高等代数(北大版.)第6章习题参考.答案.doc

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1、第六章 线性空间1.设证明：。,NM ,MNM MNN证证 任取由得所以即证。又因,M,NM ,N,NM MNM故。再证第二式，任取或但因此无论,MNMMNMM,N,NM 哪 一种情形，都有此即。但所以。,N,NMNMNN2.证明，。)()()(LMNMLNM)()()(LMNMLNM证证 则在后一情形，于是),(LNMx. LNxMx且所以，由此得. LMxNMx或)()(LMNMx。反之，若，则)()()(LMNMLNM)()(LMNMx在前一情形，因此故得. LMxNMx或,NxMx. LNx在后一情形，因而，得故),(LNMx,LxMxxNL),(LNMx),()()(LNMLMNM于

2、是。)()()(LMNMLNM若。xMNLMNL（），则x，x在前一情形 X， 。xMNXML且，xMN因而（）（M L）,NLxMNXML MNMMNMN 在后一情形，x, x因而且，即X （M N ）（M L）所以（）（M L）（N L）故 （L）=（）（M L）即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于 n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设 A 是一个 nn 实数矩阵，A 的实系数多项式 f（A）的全体，对于矩阵的加法和数 量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上

3、不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：21212112 111 2babaabba ak kba1111（a，）（，）（）k。（a，）=（ka，kb +6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：；0k a 7） 集合与加法同 6） ，数量乘法定义为： ；k aa 8） 全体正实数 r，加法与数量乘法定义为：，；ababkk aa解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如。523nnxx （）（）2）令 V=f（A）|f（x）为实数多项式，A 是 nn 实矩阵 因为f（x）+g（x）=h（x）

4、，kf（x）=d（x） 所以f（A）+g（A）=h（A） ，kf（A）=d（A） 由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条，故 v 构成线性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18 条性质，只需证明对称矩阵（上三 角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当 A，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有，A+B 仍是反对称矩阵。（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），所以 kA 是反对称矩阵。KAKAKAKA （）（）（） 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难

5、验证，对于加法，交换律，结合律满足， （0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b） 。对于数乘：2a222222221(1 1)111)( , ),2 (1)(1)(1).( .( , ).( ,)(, 2() )222 (1)(1)(1)(1)(, () )(,() )2222 (1)(,)().( , ),2(ababaa bl ll lk kk l a bk la lbakla k lbalal lk kkl klk kkla k lbalaklaalakl klklaaklbkla b。（，）（。，。2222222()(1).( , )() ,() 2 (1)(1).( ,

6、).( , )(,)( ,22 (1)(1)(,)22 (1)(1)() ,() .2kl klkla bkl aakl bk kl lk a bl a bka kbala lbak kk kkala kbaaklakklkl aakl b 即。),(),(),()(balbakbalk),(),(),(2121212211aabbaakbabak，)(2) 1(),(2 21212121aakkaabbkaak),()(221, 1bakbak)2) 1(,()2) 1(,(2 2222 111akkkbkaakkkbka)2) 1( 2) 1(,(2122 222 1121aakakkkb

7、akkkbkaka)2) 1( 2) 1()(),(212122 22 1212121aakaakakkakkaabbkaak，)(2) 1()(),(22 22 1212121aakkaabbkaak即，所以，所给集合构成线性空间。),(),(2211babak ),()(221, 1bakbak6）否，因为。.01 7）否，因为，)()()(,2,)(lklklklk所以所给集合不满足线性空间的定义。 8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足1); )()()()();)111; 1111):1,1;)1;)()()()();)()()();)()llklkklk lkli

8、ababbaba ii abcabcabcabcabciiiaaaiv aaaaaaaa vaaavi kl akaaaaklavii klaaaakalaviii kab 是零元：的负元是且()()()().kkkkababa bk ak b所以，所给集合构成线性空间。R4 在线性空间中，证明：1） 2）。00 kkkk)(证证 1）。00)() 1()()(0kkkkkkkk2）因为。()(),()kkkkkkk所以5 证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。tt2cos,cos2证证 因为，所以 1，式线性相关的。1cos22cos2tttt2cos,cos26 如果是线性空间中三个互素

9、的多项式，但其中任意两个都不互)(),(),(321xfxfxfxP素，那么他们线性无关。证证 若有不全为零的数使，321,kkk0)()()(332211xfkxfkxfk不妨设则，这说明的公因式也是, 01k)()()(3 13 2 12 1xfkkxfkkxf)(),(32xfxf的因式，即有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(1xf)(),(),(321xfxfxf线性无关。)(),(),(321xfxfxf7 在中，求向量在基下的坐标。设4P4321,1）；) 1 , 1 , 2 , 1 (),1 , 1, 1, 1 (),11 , 1, 1 (),1, 1, 1 , 1 ()

10、,1 , 1 , 1 , 1 (43212）。) 1 , 0 , 0 , 0(),1, 1, 1 , 0(),0 , 0 , 1 , 1 (),1 , 3 , 1 , 2(),1 , 0 , 1 , 1 (4321解解 1）设有线性关系，则，4321dcba 1121dcbadcbadcbadcba可得在基下的坐标为。4321,41,41,41,45dcba2）设有线性关系，则，4321dcba 103002dbadbdcbacba可得在基下的坐标为。4321,0, 1, 0, 1dcba8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域 P 上的空间 P；2）P中全体对称（反对nnnn称，上三角）矩阵

11、作成的数域 P 上的空间；3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空间,其中 A=。, 00000012231i解 1)的基是且。nnP),.,2 , 1,(njiEij2dim()n nPn2) i)令，即其余元素均为零,则 .1.1.ijF, 1jiijaa是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是nnnnFFFFF,.,.,.,222,111nMnM维的。2) 1( nnii)令，即其余元素均为零,则 .1.1.ijG),( , 1jiaajiij是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是nnnnGGGGG, 1223,112,.,.,.,nS维的。

12、2) 1( nniii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是nnnnEEEEE,.,.,.,222,111维的。2) 1( nn3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量,例如取 2，且对于任一正实数,可经 2 线性a表出，即.,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。2)(log2aa 4)因为,所以，231i13 23,13,3, 12qnqnqnn于是， 而。EAA 111,1322 23,13,3,2qnAqnAqnE An9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐4P, 1,4324321,标。设， 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0

13、 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 114321 3 , 1 , 6 , 6 1 , 2 , 3 , 5 0 , 1 , 3 , 0 1 , 1, 1 , 24321在下的坐标；4321,xxxx4321,， 1 , 0 , 1, 1 1 , 1 , 2 , 1 1 , 1 , 1, 1 10, 2 , 124321 2 , 1 , 3 , 1 2 , 1 , 1 , 2 2 , 2 , 1 , 0 1 , 0, 1 , 24321在下的坐标；0 , 0 , 0 , 1, 1,432， 1 , 1, 1, 1 1, 1 , 1, 11, 1, 1 , 11 , 1 , 1 ,

14、 134321 1, 1, 1 , 00 , 0 , 1 , 1 1 , 3 , 1 , 2 1 , 0 , 1 , 14321在下的坐标；1, 0 , 0 , 14321,解 （）=（）=（）A14321,1,4323101121163316502,1432,这里 A 即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，,1,4324321,1A得 （）=（），,1432,4321,1A于是（）=（），,1432,4321xxxx4321,1A4321xxxx所以在基下的坐标为，1A4321xxxx这里=。1A2726 31 91 2773200312723 31 94 271911131 94令则

15、2) 1 , 0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 , 0(),0 , 0 , 0 , 1 (4321eeee（）=()=()A，,1432,43, 21,eeee111001111212111143, 21,eeee（）=()=()B，4321,43, 21,eeee222111203111120243, 21,eeee将()=（）代入上式,得43, 21,eeee,1432,1A（）=（）B ，4321,1432,1A这里=,B=，1A138 137 132 133131 134 133 132134 133 131 135135 136 133 13

16、31A0100111010111001且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有BA1 , 1,4324321,=()=（）0 , 0 , 0 , 143, 21,eeee0001,1432,1A0001=（），,1432,133132135133所以在下的坐标为。,1432, 133,132,135,133同，同理可得343, 21,eeee2A=B=,11111111111111111011103011110121=1A41,1111111111111111则所求由到的过渡矩阵为,1432,4321,B=。1A41041 4141043 4143 21 41 4141 21 47 43再令+b+

17、c+d，即1a234， 1110001113121011,0 , 0 , 0 , 14321dcbadcba由上式可解得在下的坐标为下的坐标为4321,。dcba, 23, 421, 21a10继第 9 题 1）求一非零向量，它在基与下有相同的,1432,4321,坐标。解 设在两基下的坐标为，则4, 321,xxxx=（）=（）。,1432,4321xxxx4321,4321xxxx又因为（）=（）=（）4321,1432,3101121163316502,1432,A，所以=A（A - E）=0。4321xxxx4321xxxx4321xxxx又，0 101111321 , 0210111

18、1163216501且EA于是只要令且且,4cx， cxxcxxxcxxx263231321321解此方程组得= (c 为任意非零常数)，4, 321,xxxxcccc,取 c 为某个非零常数，则所求为0c。40302010cccc11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第 3 题 8）中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数与的维数12,V VV12VV1V2V相等，那么。12VV证 设 dim()=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，1V1V,.,21raaa21VV 且它们的唯数相等，故，也是的一组基，所以=

19、。,.,21raaa2V1V2V13。nnPA 1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做 C（A） ； 2）当 A=E 时，求 C（A） ；3）当 A=时，求 C（A）的维数和一组基。n.21证 1）设与 A 可交换的矩阵的集合记为 C(A)。若 B,D 属于 C(A)，可得A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，故 B+DC(A)。若 k 是一数，B，可得)(ACA（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，所以 kBC(A)。故 C(A)构成子空间。nnP2）当 A=E 时，C（A）=。nnP3）设与 A 可交换的矩阵为 B=（） ，则 B 只能是对角矩阵，故维数为

20、 n,ijb即为它的一组基。nnEEE,.,221114.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记A=，SE 113000000100010001并设 B=与 A 可交换，即 AB=BA，则 SB=BS。且由 222111 cbacbacbaSB=， 222111 113000000cbacbacba212121333000000cccbbbaaaBS=， 222111 cbacbacba113000000222111 333ccccccccc可是，01 cc又 ， 221221 333 cbbbcaaa即， 212212 333 bbbcaaac该方程组的系数矩阵的秩为

21、 2，所以解空间的维数为 5。取自由未知量 a,，并2c令 b=1，其余为 0，得=3,a=3;2c令=1，其余为 0，得=3,a=;1a2c31令=1，其余为 0，得=1,a=1;1b2c令=1，其余为 0，得=0,a=;2a2c31令=1，其余为 0，得=1,a=1;2b2c则与 A 可交换的矩阵为B=， 2221100cbababa其中,a,可经 b,表示,所求子空间的一组基为2c2121,bbaa, , , ， 30000001300000100311000100010010000031110000001且维数为 5。15如果 且，证明：L=L。, 0321ccac031cc, a,证

22、 由，知所以 a 可经线性表出，即可经线性表出，031cc, 01c,同理，也可经线性表出。故 L=L。, a,16在中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设4P1） ， 。 ) 1 , 1 , 1 , 1 ()0 , 3, 1 , 1() 1 , 0 , 2 , 1 ( 1 , 3 , 1 , 24321aaaa ) 1 , 3, 5 , 1 () 1, 3 , 5 , 4() 1 , 3, 1 , 1( 1, 3 , 1 , 24321aaaa解 1）的一个极大线性无关组，因此为 L4321,aaaa421,aaa421,aaa的一组基，且的维数是 3。4321,aaaa2）的一个极大

23、线性无关组为，故是 L的4321,aaaa21,aa21,aa4321,aaaa一组基，且维数为 2。17在中，由齐次方程组4P0111353033304523432143214321xxxxxxxxxxxx确定的解空间的基与维数。 解 对系数矩阵作行初等变换，有 00007830452378307830452311135333134523所以解空间的维数是 2，它的一组基为，。 0 , 1 ,38,911a 1 , 0 ,37,922a18.求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间的交的基与维数，设12, 12, 1） ； 1 , 1 , 1 , 1 0 , 1 , 2 , 121 aa 7

24、 , 3 , 1, 1 1 , 0 , 1, 221 2） ； 1 , 1 , 0 , 10 , 0 , 1 , 121 aa 0 , 1 , 1 , 0 1 , 1 , 0 , 021 3） 。) 1, 1 , 0 , 1() 1 , 1 , 1 , 3( 2, 1, 2 , 1321aaa 3 , 7, 2 , 15, 6, 5 , 221 解解 1）设所求交向量 ，1k12k21l12l2则有 ，1k12k21l12l20即 ， 0703020221222121212121llklkkllkkllkk可算得， 且 ，7110301111121211D0 0111122110因此方程组的解

25、空间维数为 1，故交的维数也为 1。任取一非零解，得一组基 ，(,21kk,1l)2l) 1 , 3 ., 4 , 1()4 , 3 , 2 , 5(421所以它们的交 L是一维的，就是其一组基。 )(2）设所求交向量 ，1k12k21l12l2则有 ， 0000122122121lkllklkkk因方程组的系数行列式不等于 0，故方程组只有零解，即从而, 02121llkk交的维数为 0。3）设所求交向量为 ，1k12k21l12l2即 ， 035207602520232132121321212121321llkkkllkkkllkkllkkk由 知解空间是一维的，因此交的维数是 1。令，0

26、3112711120121131, 11l可得，因此交向量就是一组基。02l12211ll19 设与分别是齐次方程组的解空间，1V2Vnnnxxxxxxx12121., 0.证明：. 21VVPn证证 由于的解空间是你 n1 维的，其基为0.21nxxx而由 ) 1,.,0 , 0 , 1(),.,0,.,1 , 0 , 1(),0,.,0 , 1 , 1(121nnnxxxx121.知其解空间是 1 维的，令则其基为且即为的一, 1nx).1,.,1 , 1 (,.,121nnP组基，从而又，故 。.21VVPn)dim()dim()dim(21VVPn. 21VVPn20 证明：如果那么

27、。,1211121VVVVVV21211VVVV证证 由题设知 因为 所以,21211VVVV,21VVV， 又因为 所以 )dim()dim()dim(21VVV,12111VVV),dim()dim()dim(12111VVV故， 即证。 )dim()dim()dim()dim(21211VVVV21211VVVV21.证明：每一个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和。证证 设是 n 维线性空间 V 的一组基。显然都是 Vn,.,21)(),.,(),(21nLLL的一维子空间，且 V ，又因为),.,()(.)()(2121nnLLLL，)dim()(dim(.)(dim

28、()(dim(21VLLLn故 。 )(.)()(21nLLLV22证明：和是直和的充分必要条件是。 siiV111ijjiVV 0(2,., )is证证 必要性是显然的。这是因为，所以0111 jjiijjiVVVV。11ijjiVV 0充分性 设不是直和，那么 0 向量还有一个分解， siiV1s.021其中。在零分解式中，设最后一个不为 0 的向量是(1,2,., )jjVjs则 ，即 ，),(skkkk121.0kk121.因此，这与矛盾，充分性得证。,11,kkkjjkVV011kjjkVV 23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性

29、空间 R 。31） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,321LLL问能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;32121,LLLLL3）就用该三维空间的例子来说明，若 U,V,X,Y 是子空间，满足 U+VX，XY，是否一定有。YYUYV解解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在 不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2) ；21LL （1）直线与重合时，是一维子空间；1l2l21LL （2）与不重合时，时二维子空间。1l2l21LL ：321LLL（1）重合时，

30、构成一维子空间；,1l32,ll321LLL（2）在同一平面上时，构成二维子空间；,1l32,ll321LLL（3）不在同一平面上时，构成三维子空间。,1l32,ll321LLL3） 令过原点的两条不同直线，分别构成一维子空间 U 和 V，XUV 是二维子1l2l空间，在，决定的平面上，过原点的另一条不与，相同的直线构成一1l2l1l2l3l维子空间 Y，显然因此,0,0,VYUYXY，0)()(VYUY故 并不成立。)()(VYUYY二补充题参考解答二补充题参考解答11）证明：在 Px 中，多项式 n).()().(111niiixxxxf（i1，2，n）是一组基，其中是互不相同的数；n,.

31、,212)在 1）中，取是全体 n 次单位根，求由基 1，到基n,.,211,.,nxx的过渡矩阵。nfff,.,21证证 1）设 ，将代入上式 ，得0.2211nnfkfkfk1x，0)(, 0)(.)()(1111312ffffn于是0。同理，将分别代入，可得1knxx,.,2，0.32nkkk所以线性无关。而 Px 是 n 维的，故是 Px 的一组基。nfff,.,21nnfff,.,21n2）取为全体单位根则n,.,21,.,., 112n，12 1.111nn xxxxxf，122321 2.1nnnnnn xxxxxxf.，1212 1.1 nnn nnnxxxxxf故所求过渡矩阵

32、为。1.111.1.1.11224221nnnnnn2设是 n 维线性空间 V 的一组基，A 是一个 ns 矩阵，且n,.,21，Ans),.,(),.,(2121证明：的维数等于 A 的秩。),.,(21sL证证 只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于 A 的秩。设s,.,21，nsnrnsraaaaaaA.11111且。不失一般性，可设 A 的前 r 列是极大线性无关组，由条rrArank,)(min( , )n s件得，nnssssnnrrrrnnaaaaaaaaa.2211221112211111可证构成，的一个极大线性方程组。事实上，设r,.,21r,.,21sr,.,1，0.22

33、11rrkkk于是得，0).(.).().(1112221111111nrrnrrrrakakakakakak因为线性无关，所以，n,.,210.0.22111212111rnrnnrrkakakakakaka该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解，于是, r0.21rkkkr,.,21线性无关。其次可证：任意添一个向量后，向量组，一定线性相关。事实上，jr,.,21j设，于是，0.2211jjrrkkkk 0.0.221111212111jnjrnrnnjjrrkakakakakakakaka其系数矩阵的秩为rr+1，所以方程组有非零解 即，线,.,21kkkkrr,.,21j性相关。因此，

34、是的极大线性无关组。从而的r,.,21s,.,21),.,(21sL维数等于 A 的秩，即等于。)(Arank3. 设是一秩为 n 的二次型，证明：有的一个维子空间f),.,(21nxxxnR)(21sn 1V（其中为符号差） ，使对任一，有0。),.,(21nxxx1Vf),.,(21nxxx证证 设的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 p+q=n。于是存在可逆矩阵，f),.,(21nxxxC，YCX，使，f),.,(21nxxx22 122 1.qpppyyyy由。)(21sn )(21qpn 时当时当 qpqqpp ,下面仅对 pq 证明（pq 时类似可证） 。将 Y=CX 展开，有

35、方程组，qpnnqpqppnnpppnpnpnnyxcxcyxcxcyxcxcyxcxc,11 ,1, 111 , 11111111.任取， 21)0,.,0 , 1,.,0 , 1 , 0,.,0(.)0,.,1 , 0 , 0,.,1 , 0()0,.,0 , 1 , 0,.,0 , 1 (p则线性无关，将分别代入方程组，可解得，使得p,.,21p,.,21p,.,21，且线性无关。211,CCppC,.,2p,.,21下面证明 p 维子空间（）即为所要求得。事实上，对任意Lp,.,211V（） ，设，代入得LX 0p,.,21ppkkkX.22110YCX 21212211221100)

36、0,.,0 ,.,.,(.ppppppkkkkkkkkkCkCkCkCXY故 即证=（） 。0.22 122 1 00ppkkkkAXXf1VLp,.,214. 设，是线性空间的两个非平凡的子空间，证明：在中存在，使1V2VVV同时成立。21,VV证证 因为，非平凡的子空间，故存在，如果，则命题已证。设1V2V1V2V2V则一定存在，若，则命题也得证。下设，于是有及2V1V1V21,VV， 因而必有。事实上，若，又1V2V21,VV1V，则由是子空间，必有，这与假设矛盾，即证，同理可1V1V1V1V证，证毕。2V5 设是线性空间 V 的 s 个非平凡的子空间，证明 V 中至少有一向量不属sVVV,.,21于中的任何一个。sVVV,.,21证证 采用数学归纳法。当 n=2 时，由上题已证命题成立。现归纳假设命题对 s-1 个非平凡的子空间也成立，即在 V 中至少存在一个向量不属于 中任意一个，如果，则命题已证。121,.,sVVVsV若，对向量，且对 P 中 s 不同的数对应的 ssV,PsVk,.,