高等代数(北大版.)第3章习题参考.答案.doc

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1、第三章 线性方程组1 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 124512345123451234523213322)23452799616225xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1234234124234234433)31733xxxxxxxxxxxxx 123412341234123434570233204)411131607230xxxxxxxxxxxxxxxx 123412341234123421322325)521234xxxxxxxxxxxxxxxx 12341

2、234123412341232313216) 23122215522xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 135401135401 132211003212 121113054312 141113074512 121111014812 102101100101 003212000212 002000002000 000000000000 011100010000 因为，( )( )45rank Arank B所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，1415324122200xxxxxxx 解得123451022xkxkxxkxk 其中为任意常数。k

3、 2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616 120321120321033451033451252982529800110011333333 003325297000001 因为，( )4( )3rank Arank A所以原方程无解。3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344 0111301113 1301105353 0731307313 ，1012210008 0111301003 002012002012 00482400080 因为，( )( )4rank Ara

4、nk A所以方程组有惟一解，且其解为。12348360xxxx 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789 23322332 41113164111316 72137213 ，17891789017192001719200171920000003438400000 即原方程组德同解方程组为，123423478901719200xxxxxxx 由此可解得，1122123142313 1717 1920 1717xkkxkkxkxk 其中是任意常数。12,k k5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111 3223270014 5112130012 2113440025

5、2111121111700147001410000210000210000300001 因为，( )4( )3rank Arank A所以原方程组无解。 6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有1231135402 3211125202 2311123111 2221145302 5520255202 ，2020000000552020570211611010015555 10100101000000000000 即原方程组的同解方程组为，23341357261 55 0xxxxxx 解之得，123427 5516 55xkxkxkxk 其中是任意常数。k2.把向量表成的线性组合.。1234,

6、12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1, 1, 1)(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1, 1, 1) 解解 1）设有线性关系11223344kkkk代入所给向量，可得线性方程组，12341234123412341211kkkkkkkkkkkkkkkk 解之，得，15,4k 21,4k 31,4k 41 4k 因此。12345111 44442）同理可得。133.证明：如果向量组线性无关，而线12,r 12,r 性相关，则向量可由线性表出.12,r 证证 由题设，可以

7、找到不全为零的数使121,rk kk，112210rrrkkkk显然.事实上，若，而不全为零，使10rk10rk12,rk kk11220rrkkk成立，这与线性无关的假设矛盾，即证.故12,r 10rk，11r i i irk k 即向量可由线性表出。12,r 4.，证明：如果，那么12(,)(1,2, )iiiinin0ij线性无关。12,n 证证 设有线性关系，11220nnkkk代入分量，可得方程组，11 1212112 122221122000nnnnnnnnnkkkkkkkkk 由于，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关。0ij12,n 5.设是互不相同的数，.证明：12, ,r

8、t ttrn是线性无关的。1(1, ,)(1,2, )n iiittir证证 设有线性关系，则11220rrkkk，121 122111 1122000rrrnnn rrkkkt kt kt ktktktk 1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行rn 列式为一个范德蒙行列式，即，12 222 12111 12111()0nnji ijnnn nttt tttttttt 所以方程组有惟一的零解，这就是说线性无关。12,r 2）当时，令rn21 111121 222221(1, ,)(1, ,)(1, ,)rrr rrrrt ttt ttt tt 则由上面 1)的证明可知是线性无关

9、的。而是12,r 12,r 延长的向量，所以也线性无关。12,r 12,r 6.设线性无关，证明也线性无关。123, 122331, 证证 设由线性关系，则112223331()()()0kkk。131122233()()()0kkkkkk再由题设知线性无关，所以123, ，131223000kkkkkk 解得，所以线性无关。1230kkk122331, 7.已知的秩为，证明：中任意个线性12,s r12,s r无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证证 设是中任意个线性无关向量组，12,iiir12,s r如果能够证明任意一个向量都可由线性(1,2, )jjs12,iiir表出就可以了。事

10、实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的12,iiirj秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意rj12,iiirj性，即证。8.设的秩为，是中的个12,s r 12, riii 12,s r向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,s 是的一个极大线性无关组。 12, riii 12,s 证证 由题设知与等价，所以 12, riii 12,s 的秩与的秩相等，且等于.又因为 12, riii 12,s r线性无关，故而是的一个极大 12, riii 12, riii 12,s 线性无关组。 9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关 组。 证证 将所给向量组

11、用（）表示，它的一个线性无关向量组用（） 表示。 若向量组（）中每一个向量都可由向量组（）线性表出，那么向 量组（）就是向量组（）的极大线性无关组.否则，向量组（）至 少有一个向量不能由向量组（）线性表出，此时将添加到向量组 （）中去，得到向量组（） ，且向量组（）是线性无关的。 进而，再检查向量组（）中向量是否皆可由向量组（）线性表出.若 还不能，再把不能由向量组（）线性表出的向量添加到向量组（）中 去，得到向量组（） 。继续这样下去，因为向量组（）的秩有限，所 以只需经过有限步后，即可得到向量组（）的一个极大线性无关组。 10.设向量组为，1(1, 1,2,4)2(0,3,1,2)3(3,

12、0,7,14)，。4(1, 1,2,0)5(2,1,5,6)1） 证明：线性无关。12, 2） 把扩充成一极大线性无关组。12, 证证 1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。12, 12, 2）因为，且由3123，1122440kkk可解得，1240kkk所以线性无关。124, 再令，112244550kkkk代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为 0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由1245, 5线性表出。124, 这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。124, 注注 此题也可将排成的矩阵，再通过列初等变换1245, 5 4化为行阶梯形或行最简形，

13、然后得到相应结论。 11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：，12341)(6,4, 1,2),(1,0,2,3, 4)(1,4, 9, 16,22),(7,1,0, 1,3)123452)(1, 1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1, 1,2,0)(2,1,5,6)解解 1）设123464112 10234 1491622 71013A 对矩阵作行初等变换，可得A，0411192600000 1023410234 0411192600456998 0114223101142231A 所以的秩为 3，且即为所求极大线性无关组。1234, 234, 3） 同理可得为

14、所求极大线性无关组，且向量组的秩为 3。124, 12.证明：如果向量组（）可以由向量组（）线性表出，那么 （） 的秩不超过（）的秩。 证证 由题设，向量组（）的极大线性无关组也可由向量组（）的 极大线性无关组线性表出，即证向量组（）的秩不超过向量组（）的 秩。13.设是一组维向量，已知单位向量可被它12,n 12,n 们线性表出，证明：线性无关。12,n 证证 设的秩为，而的秩为。12,n rn12,n n由题设及上题结果知 ，nr从而，故线性无关。rn12,n 14.设是一组维向量，证明：线性无关12,n n12,n 的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出。n证证 必要性.设线性无关

15、，但是个维向量12,n 1nn必线性相关，于是对任意维向量，它必可由12,n n线性表出。12,n 充分性 任意维向量可由线性表出，特别单位向量n12,n 可由线性表出，于是由上题结果，即证12,n 12,n 线性无关。12,n 15.证明：方程组11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 对任何都有解的充分必要条件是系数行列式。12,nb bb0ija证证 充分性.由克拉默来姆法则即证。 下证必要性.记，1212(,) (1,2, )( ,)iiinininb bb则原方程组可表示为，1122nnxxx由题设

16、知，任意向量都可由线性表出，因此由上题结果12,n 可知线性无关。12,n 进而，下述线性关系，12220nnkkk仅有惟一零解，故必须有，即证。0ijAa16.已知与有相同的秩，证明：12,r 121,rrs 与等价。121,rrs 证证 由于与有相同的秩，因12,r 121,rrs 此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样的极12,r 大线性无关组也必为的极大线性无关组，从而121,rrs 它们有相同的极大线性无关组。 另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。17.设123213,rr，121rr证明：与具有相同的秩。12,r 12,r 证证 只要证明两向量组

17、等价即可.由题设，知可由12,r 线性表出。12,r 现在把这些等式统统加起来，可得，12121()1rrr于是，121111(1)1111iirrrrr(1,2, )ir即证也可由线性表出，从而向量组12,r 12,r 与等价。12,r 12,r 18.计算下列矩阵的秩：1） 2）01112 02220 01111 11011 11210 22420 30611 03001 3） 4）141268261042191776341353015205 10014 01025 00136 1231432 4563277 5）。10100 11000 01100 00110 01011 解解 1）秩为

18、 4；2）秩为 3；3）秩为 2；4）秩为 3；5）秩为 5。19.讨论取什么值时，下列方程有解，并求解。, , a b1） 2）1221232 1231xxxxxxxxx 122123123(3)(1)23(1)(3)3xxxxxxxxx 3）1221231234324axxxxbxxxbxx 解解 1）因为方程组的系数行列式，211 11(1) (2) 11D 所以当时，原方程组与方程同解，故原方程组有无11221xxx穷多解，且其解为，11221321xkkxkxk 其中为任意常数。12,k k当时，原方程组无解。2 当且时，原方程组有惟一解。且12 。12231 2 1 2 (1) 2

19、xxx 2）因为方程组的系数行列式，231211(1) 333D 所以当时，原方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩分别为 2 与0AA3，所以无解。当时，的秩为 2，的秩为 3，故原方程组也无解。1AA当，且时，方程组有唯一解01。321232232323159 (1)129 (1)43129 (1)xxx 3) 因为方程组的系数行列式，11 11(1) 121a Dbb a b 所以当时，即且时，方程组有惟一解，且为0D 1a 0b ，12321 (1) 1124 (1)bxb axb abbxb a 当时0D 1o若，这时系数矩阵的秩为 2，而它的增广矩阵的秩为0b AA3，故原方程组无解。2o

20、若，这时增广矩阵1a 111411141130101121402100Abbbb 所以当时，的秩为 3，的秩为，原方程组无解。11,2abAA而当时，原方程组有无穷多个解，且其解为11,2ab，12322xkxxk 其中为任意常数。k 20.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解：1）2）12345123452345123450320226054330xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1245123412345123453020426340242470xxxxxxxxxxxxxxxxxx 3）4）12345123451234512345202075550320xxxxxxx

21、xxxxxxxxxxxxx 12345123451234512345202230322025220xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 1）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有111111111111111 321130122601226 012260122600000 543310122600000 因为，所以原方程组的基础解中含有 3 个线性无关的解( )25rank A 向量，且原方程组的同解方程组为，12345234502260xxxxxxxxx 于是只要令即得，3451,0,xxx1(1, 2,1,0,0)同理，令即得，1351,0,xxx2(1, 2,0,1,0)即得，53

22、41,0,xxx3(5, 6,0,0,1)则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为123, ，1 12233kkk其中为任意常数。123,k k k2）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有1103111031 1121002221 42634066150 24247022105 1103111031 0222102221 0009300031 00012400000 因为，所以原方程组的基础解系中含有 2 个线性无关的( )35rank A 解向量，且原方程组的同解方程组为，12452345450222030xxxxxxxxxx 若令，得，141,0xx1( 1,1,1,0,0)

23、 ，得，140,1xx27 5(,0,1,3)2 2 则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为12, ，1 122kk其中为任意常数。12,k k3）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有1211112111211110533117555096663121105522 1211112112 05133105331 0211212006900 0514005140 又因为1112 033100900 0140 所以，方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，( )45rank A 且原方程组的同解方程组为。123452345232342205330690540xxxxxxxxxxxx

24、xx 于是令，可得21x ，12 13 1( ,1, )23 12 4则即为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，k其中为任意常数。k 4） 对方程组的系数矩阵作行初等变换，有1211112111211230534532112044452512201100 1211112111 0110001100 0084500845 0084500000 又应为121 0100 004 所以，方程组的基础解系含有 2 个线性无关大解向量，( )35rank A 且原方程组的同解方程组为123452334522008450xxxxxxxxxx ，得，351,0xx1( 1, 1,1,2,0)

25、 ，得，350,1xx215( ,0,0,1)44则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为12, ，1 122kk其中为任意常数。12,k k21.用导出组的基础解系表出第 1 题 1） 、4） 、6）题中线性方程组的 全部解，其中123412345123451234512345354132211)234321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 123412341234123434570233204)411131607230xxxxxxxxxxxxxxxx 12341234123412341232313216) 23122215522xxxxxxxxxxxxxxx

26、xxxx 解解 1）对原方程组的增广矩阵作初等行变换，可得，( )()45rank Arank A b所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有 1 个线性无关的解 向量，又因为原方程组的同解方程组为，1445241220xxxxxx 若令，代入原方程组的导出组，可解得41x ，于是导出组的基础解系为12351,1,0,2xxxx ，(1,1,0,1, 2)且原方程组的一个特解为，0(1,0,0,0, 2)故园方程组的全部解为，12304511 01 00 01 22x x xkk x x 其中为任意常数。k4）对原齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换，可得，( )24rank A 所以方

27、程组有无穷多解，且其基础解系中含有 2 个线性无关的解向量，又 因为原方程组的同解方程组为，123423478901719200xxxxxxx 若令，得，341,0xx12319,1717xx再令，得，340,1xx121320,1717xx 于是导出组的基础解系为，13 19(,1,0)17 1721320(,0,1)1717 故原方程组的全部解为，1231 122145313 1717 1920 1717 10 01x x xkkkk x x 其中为任意常数。12,k k6）对原方程组的增广矩阵作初等变换，可得，()34rank A b 所以方程组有无穷多个解，且其导出组的基础解系中含有

28、1 个线性无关的 解向量，又因为原方程组的同解方程组为，23341357261 55 0xxxxxx 若令，代入原方程组的导出组，可解得，31x 124761,55xxx 于是导出组的基础解系为，76(1,1, )55且原方程组的一个特解为，021(0,0,)55故原方程组的全部解为，12304501 27 55 01 16 55x xxkk x x 其中为任意常数。k22.取什么值时，线性方程组, a b1234512345234512345132322635433xxxxxxxxxxaxxxxxxxxxb 有解？在有解的情形，求一般解。解解 对方程组的增广矩阵行作初等变换：11111111

29、11113211301226301226301226354331012265aaAbb 。111111 00000 012263 000002ab 于是，只有且时，增广矩阵的秩与系数的秩都为 2，此时原0a 2b 方程组有解；当且时，原方程组都无解。0a 2b 当，时，原方程组与方程组0a 2b ，12345234512263xxxxxxxxx 同解，且其一般解为，13452345334455253226xkkkxkkkxkxkxk 其中为任意常数。345,k k k23.设121232343454515xxaxxaxxaxxaxxa 证明：此方程组有解的充分必要条件为，510i ia在有解的

30、情形，求出它的一般解。 证证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有1 1 2 2 3 3 4 455 111000110000110001100001100011000011000111000100000i iaaaaaAaaaaa此时的秩为 4，的秩为 4 的充分必要条件是AA，510i ia因此，原方程组有解的充分必要条件是。510i ia其次，当时，原方程组与方程组与510i ia，121232343454xxaxxaxxaxxa 同解，所以它的一般解为，112342234334445xaxa akxaaakxaakxakxk 其中为任意常数。k 24.证明：与基础解系等价的线性无关向量组

31、也是基础解系。 证证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且与它等12,r 12,ra aa价，则可由线性表出，从而(1,2, )ia ir12,r 也是原齐次线性方程组的解。(1,2, )ia ir又由题设知线性无关，且可由12,ra aa12,r 线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解也都可以由12,ra aa线性表出，即证也是方程组的一个基础解系。12,ra aa12,ra aa25.设齐次方程组，11 1212112122221122000nnnnnnnnnxxxxxxxxx 的系数矩阵的秩为，证明：方程组的任意个线性无关的解都是它r

32、nr的一个基础解系。 证证 由于方程组的系数矩阵的秩为，所以它的基础解系所含线性无r 关解向量的个数为。nr设是方程组的一个基础解系，是方程组12,n r 12,n r 的任意个线性无关的解向量，则向量组nr，1212,n rn r 的秩仍为，且是它的一个极大线性无关组，同理nr12,n r 也是它的一个极大线性无关组，所以与12,n r 12,n r 等价，再由上题即证。12,n r 26.证明：如果是一线性方程组的解，那么12,t ，1 122ttuuu（其中）也是一个解。121tuuu证证 设线性方程组为1 122(1,2,)iiinnixxxb im由题设，是该方程组的 个解，现( )

33、( )( ) 12(,)(1,2, )jjj jnxxxjtt将( )( )( ) 1 12212 111(,)ttt kkk ttkkkn kkkuuuu xu xu x代入方程组，得( )( )( ) 1122 111()()()ttt kkk ikikinkn kkkau xau xau x( )( )( ) 1 122 1()t kkk kiiinn ku a xa xa x，11(1,2,)ttkiiki kku bbub im所以仍是方程组的一个解，即证。1 122ttuuu27.多项式与32232xxx4231xxx在取什么值时有公共根？解解 因为与的结式为( )f x( )g

34、x232000023200002320 ( , )000232103100010310001031f g R，32(3)(428157)故当时，有3 ，32( , )(3)(428157)0f gR从而与有公共根。此外，由还可求得的 3 个根，( )f x( )g x( , )0f g R它们皆可使与有公共根。( )f x( )g x28.解下列联立方程：22225651601)240yxyxyxyxyx222242302)41090xyxyxxyyy223232(4)2303)5(7)530yxyxxyyxyxxx解解 1）由结式2222565160 056516( , )11240 011

35、24yxx xRf gxxx xxx 43232(332)xxxx，232(1) (1)(2)0xxx可解得下1，1，2，-1 四个根。x 当时，代入原方程组，可得1x ，2256110230yyyy解此方程组，可得。1y 当时，代入原方程组，得1x ，225611010yyy 解之得。1y 当时，代入原方程组，可得2x ，2251240320yyyy解之得。2y 故原方程组有四组公共解为1111xy 2211xy 3311xy 4422xy 2）同理可得，103 5103 5( , )4(1)(3)()()055yRf gxxxx所以解得，11x 23x 31(103 5)5x 41(103 5)5x 代入原方程组，可得四组公共解为1112xy 2230xy 。331(103 5)5 55 5xy 441(103 5)5 55 5xy 3）由，222( , )4(1) (2)0yf gxxxR可解得原方程组的组公共解为1101xy 2213xy 3312xy 4413xy 55212xyi 66212xyi