高中数学圆锥曲线作业36解析118.pdf

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1、课时作业(三十六)1“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 2若直线 ykx1 与双曲线x24y291 有且只有一个公共点，则 k 的取值为()Ak102 Bk32 Ck102或 k32 Dk 答案 C 解析 将直线方程代入双曲线方程，得(94k2)x28kx400.当 94k20，即 k32时，直线与双曲线只有一个公共点；当 94k20，0 时，k102，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点 3若直线 ykx 与双曲线 4x2y216 相交，则实数 k 的取值范围为()A(2，2)B2，2)C(2

2、，2 D2，2 答案 A 4已知双曲线中心在原点，且一个焦点为 F(7，0)，直线 yx1 与其相交于 M，N 两点，MN 中点的横坐标为23，则此双曲线的方程是()A.x23y241 B.x24y231 C.x25y221 D.x22y251 答案 D 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 中点为 P(x0，y0)，则 x1x22x0，y1y22y0，将 x023，代入 yx1，可得 y053，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则x12a2y12b21，x22a2y22b21，两式相减并整理可得 y1y2x1x2b2a2x0y02b25a2，即 kMN2b25a2

3、1，所以b2a252.又 c2a2b27，所以解得 a22，b25.故双曲线方程为x22y251.故选 D.5已知双曲线方程为 x2y24，过点 A(3，1)作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，若点 A恰好为 MN 的中点，则直线 l 的方程为()Ay3x8 By3x8 Cy3x10 Dy3x10 答案 A 解析 设 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x12y124，x22y224，两式相减可得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.点 A(3，1)恰为线段 MN 的中点，6(x1x2)2(y1y2)0，y1y2x1x23，直线 l 的斜率为 3，直线 l

4、 的方程为 y13(x3)，即 3xy80.6已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个顶点分别为 A，B，点 P 为双曲线上除 A，B 外任意一点，且点 P 与点 A，B 连线的斜率分别为 k1，k2，若 k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx By 2x Cy 3x Dy2x 答案 C 7已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 2x，过其左焦点 F(3，0)作斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，则截得的弦长|AB|_ 答案 10 8已知双曲线 C：x2y241，过点 P(1，2)的直线 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上

5、述条件的直线 l 共有_条 答案 2 解析 过点 P(1，2)与双曲线 x2y241 有且只有一个公共点的直线有两条，其中一条直线垂直于 x 轴，另一条直线与渐近线 y2x 平行 9已知双曲线 3x2y23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长 解析 双曲线方程可化为 x2y231，故 a21，b23，c2a2b24，c2，F2(2，0)又直线 l 的倾斜角为 45，直线 l 的斜率 ktan 451，直线 l 的方程为 yx2，代入双曲线方程，得 2x24x70.设 A(x1，y1)，B(x2，

6、y2)，x1x2720.解得当 2k 2且 k1 时，双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点(2)设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 到 l 的距离为 h.x1x22k1k2，x1x221k2.SOAB12|AB|h 121k2|x1x2|11k212|x1x2|2，(x1x2)2(2 2)2，即2k1k2281k28.解得 k0 或 k62.又 2k 2，当 k0 或 k62时，AOB 的面积为 2.11双曲线x29y241 被点 P(2，1)平分的弦所在的直线方程是()A8x9y7 B8x9y25 C4x9y6 D不存在 答案 D 解析 点 P(2，1)为弦的中点，由双曲线的

7、对称性知，直线的斜率存在，设直线方程为 y1k(x2)，将 yk(x2)1 代入双曲线方程得(49k2)x29(2k4k2)x36k236k450，49k20，9(2k4k2)24(49k2)(36k236k45)，x1x29（2k4k2）49k24，解得 k89，代入判别式得 0，b0)与直线 y2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1，5)B(1，5)(5，)C(5，)D 5，)答案 C 解析 双曲线的过一、三象限的渐近线的斜率 kba，要使双曲线x2a2y2b21 和直线 y2x 有交点，只需满足ba2 即可，所以c2a2a2，所以e212，所以 e 5.14已知倾斜角为4的

8、直线 l 被双曲线 x24y260 截得的弦长|AB|8 2，则以 AB 为直径的圆的方程为_ 答案(x12)2(y3)232 或(x12)2(y3)232 解析 设直线 l 的方程为 yxb，由yxb，x24y260，得 3x28bx4b2600.令(8b)243(4b260)0，得 b245.则有 x1x28b3，x1x24b2603.8 2|AB|1k2|x1x2|264b294（4b260）3.解得 b28145，b9.当直线方程为 yx9 时，圆的方程为(x12)2(y3)232；当直线方程为 yx9 时，圆的方程为(x12)2(y3)232.15过双曲线 x2y24 的右焦点作直线

9、 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|4，则这样的直线可作_条；若|AB|5，这样的直线可作_条 答案 2 4 解析 通径长为 2b2a2424，又 2a4，若|AB|4，可作 2 条；若|AB|5，可作 4 条 16双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在双曲线上，且 x1x2.(1)若线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(4，0)，且线段 AB 的中点坐标为(x0，y0)，试求 x0的值；(2)双曲线上是否存在这样的点 A，B，使得 OAOB(O 为坐标原点)?解析(1)依题意得 y00.由 e 2知 ab.由 A(x1，y1)，B(

10、x2，y2)在双曲线上得 x12y12a2，x22y22a2.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为 x1x2，则 AB 所在直线的斜率 ky1y2x1x2，式两边同除以(x1x2)，得 kx1x2y1y2.由于x0 x1x22，y0y1y22，则 kx0y0.而 AB 的垂直平分线的方程为 yy01k(xx0)，即 yy0y0 x0(xx0)，将(4，0)代入，得y0y0 x0(4x0)，解得 x02.(2)方法一：由题意知，双曲线的渐近线方程为 yx.若 A，B 在双曲线同一支上，则 OA，OB 的夹角小于2；若 A，B 在双曲线不同支上，则 OA，OB 的夹角大于2.

11、综上可知，双曲线上不存在点 A，B，使得 OAOB.方法二：假设存在满足条件的点 A，B.设直线 OA 的方程为 ymx，则|m|1，所以直线 OB 与双曲线无交点，故点 B 不可能在双曲线上，所以假设不成立，即双曲线上不存在点 A，B，使得 OAOB.1已知双曲线x22y231 的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1的直线 l 与双曲线相交于 A，B两点，则满足|AB|3 2的直线 l 有()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 2 双曲线x24y21 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上，F1PF2的面积为 3，则PF1 PF2()A2 B.3 C2 D 3 答案 A

12、 解析 不妨设 P 在第一象限，设 P(x0，y0)，x00，y00，则 SF1PF212|F1F2|y0122 5y0 3.y035，代入双曲线方程得 x0425，P425，35，PF1 5425，35，PF25425，35.PF1PF23255352.3 设双曲线方程x2a2y2b21 以椭圆x225y291 长轴的两个端点为焦点，直线 xa2c过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为()A2 B43 C12 D34 答案 C 解析 椭圆的长轴端点为(5，0)，焦点为(4，0)，双曲线方程为x2a2y2b21，由题意可得 a2b225，a2c4，a220，b25.则双曲线渐近线的斜率 kba

13、12.4双曲线x28y241 的两条渐近线所夹锐角的正切值为_ 答案 2 2 解析 双曲线x28y241 的渐近线为 y22x.设 tan 22，则两条渐近线的夹角为 2.其正切值为 tan 222212222 2.5已知双曲线x216y2251 的左焦点为 F，点 P 为双曲线右支上的一点，且 PF 与圆 x2y216 相切于点 N，M 为线段 PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN|MO|_ 答案 1 解析 设 F是双曲线的右焦点，连接 PF，ON.因为 M，O 分别是 FP，FF的中点，所以|MO|12|PF|，又|FN|OF|2|ON|25，由双曲线的定义知|PF|PF|8，故|MN|

14、MO|MF|FN|12|PF|12(|PF|PF|)|FN|12851.6已知双曲线x24y21，求过点 P(3，1)，且被点 P 平分的双曲线的弦 AB 所在直线的方程 解析 设弦 AB 的两端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)则x124y124，x224y224，x1x26，y1y22.由化简，得y1y2x1x2x1x24（y1y2），由得y1y2x1x234，即直线 AB 的斜率为34.所以直线 AB 的方程为 y134(x3)，即 3x4y50.7已知双曲线x25y241 的左、右焦点分别为 F1，F2.若斜率为 2 的直线经过双曲线的右焦点 F2，且与双曲线相交于 A，B

15、两点(其中点 B 在 x 轴下方)，求 A，B 两点的坐标及|AB|.解析 双曲线的右焦点 F2的坐标为(3，0)则直线 AB 的方程为 y2(x3)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组y2（x3），x25y241，解得x15，y14，或x252，y21，因此 A(5，4)，B52，1，故|AB|（x2x1）2（y2y1）2 5252（14）25 52.8求过定点(0，1)的直线被双曲线 x2y241 截得的弦中点轨迹方程 解析 方法一：由题意知该直线的斜率存在，设直线的方程为 ykx1，它被双曲线截得的弦为 AB，对应的中点为 P(x，y)由ykx1，x2y241，得(4k2)x22kx50.(*)设方程(*)的解为 x1，x2，则 4k220(4k2)0.16k280，|k|5，且 k24，且 x1x22k4k2，x1x254k2.x12(x1x2)k4k2，y12(y1y2)k2(x1x2)144k2.由xk4k2，y44k2，得 4x2y2y0(y4 或 y1)方法二：设弦的两个端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点为 P(x，y)，则4x12y124，4x22y224，得 4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)y1y2x1x24（x1x2）y1y2，yx4xy1.即 4x2y2y0(y4 或 y1)