《概率论与数理统计》习题三答案.pdf

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1、概率论与数理统计习题及答案习题三习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：YX00123013002.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取4 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：YX0010230102P(0 黑,2 红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 sin xsin y,0 x,0 y F（x，y）=22其他.0,求二维随机变量（X，Y）

2、在长方形域0 x,y 内的概率.4 63【解】【解】如图P0 X ,Y 公式(3.2)4 63题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度Ae e(3x4y),x 0,y 0,f（x，y）=0,其他.求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X1，0Y2.【解】【解】（1）由f(x,y)dxdy 00Ae-(3x4y)dxdy A112得A=12（2）由定义，有(3)P0 X 1,0 Y 25.设随机变量（X，Y）的概率密度为k(6 x y),0 x 2,2 y 4,f（x，y）=其他.0,（1）确定常数 k；（2）求PX1，Y3；（3

3、）求PX1.5；（4）求PX+Y4.【解】【解】（1）由性质有18故R 1（2）PX 1,Y 3(3)PX 1.53f(x,y)dydxx1.5f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyD1(4)PX Y 4X Y4f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyD2题 5 图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为5e e5y,y 0,fY（y）=0,其他.求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX.题 6 图【解】【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为而所以(2)P(Y X)yxf(x,y)dxdy如图25e

4、5ydxdyD7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为(1e e4x)(1e e2y),x 0,y 0,F（x，y）=其他.0,求（X，Y）的联合分布密度.2F(x,y)8e(4x2y),x 0,y 0,【解】【解】f(x,y)xy0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为4.8y(2 x),0 x 1,0 y x,f（x，y）=其他.0,求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dy题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 e ey,0 x y,f（x，y）=其他其他.0,求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dy题 10 图10.设二维随

5、机变量（X，Y）的概率密度为cx2y,x2 y 1,f（x，y）=其他其他.0,（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】【解】（1）f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD得c 21.4(2)fX(x)f(x,y)dy11.设随机变量（X，Y）的概率密度为1,y x,0 x 1,f（x，y）=其他其他.0,求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.题 11 图【解】【解】fX(x)f(x,y)dy所以12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的

6、联合分布律如下表XY345120300(2)因PX 1 PY 36161 PX 1,Y 3,101010010故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.15 0.30 0.350.80.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】【解】（1）X和Y的边缘分布如下表8YX25PY=yi0.80.40.150.300.350.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因PX 2 PY 0.4 0.20.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立

7、的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为1 e ey/2,fY（y）=20,（1）求X和Y的联合概率密度；y 0,其他.（2）设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.y121,0 x 1,e,y 1,【解】【解】（1）因fX(x)fY(y)20,其他;0,其他.21y/2e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)20,0 x 1,y 0,其他.题 14 图(2)方程a22XaY 0有实根的条件是故X2Y，从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为1000,x 1000

8、,f（x）=x2其他.0,求Z=X/Y的概率密度.X zY【解】如图,Z的分布函数FZ(z)PZ z P(1)当z0 时，FZ(z)0（2）当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.mnm,0 m n,n 0,1,2,【解】【解】(1)PY m|X n Cmnp(1 p).(2)PX n,Y m PX n PY m|X n2 124.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X0.30.7，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量

9、U=X+Y的概率密度g(u).【解】【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有因为X，Y相互独立，所以1推得PmaxX,Y1.926.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为XY?1 0 1?1a 0 0.20.1b 0.20 0.1c01其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=?0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）PX=Z.

10、解解 (1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由E(X)0.2，可得ac0.1.PX0,Y0ab0.10.5,PX0ab0.5再由PY0 X0得ab0.3.解以上关于a，b，c的三个方程得a0.2,b0.1,c0.1.(2)Z的可能取值为?2，?1，0，1，2，PZ2PX1,Y10.2，PZ1PX1,Y0 PX0,Y10.1，PZ0PX1,Y1PX0,Y0 PX1,Y10.3，PZ1PX1,Y0 PX0,Y10.3，PZ2PX1,Y10.1，即Z的概率分布为ZP?2?1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3)PX Z PY 0 0.1b0.2 0.10.10.2 0.4.