五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题5导数解答题(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题5导数解答题一、解答题1.(20 22高考北京卷第 20 题)已知函数f(x)=e l n(l +x).(1)求曲线y =fx)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)设 g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意 5,f G (0,4-0 0),有/1($+/)f(s)+/).【答案】解析:(1)因为/(x)=e 1 n(l +x),所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e(l n(l +x)+J-),切线斜率k =fr(0)=1切线方程为：了=%1 2 1 因为 g(x)=r(x)=

2、e*(l n(l +x)+),所以 g(x)=e(l n(l+)+：；-五),1 +x1 +x (1 +%)令(x)=l n(l +x)+-1,则 l(x)=-二+二=X +0 ,1 +x (1 +x)2 1 +龙(1 +x)2(1 +尤 甘(1 +x)3A h(x)在 0,+o o)上单调递增，/(x)2 (0)=1 0 ,g，(x)0 在 0,+8)上恒成立，.g(x)0,+8)上单调递增.(3)原不等式等价于f(s+0一/(5)/-/(0),令 m(x)=/(%+，)-/(x),(x,t 0),即证，(无)加(0),*.*m(x)=/(x+Z)-/(x)=ex+,l n(l +x+r)-

3、ev l n(l +x),ex+,evmf(x)=ev+,l n(l +x +Z)H-er l n(l +x)-=g(x+f)-g(x),1+x+f 1+x由(2)知 g(x)=/(x)=e*(l n(l +x)+E)在 0,+o o)上单调递增，g(x +，)g(x),A m(x)0.皿x)在(O,+8)上单调递增，又因为x/0,m(x)加(0),所以命题得证.【题目栏目】导数导数的应用导数与函数的单调性导数与函数单调性的联系【题目来源】20 22高考北 京 卷 第 20 题2.(20 22年浙江省高考数学试题 第 22题)设函数f(X)=+n x(x 0).l x(1)求/5)的单调区间；

4、(2)已知a,b e R,曲线y =/(x)上不同的三点(百,/(玉),(，/(工2)，(3，/(工 3)处的切线都经过点(a,b).证明：若&e,则 0 f(a)2 一 小2 e-a 1 1 2(ii)若 0 v a e,$v%3，则+/-1-0,故/(x)的减区间为0,/(X)的增区间为5,+81 2/(2)(i )因为过(。1)有三条不同的切线，设切点为(冷/(七)7=1,2,3,故“动一方=/&)&一 ，故方程 X)8 =r(x)(x a)有 3 个不同的根,该方程可整理为当 0 x a 时，g,x)0 ；当 e x 0,故g(x)在(),e),(a,M)上为减函数，在(e,。)上为增

5、函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,故(-l n e +/?01(e 2e2 f 7 2e a 2”2a整理得到：入 2e 4-l n 6 T=f(ci,2a,)此时 T (a)-盛-1 +l-信+l n“。1 3 e +=-I n a ,2e 2 2 2。3 e设(Q)=-I n a ,贝2 2ae-2a守(，3 e故4(a)为(e,+8)上的减函数，-l n e =0,i 0 h-f(a -l2 e(ii)当0 e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(O,a),(e,M)上为减函数，在(a,e)上为增函数,不妨设 x2 x3,则 0%a v 9 e W，因为g(x)有3个不同

6、的零点，故g(a)0,故ee-a)-l n e +0且7 2eea-I n +Z?0 ,7 2a整理得到：+1 Z?+l n a,2e 2e因为芭 /九3,故0 玉 a e 一 1t3 xl aa 1e要 证：2+ee-。11 2 e-a -6e-%x2 a 6e”D n c e-a 2e e-a,即证 2 H-4+g-6e a 6e即 证：13-/7 22-m丁即 证：13-m一丁2 1 -m+%+-m 60,即证-2（叫八m 36 根&+J）而一(m+1)4+t；+In Z j+Z?=0 且 一(加+1)方3 +t；+In G +/?=0,故In/_1鹏 +式 彳 _ g)_(/+)&_g

7、)=0,c 2 2 In L-In t.故 日 一 丁故 即 证：工小 心 岫 l,则”（女）k 1(M11 21 、k-21n攵 0k)，设(A)=&-21nA,则/(左)=1 +k2 2=0 即“(左)0,故0（左）在（L+OO）上为增函数，故夕（左）0（根）,旷以(4+l)lnA:(m-13)(zn2-zn+12)(m+l)lnm(m-13)(/n2-m+12)/7I 么-+-，I口k-l72m-172=In+(z n-l)(m-1 3)(/?22-m+7 2(w+l)1 2)-,0/7 0,所以切(m)在(0,1)为增函数，故以(以)y(l)=0,故 I n m+(?7-l)(w-1

8、3)(m2 一加+1 2)7 2(/n +l)/+1 2),m-7 2故原不等式得证.【题目栏目】导数导数的应用、导数与函数的单调性、导数与函数单调性的联系【题目来源】20 22年浙江省高考数学试题第22题3.(20 22年全国高考甲卷数学(文)第20题)已知函数/(幻=、3 7n*)=犬+，曲 线 产/)在 点 国/&)处的切线也是曲线y =g(x)的切线.(1)若 玉=-1,求a；(2)求a的取值范围.【答案】【答案】(1)3 -1,+8)【解析】由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,尸(X)=3_I,r)=3 1=2,则 y =/(x)在点(一 1,0)处的切线方程为 y =2(x+

9、l),即 y =2x+2,设该切线与 g(x)切于点(w，g*2),gQ Q Zx Jg缶X Zx LZ,解得=1,则g =l+a=2+2,解得a=3；/-(%)=3X2-1 ,则，=/。)在点(内./(%)处的切线方程为丁一(M一%)=(3片-。一毛)，整理得y =(3 6-1卜-2 M，设该切线与g(x)切于点(工2送(工2)，g (x)=2 x,则/(工2)=2，则切线方程为+。)=2%2(%_/)，整理得 y=2X2X-%2+Q，则(3 r2,整 理 得 =2%3=当2；-2 M*-9 c 3 c l 14*/z(x)=x4-2x3-x2+,则 hf(x)=9x3-6 x2-3 x=3

10、 x(3 x+l)(x-1),令 (x)0,解得一 一 x 1 ,令(x)0,解得或o x i,则x变化时，(x),(x)的变化情况如下表:X3卜 川0(0,1)1(i，e)(X)0+00+h(x)527/4-1/则hx的值域为卜1,母)，故。的取值范围为 7,+8).【题目栏目】导数导数的概念及运算 导数的几何意义【题目来源】2022年全国高考甲卷数学(文)第20题4.(2022新高考全国I I卷 第22题)已知函数/(%)=xeav-e(1)当。=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，/(x)l n(n+1)Vl2+1 V22+2 y/n2+n【答案】(l)x)的减区间为(3,0),

11、增区间为(0,+8).(2)a 4 1 (3)见解析2解析：当a=l时,/(x)=(x-l)ex,则r(x)=xe 当尤0时，0时，故/(X)的减区间为(8,0),增区间为(0,”).(2)设九(力=疣朵一e*+l,则(0)=0,又/(*)=(1 +0)6-6，设 g(x)=(l +ax)e“-e*,则 g,(x)=(2 +a2x)eav-e ,若a g,则g (O)=2a 1 0,因为g (x)为连续不间断函数，故存在玉)0,+8),使得Vx(O,Xo),总有g x)0,故g(x)在(0,不)为增函数，故g(x)g(O)=O,故(x)在(0,不)为增函数，故(x)(O)=T ,与题设矛盾.若

12、0 0,总有l n(l +x)x成立，1 _ y证明：设S(x)=l n(l+x)x,故S(x)=j-1 =0,故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)S(0)=0即l n(l+x)x成立.由上述不等式有eav+l n(1+av)-ev eax+ax-ex=e 2a-ev故(x)W O总成立，即(x)在(0,+o)上为减函数，所以/?()=-1 .当。4 0时，有=e a eA+axem 1 1 +0=0,所以(x)在(0,+00)上为减函数，所以/?()0,总有双夕_6*+1 1,=e,x=21 nt,I-C故2nr 产一1即21 nf 1对 任 意 的 恒 成 立.t所以对任意的e

13、N*，有21 nJ垣 J叵一/三，整理得到：l n(+l)-l n I n 2 I n 1 4-I n 3 I n 2+I n(+1)I n/?v l2+1 V22+2 l n2+n=l n(+l),故不等式成立.【题目栏目】导数导数的综合应用【题目来源】2022新高考全国I I卷 第22题5.(2022新高考全国I卷 第22题)已知函数/()=/-办 和g(x)=ax l nx有相同的最小值.求。；(2)证明：存在直线y =。，其与两条曲线y =/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)。=1(2)见解析解析：(1)/口)=1一办的定

14、义域为/?,而/(x)=e-a,若aV O,则/(x)0,此时/a)无最小值，故a 0.8(尤)=以一111尤的定义域为(0,+8),而g(x)=q-，=丝.当x lna时，/(力 lna时，f(x)0,故f(x)在(Ina,+0。)上为增函数，故/(x)m in =/0 n a)=a-a ln a.当0V工 工时-，g(x)-时，g(x)0,故g(x)在|一,+0 0上为增函数，a)故 gOOmin=a J a因为/(x)=e 一以和g(x)=以-1 n x有相同的最小值，1a-1故1 ln-=a a ln a,整理得到=l n af其中0,a 1 +。/、一 1 t/2 1 u 1 JC设

15、 g(a)=；-l n a,a 0,则 g()=-=-7TO-7 1 +a(1+a)a a(l+a)故g(a)为(，+8)上的减函数，而g(l)=0，故g(a)=O的唯一解为a=l,故 土0 =lna的解为a=l.综上，a=l.由 可 得/(x)=e，-x和g(x)=x Inx的最小值为1 lnl=l ln；=l.当。1时，考虑e*-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数.设S(x)=e_x_8,S(x)=e*_l,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数,所以5(4血=5(0)=0,S =e&-抄,设“(0)=e-其中Z?1,则M

16、(8)=e-2 0,故 在(1,+co)上为增函数，故 (l)=e-2 0,故S 0,故S(x)=e-x b有两个不同的零点，即e x=匕的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-/?,F(x)=-,当0 x l时，F(x)l时，F(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,物)上为增函数，所以 T(x L=T(l)=l 0,T(e)=e-2b0,T(x)=x-In x-b有两个不同的零点即x lnx=8的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得x-lnx=/?、e、一x=仅有一个零点，当方1.设/?(x)=e*+ln x-2 x,其中 x (),故(x)=e+-2,X设s(x)=e*-

17、x-l,x0，则s(x)=e*-l0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，故 s(x)s(O)=O即 e*x+l，所以 (x)犬+-122-1 0,所以/z(x)在(0,+)上为增函数，而以l)=e-2(),X(3)=e/-3 g v e 3一 餐 。，故/z(x)在(0,+8)上有且只有一个零点与，1 且：当0 x /时,/(%)0 即 e -x x-l n x 即/(x)/时,力(%)0即eA 一%x-l n x 即 f(x)g(x),因此若存在直线y=与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故=f(，)=g(x o)l,此时此一x =力有两个不同的零点飞,飞(占0玉),此时x

18、l n x =b 有两个不同的零点/，工 4(%)1 1,故 xn-x,-b，即 玉+%=2%0.玉=x0 b【题目栏目】导数 导数的应用 导数与函数的单调性 含参函数的单调性问题【题目来源】2 0 2 2 新高考全国I 卷 第 2 2 题6.(2 0 2 1 年高考浙江卷第2 2 题)设a,b为实数，且函数 x)=-f e r +e 2(x e R)求函数 x)的单调区间；(2)若对任意 2/，函数“X)有两个不同的零点，求 a的取值范围;当a =e 时，证明：对任意b e 4,函数 x)有两个不同的零点.马，满 足 马 翳 玉+彳.(注：e =2.71 82 8是自然对数的底数)【答案】小

19、 时，小)在 R上单调递增；时,函数的单调减区间为(-8,嗨舟单调增区间为,+8(1日；(3)证明见解析.解析：/(%)=ax-bx+e1,f(x)=I n a -,若6 40,则f(x)=a*lna-g0,所以/(x)在/?上单调递增;若A 0,当时，/(x)0 J(x)单调递增.综上可得，0W 0时，/(x)在R上单调递增；。时，函数的单调减区间为fv，l o g“3 ,单调增区间为1 1。8“二，+8.n a J v in a)/(x)有2个不同零点o,-云+/=0有2个不同解=*n a _h x +e2=()有2个不同的解,令，=x l n a,则/一包 +2 =o=-=+e,r 0

20、,I n a I n a t记.,e +e2.M(f-l)-e 2叱 g )=,g =-p-=不-t己一e?,)=e (r-l)+e l =e ，0 又/?(2)=0,所以 f w(0,2)时，h(t)0 ,则g 在(0,2)单调递减，(2*)单调递增，；.38(2)=62,.，“2e 2,:.n a a?,X|x2V 2注意到函数y=在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,内)上单调递增,X/4-W +j 2+2/故玉2，又由-J 知为 5,b=-%-9 只曲 岳A H-,2e h b人=幺PX-工+/丝2e*-且 关 于b的函数g(b)=ln+之?2在 上 单 调 递 增,X?“2 b2*

21、/所以只需证x2 In-卜2 T (“2 5),只需证Ine?-I n-0,2涉只需证 Inx-2 In2 0,z 2 4xv 5时为正，2 e”由于 h(x)=-+4xe x-4e x=-+4e x(x-l)0 f 故函数力(力单调递增，又力(5)=ln5-，-ln2=ln1-2 0,故 h(x)=l n x-l n 2 x 5 时为正,e 2 e e从而题中的不等式得证.【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2021年高考浙江卷第22题7.(2021年新高考全国H卷 第22题)已知函数以x)=(x-i)ex-cix2+b.讨 论 了(幻的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：有

22、一个零点Ie2 a 2a；2 2 0 a -,b 2 a.2【答案】已知函数/4工-口/-加+人(1)讨论了(%)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(%)有一个零点1 e2 -a 2a；2 2 0 a ,h2a.2【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2021年新高考全国II卷 第22题8.(2021年新高考I卷 第22题)已知函数x)=x(l-ln x).讨 论“X)的单调性;(2)设。，方为两个不相等的正数，S.b n a-an b=a-b ,证明：2 -+i 0 ,当x e(l,+o o)时，/(%)0 ,故 力 的递增区间为(0/)，递减区间为(1，+8).因为从

23、n a a ln 6=a b,故 如 n a +l)=a(ln l),即 电 詈1 =*1，故=设，由(1)可知不妨设。%1.a b因为x e(0,l)时，/(x)=x(l-In x)0 ,x e(e,+o o)时，/(x)=x(l-ln x)0 ,故 1%2 ,若22,玉+2必成立.若 2,即证为2-莅，而0 2-赴 /(2-)，即证：/()/(2-%2),其中设 g(x)=f (x)-/(2-x),l x 2 ,贝l j g (x)=/(x)+f(2-x)=-In x-In(2-x)=-In x(2-x),因为 1 c x 2,故0 x(2-x)0,所以g (x)0,故g(x)在(1,2)

24、为增函数，所以g(x)g =0,故 x)f(2-x),即成立，所以演+W 2成立，综上，占+七 2成立.设W=%,则/1,结合 M+l=电”,_ =%,：=占可得：xl(l-ln xl)=x2(l-ln x2),a b a b即：l -ln%,故In%=l T l n f,/1要证：xt+x2 e,即证(f+l)X 1 e,即证ln(f+l)+ln X I 1 ,即证：皿 +1)+1-*1,即证：(Z-i)in(/+l)-/ln r l,则 S(f)=ln(r+l)+q j _ l _ l n r =ln l+,先证明一个不等式：ln（x +l）W x.设（x）=ln（x +l）-x ,则=1

25、 =,X+l X+1当一 I v x v O 时，wr（x）0 ；当 x 0 时，/（力0,故“”在（TO）上为增函数，在（0,+8）上为减函数，故（肛皿=（。）=0,故 ln（x +l）=成立由上述不等式可得当，1 时，故 S 0 恒成立，故 S（f）在（1,+8）上为减函数，故S（r）S（l）=O,故。-1）1 1 1（/+1）-八 1 1，0 成立，即演+e 成立.综上所述，2-+-e.a b【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】2 0 2 1 年新高考I 卷 第 2 2 题9.（2 0 2 1 年全国高考乙卷文科第2 1 题）已知函数/（为=/一%2+初+.讨 论 了（X）的单调

26、性；（2）求曲线y =/（X）过坐标原点的切线与曲线 =/（X）的公共点的坐标.【答案】（1）答案见解析；（2）解析：（1）由函数的解析式可得：/（%）=3-2元+。,导函数的判别式A =41 2 a,当 =时，/（x）N O,/（x）在 R 上单调递增,当 A =4 -12cl 0,Q 一时,3/（x）=0 的解为：西=2一,一1 2。，=2 +，：-1 2。，,(2-1 2 a l当 X -0 0,-r（x）o,/（x）单调递增;当X 三乒I,心穿11时，r（x）o,x）单调递减;o6当X E2 +j4-1 2 a6、+8时,r（x）o,/（x）单调递增;7综上可得：当aN；时，“X)在

27、R上单调递增,当“0,函数f(x)=ax-xe*.求曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程：(I I)证明“X)存在唯一的极值点(川)若存在a,使得/(X)4 a+b 对任意x eR成立，求实数b的取值范围.【答案】y=(a l)x,(a 0)；(I I)证明见解析；(H l)-e,+o o)解析：/(x)=a(x+l)/,则/(0)=。-1,又/(0)=0,则切线方程为y=(a-l)x,(a 0)(I I)令 fr(x)=a-(x+i)ex=0,则。=(九 +V)ex 9令 g(x)=(尤 +)ex,则 g x)=(x+2)eK,当 xe(f o,-2)时，g (x)0,g(x)单调

28、递增,当x-o c 时，g(x)0,画出 g(x)大致图像如下：所以当a 0 时,令 g(m)=a,则机-1,f(m)=a-g(m)=0,y=。与丁=g(%)仅有一个交点,当x e(-O O,时，a g(x),则/z(x)0,/(x)单调递增，当x e(加,+8)时，a g(x),则 f(x)T)，令/?(x)=(X?x1)e ,(x 1),若存在a,使得f&a+b对任意x e R成立,等价于存在x e (一 1,小)，使得h(x)W 人，即力N /z(x)m i,h(x)=(x2+x-2)e*=(x-l)(x+2)ex,x -l,当x e(-1,1)时，h(x)0,7/(x)单调递增，所以力

29、(x)m i“=/=-e,故)N-e,所以实数b的取值范围 一 d+s).【题目栏目】导数 导数的应用、导数与函数的极值 具体函数的极值问题【题目来源】2 02 1高考天津第 2 0题11.（2 02 1年高考全国甲卷文科第2 0题）设函数/（幻=。2/+以一3 i n x+l ,其中。0.讨 论/（x）的单调性；（2）若 y=/（x）的图像与x 轴没有公共点，求。的取值范围.【答案】/的减区间为（0,：），增区间为（:收；（2）a J解析：（1）函 数 定 义 域 为（0,+）,又 八%）=（2.+3）（仁1）,X因为a 0,x 0,故2 G:+3 0,当0 时，/（X）：时，/（X）0；所

30、以/（X）的减区间为（0,增区间为（：,+8（2）因为/（1）=。2+。+1 0 且 y=/（x）的图与X轴没有公共点，所以y=/G）的图象在x 轴的上方，由中函数的单调性可得/（x）m i n =/（5）=3-3 1n;=3 +3 1n a,故 3+3 1 n a 0 即e【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.【题目栏目】导数、导数的综合应用【题目来源】2 02 1年高考全国甲卷文科第2 0题12.（2 02 0年高考课标H 卷 文 科 第 2 1题）已知函数/（x）=2 l n x+L（1

31、）若/（x）V 2 x+c,求 c 的取值范围；（2）设。0时，讨论函数g（x）=/（*）一/（”）单调性.x-a【答案】（2）g（x）在区间（0,）和3,”）上单调递减，没有递增区间【解析】（1）函数/（幻 的定义域为：（0,+8）f（x）/（x）-2 x-c 2 1n x-+-l-2 x-c 0),则有 (x)=-2 -.,x x当x l时，(x)0,(x)单调递减，当0 x 0,(x)单调递增，所以当x=l 时，函数所以有最大值,即 (x)m a x=内=2 1n l +l-2 x l-c =-l-c,要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，只需(X)m a x -l-C c -l ;,

32、、，、2 1n x+l-(2 1n a-l)2(l n x In a)z 八1 m(2)g(x)=-=-(%0 且 1 r。)因此x a x a、2(x-a-xl n x+xl n a),、”,g(x)=-j-,设mx)=2(x-a -xl n x+xl n a),x(x-a)则有 m(x)=2(l n a -In x),当时，l n x l n a,所以加(x)0,%(x)单调递减，因此有机(工)m 3)=0,即g(x)0,所以g(x)单调递减;当 0 x a 时，l n x 0,单调递增，因此有/(x)/n(a)=0,即 g(x)0,所以g(x)单调递减，所以函数g(x)在区间(0,。)和

33、(a,内)上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.【题目栏目】导数、导数的综合应用【题目来源】2 02 0年高考课标II卷 文 科 第 2 1题1 3.(2 02 0年高考课标III卷 文 科 第 2 0题)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(X)有三个零点，求攵 取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)(0,三4).【解析】(1)由题，f x)=3x2-k,当攵SO 时，/(x)N O 恒成立，所以“X)在(F,+8)上单调递增;当攵0时，令f x)=0,

34、得 X=土 木,令/（尤）0,得-g x g,令/(x)0,得 x J：或 x，所以/(x)在(嗡*)上 单 调 递 减，在(-OO,-1),(Jg,+8)上单调递增 由 知，/X x)有三个零点，则攵 0,且，喑。4解得0%0.x设 g(x)=f M，则 g(x)=aex+0,X g(x)在(0,+8)上单调递增，即fx)在(0,+8)上单调递增，当 a=1 时，八1)=0,/(力“而=/(1)=1,.：“X)21 成立.1111-1当。1 时，-1，.7 1，./(,)/)=(*一 1)3 1)0，使 得/(Xo)=a e -1 =0,且当xe(O,X0)时r(x)0,/.cte =一,/

35、.Intz4-xo-l =-ln xo,xo因此/(x)min=/(尤0)=-In/+In a-F In a+尤0-1+lnaN 2 In。-1 +2 1 ,%。=2 In Q+1 1,%Vxo恒成立；当0 a l 时，/(l)=a+ln a a l,；./(l)1 等价于e a+x +I n a+x-l I n x+x=e m+I n x,令 g(x)=ex+x,上述不等式等价于 g (I n a+x-)g (in x),显然g(x)为单调增函数，.又 等价于/R+X1N/HX，即/加/2配CX+1,令 M x)=/n x-x+l,则/(x)=1 =在(0,1)上=&0方6)单调递增;在(1

36、,+8)上X XW (x)0,即a 21,，a的取值范围是 1,+8).【题目栏目】【题目来源】2 02 0年新高考全国I 卷(山东)第 2 1题15.(2 02 0年新高考全国卷II数学(海南)第 2 2 题)已知函数/(x)=a e*T-l n x+l n a.(1)当a=e 时，求曲线y=/(x)在点(1,7(D)处 切线与两坐标轴围成的三角形的面积：(2)若/(x)2 1,求。的取值范围.2【答案】1,+8)e-1解析：(l)Q/(x)=e*l n x+l,:.f x)ex-,=xQ/X D =e+l,.切点坐标为(:1,1+e),二函数 f(x)在点(1/(1)处的切线方程为 y-e

37、-l =(e-l)(x-1),即 y=(e-l)x+2,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),e-11 -?2所求三角形面积为一x 2 x|1=；2 e-1 e-1(2)解法一：Q f(x)=aexx-n x+l n a,尸(x)=四 J 一,，且。0 .x设 g(x)=/(X),则 g (x)=ae T +4 0,x：.g(x)在(0,+8)上单调递增，即/(X)在(0,+oo)上单调递增，当。=1 时，/=0,，/Wm/=/(l)=1,.：/(X)N1 成立.111 1-1当。1 时，-一 1，.(一)/=。侬，-l)(a-l)0,1.存在唯一 X。0，使得 了 (X。)=a

38、e0,且当尤e(0,x()时/(x)0,：.aeXu =,.1.I n a+x0-1=-I n x0,因此/(无口汨=/(/)=a e E-I n/+l n axo=+I n 6 r +xo-14-l n 6 r 2 1n 1+2 /-x0=2l n a+l i,X。V O.：/(%)1,2 1 恒成立;当 0 a l 时，/(l)=a+l n a a l,；./(l)1 等价于el m+x +I n a+x-I n x+x=el m+I n x,令 g(x)=e*+x,上述不等式等价于g(l n a+x-)g(阮r),显然g(x)为单调增函数，又等价于/w+x 1 2%:，即 以 2mr-x

39、+l,令 (x)=/n x-x+l，则1()=1=-X X在(0,1)上h (x)0,h幻单调递增；在(1,+8)上h (x)0,即a 2 1,；.a的取值范围是 1,+8).【题目栏目】【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国卷I I 数学(海南)第2 2 题16.(2 0 2 0 天津高考第2 0 题)已知函数/(x)=x3+-n x(%R),/(x)为/(幻的导函数.当 =6 时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1)处的切线方程；O(i i)求函数g (x)=/(x)二f(x)+的单调区间和极值；X(I I)当h.-3 时，求证：对任意的内，x2e l,+a),且 西 ，有八(尤2)占)

40、一3)【答案】【答案】(i)y=9x 8；(i i)g(x)的极小值为g =1,无极大值；(I 答证明见解析.【解析】(I)当氏=6 时，/(x)=?+6 l n x,/(X)=3X2+-.可得 1)=1,尸(1)=9,X所以曲线y=/(x)在点(1J )处的切线方程为y-l =9(x-l),即y=9x8.依题意，g(x)=d-3 x2+6 1n x+,xe(0,+oo).从而可得8(犬)=3/-61+色 一 ，整理可得：g (x)=3(x l)：(x+D ,令g (x)=O,解得x=l.当x变化时，g (x),g(x)的变化情况如下表：X(0,1)x=(1,+C O)g (x)0+g(x)单

41、调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,心)；g(x)的极小值为g(l)=l,无极大值.(I I)证明：由/5)=/+/:111彳，W/W =3 x2+-.X对任意的不，X2 e l,-K0),且 百 ，令 五=f(?1),贝IJ(菁 一%)(/(X)+/(%)_2(玉)_/(/)=(3 _)卜X；+3%2 +_2(工：_ W+n五=x：_石-3XX2+3X+k -j-2 I n =(r3-3 z2+3-1)+(一;-2 1n f令/z(x)=x-2 1n x,X G 1,-H).x当方 1 时，月*)=1+4 2=1-工 o,x x v x J由

42、此可得力(力在 1,依)单调递增，所 以 当 时，力(1),即l ；2 1n f 0.因为毛之1,r3-3 r+3 r-l =(-l)3 0,k-3,所以%2 3/+3,-1)+攵-2 In3 3t+3,-1)3(，-2 1n z j2 r 3 _=?一 3 +6 1n f+二 一 1.t由(I)(i i)可知，当，1 时，g(f)g(l),即尸 3*+6 h U+；l,故，一 3 产+6 111，+1 0 t由可得(芭-)(/()+/(A 2)-2(/()-/(x,)0.所以，当氏2-3 时，任意的x”2 w l,+oo),且 西 ，有/()+/(&)；西)一2Xj-x2【题目栏目】导数 导

43、数的综合应用【题目来源】20 20 天津高考第 20 题17.(20 20 北京高考 第 19 题)已知函数f(x)=12-X2.(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；(I I)设曲线y=/(%)在点(/,/(/)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求 s(t)的最小值.【答案】2x+y-13 =0,(11)3 2.【解析】(1)因为“*)三12-丁,所 以=-2x,设切点为(毛 2,则-2x 0=-2,即%=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程：J-H =-2(x-l),即2x+y 13 =0.(I I)显然踪 0,因为y=x)在点(口2-/)处的切线方程为

44、：=2f(x T),令x =0,得 尸 人 2,令 y=0,得所以s(/)=；xd+12).三 岑，2,t乙 N I，I不妨设r 0(f 0,得 f 2,由 S(f)0,得 0 f 0.3（1）当。=-二 时，求函数/（%）的单调区间；4（11）对任意工 ,+00）均有f（x）工,求”的取值范围.2a注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】【意图】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满 分15分。【解析】（I）当。=-7 时，f（X）=-712c+J1+X,X 0(/1+x-2)(2/1+x+1)4xVl+x所以，函数/（幻 的单调递减区间

45、为（。,3）,单调递增区间为(3,+oo)(H)由得0 凡 也2a 4当0 0,故q(x)在 5,；上单调递增，.,应*),以9,由(i)得 q(g)=P(g)=0 4(x)0，V x yj x由m)知对任意X 5,+),r e 12夜,+0 0),g(t).O,即对任意x e 5,40 0)，均有/(x)”手 ，综上所述，所求的“的取值范围是。，.【题目栏目】导数 导数的综合应用【题目来源】20 19年高考浙江文理第22题19.(20 19年高考天津文第20题)设函数/(x)=l n x-其中a w R.若。40,讨论了(x)的单调性；(2)若。%,证明3%-%2.【答案】【思路分析(1)】

46、f(x)=-aex+a(x-l)ex=,X G(0,+O O).X X时，f(x)0 ,即可得出函数f(x)在x e(0,+o)上单调性.(2)由可知：:J J,xe(0,y).X令g(X)=l-r 2 ,因为0 1时，lnxx-l./,(ln-)/(I)a可得函数/(x)在(%,+0 0),上存在唯一零点1.(i i)由题意可得:/(为)=0,小)=0,即 端e=l,lnx=a(西一1)，可 得*飞=文 华,西一1由x l,可得lnx%1,可得e&o,所以函数/(x)在xe(0,”)上单调递增.1 n r1 px 证 明：由(1)可知：f x)=,X G(0,+CO).X令8(X)二1一入%

47、因为0。0,且g(l/)=1 -双山I)2 =l-(ln-)2 0),h x)=-,x可得人(幻,=0,所以 1时,l n x x-l.c 1 1 1 I nl 11/(I n )=ln(ln)-a(ln l)e“=ln(ln )-(I n 1)/(l)=O.所以函数/(X)在+8)上存在唯一零点1.因 此 函 数 恰 有 两 个 零 点；G D 由题意可得：/缶)=0,/(占)=0,即 说 =1,I n 耳=a(X|-l)e*,所以I n玉=又 八-&,即-=史 上，因为可得lnx%1,故 e*1 但J)=*,取对数可得：内一与 2 山七 2.法二：(I I)证明：由知I,X令 g(犬)=1

48、 2 炉，由可知g(X)在(0,+8)内单调递减，e又 g(l)=l ae 0,且 g(ln1 )=l Q(ln-)12 =l (ln1)02 0,a a a a故 g(x)=0在(0,+oo)内有唯一解，从 而/*)=0在(0,3)内有唯一解，不妨设为/,则 l /=0 ,a x x所以/(x)在(0,%)内单调递增；当xe(%,+oo)时，1(%)=3幽2 =(),所以/0)在(x,+0 0)内单调递减，X X因此凡是/(幻的唯一极值点.令(x)=lnxx+1,则当尤1 时，/2(%)=1-1 l 时，(x)/(l)=0 ,所以 l n x x l,，一 1 1 1 In-1 1 1从而/

49、(I n)I n I n-(ln l)e =I n I n-I n +1 =/i(ln)/=0 ,所以f(x)在(x,+8)内有唯一零点，又/(x)在(0,%)内有唯一零点1,从而，/(幻在(0,+8)内恰有两个零点.(i i)由题意,八%)=0/(%,)=0即 l 时，l n x x l,又故-=x02,玉一1两边取对数，得 lne*L lnx0 2,于是玉-%2,【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【题目栏目】导数导数的综合应用【题目来源】2 0 1 9年高考天津文第 2 0

50、 题 2 0.(2 0 1 9年高考全国I I I 文 第 1 9题)已知/(x)=2/-加+2 .(1)讨论/(x)的单调性；(2)当0 v“0，贝 1 1 当 x e(-0 ；当工(0,攵 时，f x)0 .故 f(x)在(f 0),(/+8)上单调递增，在 呜)上 单 调 递 减；若 a =0 ,f(x)在(-,+)上单调递增；若 a 0 ；当*(段,0)时，(x)0 .故在(-8,殳，(o,+oo)上单调递增，在 q,0)上单调递减；(2)当0 a 3 时，由 知，x)在 呜)上 单 调 递 减，在 4，1)上单调递增，.J(x)在区间 0 ,1 1 的 最 小 值 为 吗)=吟+2，