高中数学圆锥曲线作业35解析385.pdf

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1、课时作业(三十五)1【多选题】已知双曲线方程为 x28y232，则()A实轴长为 8 2 B虚轴长为 4 C焦距为 6 D离心率为3 24 答案 ABD 2若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A.x24y241 B.y24x241 C.y24x281 D.x28y241 答案 B 解析 由方程组a2，2a2b 22c，a2b2c2，得 a2，b2.双曲线的焦点在 y 轴上，双曲线的标准方程为y24x241.3设双曲线x2ay291 的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为()A4 B3 C2 D1 答案 A 4如果椭圆x2a2y

2、2b21(a0，b0)的离心率为32，那么双曲线x2a2y2b21 的离心率为()A.52 B.54 C.2 D2 答案 A 解析 由已知椭圆的离心率为32，得a2b2a234，a24b2.e2a2b2a25b24b254.双曲线的离心率 e52.5若 0ka，则双曲线x2a2k2y2b2k21 与x2a2y2b21 有()A相等的实轴长 B相等的虚轴长 C相同的焦点 D相同的渐近线 答案 C 解析 因为 0k0.又 b2k20，于是 c2(a2k2)(b2k2)a2b2.故选 C.6已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 10，点 P(2，1)在双曲线 C 的渐近线上，则双

3、曲线 C 的方程为()A.x220y251 B.x25y2201 C.x280y2201 D.x220y2801 答案 A 解析 因为双曲线 C 的焦距为 10，所以 a2b2c225，又点 P(2，1)在双曲线 C 的渐近线上，所以 1ba2，即 a2b.由a2b225，a2b，可得a220，b25，所以双曲线 C 的方程为x220y251.7中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为_ 答案 y34x 8已知点 P(1，3)在双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线上，F 为双曲线 C 的右焦点，O 为原点若FPO90，则双曲线 C 的方程为_，

4、其离心率为_ 答案 x24y2121 2 解析 因为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，点 P(1，3)在渐近线上，所以ba 3.在 RtOPF 中，|OP|（3）212，FOP60，所以|OF|c4.又c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以双曲线 C 的方程为x24y2121，离心率 eca2.9求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离是 6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为 2x3y0，且两顶点间的距离是 6；(3)与双曲线x225y2161 共渐近线，且经过点 P(5，2)解析(1)由两顶点间的距离是 6，得 2a6，

5、即 a3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c6，于是有 b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x29y2271 或y29x2271.(2)设双曲线方程为 4x29y2(0)，即x24y291(0)，由题意得 a3.当 0 时，49，36，双曲线方程为x29y241；当 0，b0)，故有ba45，即 b45a.点 P(5，2)在双曲线上，25a24b21.由可得 a5 32，b2 3.所求双曲线的标准方程为x2754y2121.方法二：所求的双曲线与双曲线x225y2161 共渐近线，设所求双曲线方程为x225y216m(m0)

6、点 P(5，2)在双曲线上，2525416m，即 m34.所求双曲线方程为x225y21634，所求双曲线的标准方程为x2754y2121.10设双曲线x2a2y2b21(ba0)的半焦距为 c，直线 l 过点(a，0)，(0，b)，已知原点到直线 l 的距离为34c，求双曲线的离心率 解析 直线 l 的方程为xayb1，即 bxayab0.所以原点到 l 的距离 d|ab|a2b2aba2b2.由题意，得aba2b234c3a2b24.所以 ab3（a2b2）4，解之，得 a33b 或 a 3b(舍去)所以 a33b，ca2b2a23a22a.所以离心率 eca2aa2.11【多选题】已知中

7、心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，则双曲线 C 的方程可能为()A.x24y21 Bx2y241 C.y24x21 Dy2x241 答案 AD 解析 在椭圆x29y241 中，c94 5.因为双曲线 C 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，所以可设双曲线方程为x24y2(0)，化为标准方程为x24y21.当 0 时，c4 5，解得 1，则双曲线 C 的方程为x24y21；当 0，b0)的离心率为 e，过右焦点且斜率为 2e2 的直线与双曲线的两个交点分别位于第三象限和第四象限，则双曲线离心率的取

8、值范围是()A.1，53 B.53，C(1，2)D(2，)答案 A 解析 由题意，可知直线的斜率 2e2 小于渐近线的斜率ba且大于 0，即 02e2ba02(e1)e212e1e1，两边平方得 4(e1)e13e5e1，所以 1e0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为 C 的左支上的动点，直线 l 是双曲线的一条渐近线，PQl，垂足为 Q.当|PF2|PQ|的最小值为 3时，F1Q 的中点在双曲线 C 上，则下列说法正确的是()A双曲线 C 的方程为x22y221 B双曲线 C 的离心率为 2 C双曲线 C 的渐近线方程为 yx D双曲线 C 的方程为 x2y21 答案 BCD

9、 解析 连接 PF1.因为|PF2|PF1|2a，所以|PF2|PQ|PF1|PQ|2a|F1Q|2a.因为焦点到渐近线的距离为 b，所以|F1Q|的最小值为 b，所以 b2a3.不妨设直线 OQ 为 ybax，因为 F1QOQ，点 F1(c，0)，所以 Qa2c，abc，F1Q 的中点为a2c22c，ab2c.将其代入双曲线 C 的方程，得（a2c2）24a2c2a24c21，即a2c2124a2c2a24c21，解得 c 2a.又因为 b2a3，a2b2c2，所以 ab1，故双曲线 C 的方程为 x2y21，离心率为 2，渐近线方程为 yx.16已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的

10、左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，求双曲线的离心率 e 的最大值 解析 设F1PF2(0)由|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，得|PF1|83a，|PF2|23a.当 0时，在F1PF2中，由余弦定理 得 cos|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|83a223a2（2c）2283a23a17a29c28a217898e2，所以 e2178cos 9.因为 cos(1，1)，所以 1e0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2x By 3x Cy22x Dy32x 答案 A 解析 双曲线x2a2y2b

11、21 的渐近线方程为 bxay0.又离心率caa2b2a 3，a2b23a2，b 2a(a0，b0)渐近线方程为 2axay0，即 y 2x.故选 A.3双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线 C的焦距为()A2 B2 2 C4 D4 2 答案 C 解析 由已知得 eca2，所以 a12c，故 bc2a232c，由焦点到渐近线的距离为 3，得32c 3，解得 c2，故 2c4.4【多选题】设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 为 C 的一条斜率为正数的渐近线，O 为坐标原点若在 C 的左支上存在点 P，使

12、点 P 与点 F 关于直线 l 对称，则下列结论正确的是()A|PF|2b BPOF 的面积为 ab C双曲线 C 的离心率为 3 D直线 l 的方程是 y2x 答案 ABD 解析 设左焦点为 F1，PF 与直线 l 的交点为 M，如图所示，连接 PF1.因为点 P 与点 F 关于直线 l 对称，所以 OMPF，M 为 PF 中点，又 O 为 FF1中点，所以|OM|12|PF1|，|PF|2|MF|，又因为 F(c，0)，直线 l：bxay0，所以|MF|bc|a2b2b，所以|OM|c2b2a，所以|PF|2b，故 A 正确；又 SPOF12SPFF1，SPFF1|PF|PF1|22b2a

13、22ab，所以 SPOFab，故 B 正确；由双曲线的定义可知|PF|PF1|2a，所以 2b2a2a，所以 b2a，所以直线 l：y2x，bac2a2a2e212，所以 e 5，故 C错误、D 正确 5我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知 F1，F2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.33 B.32 C.22 D.12 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，双曲线的实半轴长为 a2，虚半轴长为 b2，|PF1|r1，|PF2|r2，在椭圆 C1中，(2c)2

14、r12r222r1r2cos 60(r1r2)23r1r2(2a1)23r1r2，所以 3r1r24a124c24b12，即 r1r243b12.在双曲线 C2中，(2c)2r12r222r1r2cos 60(r1r2)2r1r2(2a2)2r1r2，所以 r1r24c24a224b22.所以43b124b22，即 b123b22，则 a12c23(c2a22)，所以 a123a224c2，由题知1e123e124，则椭圆离心率 e133.6设 F1，F2分别为椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线 C2：x2a12y2b121(a1b10)的公共焦点，椭圆 C1与双曲线 C2在第一

15、象限内交于点 M，且F1MF290，若椭圆 C1的离心率e134，2 23，则双曲线 C2的离心率 e2的取值范围是_ 答案 2 147，2 解析 如图，设|MF1|m，|MF2|n.由椭圆定义可得 mn2a，由双曲线定义可得 mn2a1，解得 maa1，naa1.因为F1MF290，所以 m2n24c2，即 a2a122c2，由离心率的公式可得1e121e222.因为 e134，2 23，所以 e12916，89，即21e2298，169，解得 e22 147，3 22因为 a1b1，所以 e21b1a12 2，e22 147，2.7点 A 是椭圆 C1：x225y2161 与双曲线 C2：

16、x24y251 的一个交点，点 F1，F2是椭圆 C1的两个焦点，则|AF1|AF2|的值为_ 答案 21 解析 对于椭圆 C1，焦点在 x 轴上，c2a2b225169，对于双曲线 C2，焦点在 x 轴上，c2a2b2459，则椭圆与双曲线有相同的焦点，设|AF1|m，|AF2|n，不妨设0nm，利用椭圆与双曲线的定义，得到mn10，mn4，则m7，n3，所以 mn21，即|AF1|AF2|的值为 21.8已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2且过点(4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上 解析(1)因为离心率 e 2，所以设所求双曲线方程为 x2y2(0)，则由点(4，10)在双曲线上，知 42(10)26，所以双曲线方程为 x2y26，即x26y261.(2)证明：若点 M(3，m)在双曲线上，则 32m26，所以 m23.由双曲线x26y261，知 F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，所以MF1MF2(2 33，m)(2 33，m)(2 33)(2 33)m2 129m20.所以MF1MF2.故点 M 在以 F1F2为直径的圆上