概率论与数理统计教程习题答案.pdf

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1、第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）1 0 件产品中有1 件是不合格品，从中任取2 件得1 件不合格品。（2）一个口袋中有2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，（i）得白球，（i i）得红球。解（1）记 9 个合格品分别为正“正 勤 ，正门记不合格为次，则。=（正1，正2）,（正0正），（正正9）,（正 ,次），（正2，止3），（止2，止4），（正2，正9），（正2，次），（正3，正J，（正3，正9），（正3，次），（正*正9（正8，次），（正9，次）4=（正1，次），（正2，次），（正9，次）（2）记 2 个白球分别为一，和，3 个

2、黑球分别为仇，打，4 个红球分别为八，4，厂 3，小 则。=助，c o、9 b ,b,%,r19 G，q，q（i）A=幼，a 2（i i）8 =八，G，6，01.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。（1）叙述4 8 不的意义。（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）什么时候关系式C uB是正确的？（4）什么时候司=8成立？解（1）事 件 表 示 该 是 三 年 级 男 生，但不是运动员。（2）ABC=C等价于C uA B,表示全系运动员都有是三年级的男生。（3）当全系运动员都是三年级学生时。（4）当全系女生

3、都在三年级并且三年级学生都是女生时。1 .3 一个工人生产了个零件，以事件A,表示他生产的第i 个零件是合格品（l z n）o用A,表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅仅只有一个零件是不合格品；（4）至少有两个零件是隹产品。解 pA ；（2）PI A=U A：u i A（n）i ；Z=1 1=1 /=1 i=l j=l尸i（4）原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为O a.Aj；1 .4 证明下列各式:A c8 =B e A(3)(Au B)o C=Au(B u C)；(Ac B)c C=Ac(8 c C)(5)(A u 8)c C =(A

4、c C)u(B c C)M 心1=1 1=1证 明（1）（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第1 0 1 2 页（1.5）式和（1.6）式的证法。1.5 在分别写有2、4、6、7、8、1 1、1 2、1 3 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样 本 点 总 数 为=8 x 7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1、1 3 中的两个，或为2、4、6、8、1 2 中的一 个 和 7、1 1、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含8+2 4；x A；=2 x 3 x 6 个样本点。于是1.6 有五条线段，长度分别为

5、1、3、5、7、90从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样 本 点 总 数 为 所 取 三 条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7 或 3、7、9 或多或5、7、90所以事件A 所取三条线段能构成一个三角形”包含3 个样本点，于是P（A）=。1.7 一个小孩用1 3 个字母A,A,A,C,E,M,M,N,T,T 作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成 M AT H E M AT ICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为1 3!,事件A 恰好组成 M AT H E M AT ICIAN”包含3 !2!2!2!个样本点。

6、所以P(A)3!2!2!2!1 3!4 81 3!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红 车 及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 x 1 0-1 =8 9 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9 +8 =1 7 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9 -幢 1 0 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9 7。

7、事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是P（A）=91.1 0 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用A表示“牌照号码中有数字8，显然尸(心=卫_ =(2，所以10000 110；-94P(A)=1-P =1-=1-100001.1 1 任取一个正数，求下列事件的概率:(1)该数的平方的末位数字是1;该数的四次方的末位数字是1;(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解 答 案 为。当该数的末位数是1、3、7、9

8、之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为34 =4?10 5一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含IO?个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为。，则该数的立方的最后两位数字为1和 3。的个位数，要使3 a 的个位数是1,必须。=7,因此A所包含的样本点只有71这一点，于是1.12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2 根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以

9、与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有5-3T种接法，所以样本点总数为(531)2。用A表示“6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5-3J种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4.2。所以A包含的样本点数为(5.3-1)(4-2),于是P(A)=(5 3 1)(4；2)=(2)2 根草的情形和类似得1.13把个完全相同的球随机地放入N 个盒子中(即球放

10、入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为 -女 0kn(2)恰 好 有 加 个 盒 的 概 率 为 J ,N-n m N(N+n-n(3)指定的2个盒中正好有/个球的概率为l m N,Q j 7 1 11.1 5在A A 8C中任取一点P,证明A A B P与A 4 8c的面积之比大于 一 的概率为r。n n1 _?-1解 截 取CO=CO,当且仅当点P落入C A B 之内时A 4 8 P与A A 8C的面积之比大于，因此n n一2,万 之所求概率为p(A)=C有一再=C

11、D=五-=J _A A B C的 面 积 而2 2 21.1 6两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分 别 用 表 示 第 一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当242-X232-X2220 x-y 2,0 y-x+i)=b.a(a+b)a+6-1)a甲取胜的概率为尸(例)+P(g)+尸(吗)+乙取胜的概率为P(M)+P(g)+P(g)+“1.21 设事件 及 AuB 的概率分别为 p、q 及 r,求P(A8),P(AB),P(AB),P(AB)解 P(A u

12、B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A u B)=p+q-rP(痛)=P(A-A8)=P(A)-P(A6)=r-q ,P(A B)r-pP(AB)=P(AxJB)=1 -P(A 8)=1 -r1.2 2 设4、4 为两个随机事件，证明：(1)P(A&)=I-P()P(月)+P(4元)；(2)1 -P()-P(A)P(AtA2)F(A,u A2)P(At)+P(A2).证明 P(A,A2)=P(A u 4)=1-P(AX u A)=1-P(A.)-P(4)+P(A )(2)由(1)和P O T；)2 0 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个

13、不等式。1.2 3 对于任意的随机事件A、B、C,证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)PA(B u C)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45队订乙报的有 35幅订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%同时订三种报纸的有3肌 求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件8 表示订乙报，事件。表示

14、订丙报。(1)P(ABC)=P(A 一(AB u AC)=P(A)P(AB uAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23%P(CA)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20%P(ABC u +BAC+CAB)=P(A8C)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACZ)+P(BCA)=14%(5)P(A+B+C)=90%(6)P(ABC)=l-P(A +B+C)=l-90%=10%1.26 某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放

15、回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解 用 A,表 示“第i 张考签没有被抽到，i=l,2,N。要求P(U d)。/=1&4)=(午)尸5八)=(爷)，尸(4=0NZP(A,)=(N-1 0 4 八)=-i N I所以p(山,)=(-1尸 乎,=1/=1、N)1.2 7 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为即出,%,，当且仅当12，”的排列(y 2 i“)中存在左使乙=人时这一项包含主对角线元素。用A k 表示事件“排 列 中 乙”即第左个主对角线元素出现于展开式的某项中。则P(A,)=(

16、Z?-1)!1 i n P(A A)=(ly4 )，n!n所以 p(U A)=(-1 尸(1.2 9 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。解 用 d g 分别表示男孩和女孩。则样本空间为：n =(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g(g,g,b)(g,g,g)其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，8表 示“有男孩”，则1.30 设M 件产品中有机件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有

17、一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解(1)设A表 示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表 示“所取产品都是不合格品”，则 设 C表示“所取产品中至少有一件合格品”，。表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。(m丫M-m1(w Y M 1 1P(D I C)=P(CD)P(D)尸(C)P(C)M+m-11.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:(1)已知前 -个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率;第%(左 )个人摸到的概率。解 设 4表示“第i 个人摸到“，i =l,2,。P（A&I%）n-（k I）1几 一k+1/n n,A n/-T 7 A X

18、 一 1 一 N 1 1(2)P(4)=P(A A 1 4)=.；-=-n n-1 n-k+n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为2 e-1/lO),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p ,证明:一个母鸡恰有 个下一代(即小鸡)的概率为白叱e。r!解 用4.表示“母鸡生女个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代”，则0 0 一左、P =Z P(Ak)P(B I A,)=p (1 -p产k-r k=r J_(一 P)e 1|x 3 x 2 x 0.462 3 *x 0.40 x 0.11x 0.13 0.0 168(2)x 0.462 x 0.402 0.1 5 5 7a(3)(1-0.0 3)5 0.

19、85 871.4 2设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用人 表 示“第左门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，Z =1,2,，8表 示“击中飞机”。则P(Ak)=0.6 ,k=1,2,。(1)P(A,u A2)=1 -P(A,)=1 -0.42=0.84(2)P(A u A,)=l-P(n，*)=1 0.4 0.99,n 5.0 2 6*=il g 0.4取 =6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。1.4 3做 系列独立的试验，每次

20、试验中成功的概率为p ,求在成功次之前已失败了他次的概率。解 用4表示“在成功次之前已失败了机次”，8表示“在前”+机-1次试验中失败了机次”，C表 示“第+?次试验成功”则 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=n+m-m Jp-d-p)-Pn+m-1P(l P)m1.4 5某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（lr）的概率。解 用A,表示“甲盒中尚余z根火柴”，用鸟表示“乙盒中尚余，根火柴”，C,。分别表示 第2-次在甲盒取”，“第2-/次在乙盒取”，4 5,。表示取了2-次火柴，且第2-/次是从甲盒中取的,

21、即在前2-尸-1在甲盒中取了-1 ,其余在乙盒中取。所以 P（A 0 8 C）2/z r -1n-1由对称性知P（A,B0C）=P（A0B,D）,所求概率为:P(ABC u ArB0D)=2P(A0BrC)(2n-rn-1r l2 n-r-7第二章离散型随机变量2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？1）21 0.5 0.3 0.2）（0.7 0.1 0.111-2zrk4)2_-2解（1）是（2）0.7+0.1 +0.1 1,所以它不是随机变量的分布列。（3）i+im+im2+.+i f i Y+.=2,所以它不是随机变量的分布列。2 2（3）23；4（4）为自然数，且 所 以 它 是

22、随 机 变 量 的 分 布 列。2.2设随机变量g的分布列为：P（J=Q =幺,A =1,2 3 4,5,求 P C=1或孑=2）;(2 P(1|)；(3)P(1 2)o1 2 1解(1)P =1或J=2)=百+百=；(2)P(1|)=P(=1)+P(=2)=1;(3)P(l 2)=P(=1)+P(=2)=1.2.3解设随机变量J的分布列为尸(g =i)=c?,i =l,2,3。求C的值。解封沪目卜，所以C啜。2.4 随机变量J只取正整数N ,且P =N)与?成反比，求J的分布列。解根据题意知P(4 =N)=:，其中常数C待定。由于=c 日=1，所以C =K，即J的分布列N2 NN 6 TI为

23、P(q =N)=J，N取正整数。G TT2N22.5 一个口袋中装有机个白球、-机个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了g个白球，求g的分布列。解 设”表示前4次取出白球，第&+i次取出黑球，则g的分布列为:P(c=k)=-,K=(),!,M2.一1)-2.6 设某批电子管的合格品率为3,不合格品率为工，现在对该批电子管进行测试，设第J次为首4 4次测到合格品，求g的分布列。解 p =k)=(；)k =1,2,.2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只球，以J表示取出球的取大号码，求J的分布列。解 pq=k)=,k=3,4,5.

24、2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p (0 p 1)=1 -=0)-=1)=(2 4-I n 2 5)/2 5 0.83 o2.1 3 一本50 0页的书共有50 0个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过50 0个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p =一，因而，至少出现三个错误的概率为利用普哇松定理求近似值，取/l=p=50 0 x -=l,于是上式右端等于2.14某厂产品的不合格品率为0.0 3,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有1 0 0个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至

25、少装1 0 0 +x个产品，其中有个次品，则要求x,使().9 0,0 /?(=机)=(4).5，”0.5 a-”，,机=0,1,2,3,4;p(7 7 =)=(o.3 O.74-，”=0,12 3,4;P(D =2、k0.2A0,84-*k=0,1,2,3,4 o2.1 8抛掷三次均匀的硬币，以&表示出现正面的次数，以乙表示正面出现次数与反而出现次数之差的绝对值，求修力)的联合分布列及边际分布列。2.2 1设随机变量右与独立，且P C=1)=P m=l)=p 0,又p(g =O)=p(=0)=l p0,定义小=p若 为 偶 数，问p取什么值时4与，独立？9 0若4 +为奇数解 P-=1)=P

26、 记=0)尸(=0)4-=1)P(7 =1)=(1-p)2+p2p y=0)=P C=0)P(7 =1)+P C=0)P(7 =1)=2/7(1-p)而 P C =I,=I)=p q =I)=p 2,由 P(g =1)=p(4 =1)P(7 =1)得 p=L22.22设随机变量彳与独立，且P C=l)=P(=l)=g,定义4=夕7，证 明 两 两 独 立，但不相互独立。证明 P(j=1)=P =1)P(=1)+P =-1)P(7 7 =-1)=-P(4=-D =P C=1)P(7 =-1)+P C=-1)P(7 =D =1因为 P(g =1,4 =1)=P C=1,7 =1)=!=pe =i)

27、PC =i)4P(4=-1)=P 抬=1，7 =-1)=7 p比=1)P4=-1)4P 房=-l,=D =P 化=-l,z；=-1)=7 P 记=-1)P =1)4p(4=-=-D=p e=-i,7=i)=l p 记=_ i)p(?=-i)4所以，看相互独立。同理与，相互独立。但是 p(g =1,7 =I)彳 p(g =1)P(7 =1)P =1),因 而 不 相 互 独 立。2.2 3设随机变量J与独立，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J +不服从均匀分(即不可能有P(g +?7 =A)=：,k=2,3、12。)证明 设P(百=k)=P k，P(r/=k)=qk,k=1,2,6。P C+

28、=2)=P1%=，(1)尸(J +=7)=p 闯6 +。2。5 +,.+。6名=(2)P+=12)=P6%=A(3)将(2)式减去(1)式，得：(P6 -P1M 1 0，于是P6 Pl。同理乳 /。因此。6“6 P M=与（3）式矛盾。2.2 4已知随机变量小的分布列为万1-442-1-2o1-47,求7?=1彳+2与4=cos J的分布歹h1jr 1 2乃I解分布歹U为尸(=2)=，尸(=2 +)=5，P(7=2+)=；C的分布列为P(，=i)=；，P(，=o)=g,P(，=I)=：。-2-1 0 1 3、2.2 5已知离散型随机变量J的分布列为j_ j_ _ i j_ fi,求=铲的分布列

29、。y7!z克克克2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1县 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 E L=(1+1+2 +2 +1 +2 +2 +3 +3 +1)=1.81 10塔 2 =(1 +1 +1+1 +2 +2 +2 +3 +3 +1)=1.7%=(1+1 +2 +3 +1 +2 +2 +3 +4 +1)=2所以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。2.3 3某个边长为5 0 0米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.4 9,10米的概率各是0.16,2 0米的概率各是0.08,3 0米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。解 设 场 地 面 积

30、为S米2 ,边 长 的 误 差 为4米，则S =C+500)2且垮=0 砥=2（1。2 x 0.16+2 02 x 0.08 +3 O2 x 0.05）=18 6所以 E S =E+500）2 =砥 +100（）塔+2 50000=2 5018 6（米2）2.3 4对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为2、必、小。试证发生故障的仪器数的数学乃+小+外。证令以=,1第i架仪器发生故障.，_0第i架仪器未发生故障 一 片 为发生故障的仪器数，则明=P&=1)=P i，i =1,2,3 ,所以 E J =E J +E 42+E&3=P +“3。2.37如果在15000件产品中有10

31、00件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，(1 0)1则7的分布列为J _ 14 ,因而?=-1。设J为查得的不合格品数，则J 5 15)15150 150&=,所 以 云=电=10。1=1 1=12.3 8 从数字0,1,，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设J为所选两个数字之差的绝对值，则P(J =A)=乡*W，A =1,2,，n +1、2于 是 心=巧k=n 攵 +1卜+1、一I 2 ,2 (+】)yn+22.3 9 把数字1,2,任意在排成一列，如果数字上恰好出现在第2个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解

32、 设 兵=PC=)存在，所以该级数绝对收敛。从而n=0E4=)=z x 尸=)=ZZP=)=之 D。n=l/=1/=1/=!n=i/=!o o(2)。彳存在，所以级数E J 2 =2 2 p c =w)也绝对收敛，从而=0D&=E 铲 +E 4-E&(E&+1)=(+1)P =)-+1)/l=l8 8 8=)-E&(E&+i)=)-E&(E&+1)n=l i=l/=1 n=i=2 /CN)-.(造+1).W=12.4 1 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p,试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为则P 1)=1,P n)=pn +qnl,n=2,

33、3,-(q=l-p)少0 0利用上题的结论，PKI)+XPCN)=I+E?PT+q-)n=2 n=2gp 4q p2 p+il-P l-7 P(l-P)2.4 2 从一个装有z个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.4 3 对一批产品进行检验，如果检查到第。件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第。件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是P，问平均每批要检查多少件？解 略。2.4 4 流水作业线上生产

34、出的每个产品为不合格品的概率p,当生产出火个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设 第 个 不 合 格 出 现 后 到 第i个不合格品出现时的产品数为i =l,2,k.又在两次检修之间产 品 总 数 为 则“点./=|因白独立同分布，P .=)=/，=1,2,(q=l-p),由此得:0CE,=E jq六 1J-1 _ 1 2P ,第 2P,不 十 2.46设随机变量J与独立，且方差存在，则有。(勿)=。，。7 7 +(4)2。+。/任 神2(由此并可得。(切)证明 0(勿)=E铲2 _(后切)2=后产 2(EJ2(E)2=E$EIJ2-E铲(E 1)2+E片

35、出行-位任疗=E2D/J-(E/J)2=DD+(E g)?+O J .(ETJ)22.47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为4和 小(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在=攵(0 4&4 9)的条件下J的分布列。解 P=i r/=k)=i =0,l,9.(2)PC =i I =k)=g(i =0,l,i,9,i w%),=8=%)=()2.49在次贝努里试验中，事件A出现的概率为p,令1在第i次试验中A出现0在第i次试验中A不出现求在4+$+当=”04尸4)的条件下，;(0 z n)的分布列。解“2+3+以+)P&+/.+4)P =O l

36、g+刍+4 =r)=尸 =1域+幺+媒=r)=1_。=二。n n2.5 0设 随 机 变 量 分 相 互 独 立，分别服从参数为乙与4 2的普哇松分布，试证:(n4n-kP&=k l+蜃=小=1认4+%)4 +证明尸&=+$=)=等含甥/十父 一)P=k)P2=n-k)-+4=)由普哇松分布的可加性知乙+另服从参数为 +几2的普哇松分布，所以 依=乂。+幺=)=k(n-k)(21+A2)1(4+乙)n2.5 1设 乙，基，耳为r个相互独立随机变量，且多(IWi Wr)服从同一儿何分布，即有P(。=k)=qpi ,k=1,2,(1 W 尸),其 中q=1-p。试证明在。+42+a=的条件下，&b

37、 ，4)的分布是均匀分布，即尸&=”看其中 n+n2 H-nr=n.证明 尸合=”一4=，+或+g,=脩=%,=I/+-+1=)P&+,=”)=P&=，女=%)p&+媒=”)由于，&2,，4,相互独立且服从同一几何分布，所以%+4+=)=E(fR p L)I+/=f=&=l,2n-1、qpr从而 P(。*臂+2+/=)=q p i-i j r一 n-r第三章连续型随机变量3.1设随机变数J的分布函数为尸(x),试以尸(x)表示下列概率:(1)PC=);(2)P a)解：(1)PC=a)=E(a+O)E(a)；(2)P(a)=l-F(a)；(4)P-a)=l-尸(a +0)。3.2函数尸(x)=

38、是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果1 +x(1)-0 0 X 00(2)0 x o o ,在其它场合适当定义；(3)-o o x 0,在其它场合适当定义。解：(1)R(x)在(-0 0,0 0)内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；(2)斤(x)在(0,o o)内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;(3)F(x)在(-8,0)内单调上升、连续且尸(-8,0),若定义 F(x)oo x 0则户(X)可以是某一随机变量的分布函数。3.3 函数si n x是不是某个随机变数J的分布密度？如果J的取值范围为JI 3(1)0,-；(2)(3)0,-o2 2K解：(1)当x e 0,工

39、时，si n x N O且 si n x d x=l,所以si n x可以是某个随机变量的分布密度；2(2)因为si n x d x=2 W 1,所以si n x不是随机变量的分布密度；3(3)当X E 乃,一 时，si n x 0,所以si n x不是随机变量的分布密度。23.4 设 随 机 变 数J具 有 对 称 的 分 布 密 度 函 数p(x),即p(x)=p(-x),证 明：对 任 意 的 0,有(1)1 代F(-a)=1 -F(a)=-1 p(x)dx；(2)P (团 a)=2 1尸。证：(1)F(-a)=P p(x)dx=1 -f p(x)dx=l+p(-x)dx=1-p(x)d

40、x-1 -F(a)=1 -p(x)dx-j p(x)dx=g -f p(x)dx；(2)尸(|同 a)=l-P(忸 0是两个常数，且。+8=1。证明尸(x)=a f；(x)+bB(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为月(x)与F2(x)都是分布函数，当/时，片(西)夫 ()，F2(xt)F2(x2),于是尸(X )=*(x,)+此(X)-mo c F(x)=XlT-iOmC a Ft(x)+b F2(x)=0XlTi m8 F(x)=.Ul-m0 0 a F(x)+b F2(x)=a +b=1F(x-O)=a Ft(x-0)+b F2(x-0)=

41、*(x)+b F2(x)=F(x)所以，F(x)也是分布函数。取a =b=!，又令2这时0川)=x 00 x 0工(x)=x 0 x 10E V、i +XE(x)=1x 00 x 1显然，与尸(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故尸(X)不是离散型的，而尸(X)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6 设随机变数J的分布函数为尸。)=l-(l+x)e-x0 x0 x 0PW=0 x02P(1)=F(1)=1 e3.7 设随机变数J的分布函数为0F(x)=A x21x00 x 1求常数A及密度函数。解：因为F(l 0)=F(l),所以A=l,密度函数为P(x)=2x 0 x l0其它3

42、.8 随机变数J的分布函数为/(x)=4+Barcfgx,求常数A与B及相应的密度函数。7T解：因为 lim 尸(x)=4+B(一一)=0X f-0 0 2TTlim F(x)=A+B =1X T+0 0 2所以因而/(x)=1+a rc tg x,p(x)=Ff(x)=2 TV 万(1+x)3.9已知随机变数J的分布函数为xp(x)=2-x00 x 11 x 2其它(1)求相应的分布函数/(x)；(2)求 P 1.3),尸(0.2 J 1.2)。x 00解:0 x l-ll x 2P(&1.3)=1 尸4 1.3)=1 尸(1.3)=0.245尸(0.2 J 1.2)=/(1.2)F(0.2

43、)=0.663.10确定下列函数中的常数A,使该函数成为一元分布的密度函数。(1)(2)p(x)-Ae ；p(x)=Acosx、0冗，,7 1-X 2 2其它Ax2l x 2(3)p(x)=二 Ax02 x 3其它解：(1)4/3公=2 4,6 7公=24=嘶 以4=3；7 T K (2)A cos xdx=2/1 cos xdx-2 A-,所以 A=;2 2fi.fi 29 6(3)Axdx+f Axdx-A=1,所以 A=J 上 6 293.1 2在半径为R,球心为0的球内任取一点P,求J=o P的分布函数。解：当时尸(x)=/%)=4衣334派33所以x 00 x R3.13某城市每天用

44、电量不超过一百万度，以J表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为,、12x(1-x)2 0 x 0.8)=f 12x(1-x)2Jx=0.02721).8P延 0.9)=1 12x(1-x)2dx=0.0037因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.00373.14 设随机变数J服 从(0,5)上的均匀分布，求方程4x2+4 夕+4+2=0有实根的概率。解：当且仅当(4)2-16(+2)0(1)成立时，方程4/+4夕+J+2=0有实根。不 等 式(1)的解为：J N 2或4 4 1。因此，该

45、方程有实根的概率p=P(短 2)+摩 250)=P(1.43)=。工;0 3 3)=(L43)x 0.9236；/八 匕 、八/x J 300 x(2)P(a-x J a+x)=P(-0.935 35 35即X0()0.95所以 1.6535即x 57.753.18设(x)为N(0,l)分布的分布函数，证明当x 0时，有1 Vl 1 Tl i j=e 2.1 -O(x)7=e 2(-)q2兀 x x x1 俨3一 1 俨-2-证：1 -(x)=1 ,=(e 2 dy =.e 2 dyy 27rJ 2 人所以1 -1 1 1 1=e 2.-l-O(x)=e 2(-)ox J 2 乃 x x3.2

46、1证明：二元函数1F(X,y)/x+y 0 x+y 0,若x+y 0,由于x +Ar+y 0,所以F(x,y)=/(+A x,y)=1,若 x +y WO,则尸(x,y)=0。当 x +Z k x+y4O 时，F(x+Ax,y)=0；当 x +A c+y 0 时，F(x+A x,y)=1 所以 F(x,y)0 时，l i m F(x-A x,y)=l i m F(x,y -A y)=1 =F(x,y),AtlO AylO所以F(x,y)对x、y左连续。(3)F(oo,y)=F(x,oo)=0 ,F(+oo,+oo)=0 o(4)P(0 2,0 7 2)=F(2,2)-F(2,0)-所以F(x,

47、y)不是一个分布函数。3.2 3 设二维随机变数的密度1 ,、/、-s i n(x+y)P(x,y)=j20求(,？)的分布函数。IT TT解：当O V xW ,时，2 2F(x,y)=P x9/y)=f+s)dsdt-F(0,2)+F(0,0)=-l,TT TT0 x-,0y-2 2其它s i nx +s i n y-s i n(x 4-y),所以0g s i n x +s i n y-s i n(x +y)1 z.,、”,、(s i n x +1 -cos x)尸(x,y)=j2(1 +s i n y-cos y)13.2 4 设二维随机变数C，)的联合密度为kP(x,y)=(1)求常数k

48、：(2)求相应的分布函数；(3)求尸(0 1,0 2)。解：(1)ke-3 x-4ydxdy =e-i xdx=所以&=1 2；(x 0)u(y 0)八 710 x-,0y-2 2c 乃 乃0 x 一2 2x-,0y ,y 2-2e-3i%0,y 00 其它k1 2 1(2)x0,y 0时,F(x,y)=1 1 2/-48力杰=1 2(f U 力)(e-4%s)=(l e-3*)(l _ eVv),所以尸(x,y)=(1-*3)(1 一 e)xO,y00其它(3)F(0 1,0 7 2)=1(1,2)-=(0,2)-尸(1,0)+尸(0,0)3.2 5设二维随机变数C，）有密度函数Ap(x,y

49、)=储（1 6 +/）（25+/）求常数A及（4）的密度函数。L L P(x，/d x d yA解:2(1 6 +/)(25+严dxdy4 A dx dy _ A _1P-1 6 +x2 25+/-与 一所以，A =2 0；Fx,y)=p(t,s)dtdsf兀-J-CO J-00dtds(1 6 +产)(25+.1)4(f 4(f 47i-L 1 6 +广 25+.VL (arctg +)(arctg +)7T2 4 2 5 23.2 6设二维随机变数,）的密度函数为p(x,y)=4xy 0 x 1,0 y 10其它求（1）尸（o g g,；7 7 i）；（2）p e=）；（3）p e ）；（

50、4）p e ）。解:(1)P(0 J ；,：1)=J 4x ydx dy=4 2 x dx J y dy =:;Z 4 4 4 P记=)=x y d x d y=0;x=y(3)尸(4 7)=J pJ i ydx dy=j 1 4xy dy dx=1 2(尤-x2)dx=;xy2(4)P(j)=；3.2 8设何/)的密度函数为P(x,y)=求。与中至少有一个小于;的概率。解：1-202-,0X-o其它=1-T f P(x,y)dxdy=1-(f-dxdy=f2 2 2 2 2 83.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以4 和7 7 表示这两个组件的寿命(以小时计)，设(或外的分布函数为F