为12211112C()()C2222nnn rnn rn rr rp=i式中 2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2）前 2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1盒，nr次取自B2盒，第 2nr次取自B1盒，故概率为111212212111112C()()C()2222nnn rnn rn rn rp =51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由00112220()CCCC1nnnnnnnnnnqpp qpqp q

10、p q+=+=0011222n0()CCC(1)Cnnnnnnnnnnqpp qpqp qp q=+以上两式相减得所求概率为113331CCnnnnppqp q=+11()2nqp=11(12)2np=若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.211(12)2npp=+52.设A，B是任意两个随机事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.AABB【解】【解】因为（AB）（）=ABABBA（B）（A）=ABABAB所求()()()()AB AB AB AB+()()ABABABAB=+=故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=，P

11、(A)=P(B)=P(C)1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】【解】由()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+15293()3()16P AP A=故或,按题设P（A）,故P（A）=.1()4P A=34121454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】【解】1()()1()9P ABP ABP AB=()()P ABP AB=故()()()()P AP ABP BP AB=故()()P AP B=由A,B的独立性，及、式有11()()()()9P AP BP A P B=+212()()P AP A=+21()P A=故11()3P A=故或（舍去）2()3P A=4()3P A=即P（A）=.2355.随机地向半圆 0y0,P(A|B)=1,试比较P(AB)与P(A)的大小.(2006 研考)解：解：因为()()()()P ABP AP BP AB=+()()()()P ABP BP A BP B=所以.()()()()()P ABP AP BP BP A=+=