高等代数(北大版)第7章习题参考答案.docx

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1、第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)2)3)4)5)6)7)8)解在线性空间V中，44 = 4 + ”,其中aev是一固定的向量; 在线性空间V中，= =其中是一固定的向量； 在 P 3 中，A（1，工2，）=区，九2 +工3，%）；在P 3中，A（2，12，）= （22一工2，+九3，）,在 PJ中,A/（x）= /（%+ D :在PX中，4/（刈=/（尤0），其中）EP是一固定的数；把复数域上看作复数域上的线性空间，在Px中，AX=BXC其中B,CP”是两个固定的矩阵.1）当二=0时，是;当。W0时,不是。2)当二=0时，是;当。W0时,不是。3)不是.例如当

2、 a = (1,0,0)次=2 时，如 A (a) = (2,0,0), A *a) = (4,0,0),A(ka)。kA(a)。4)是.因取a =(七，/，七)，=(/，为，丁3)，有4(二+/)=4(玉+2，工3 +3)=(2再 +2y -x2 - 2， +乃 +七 + 3,玉 +%)=(2范-x2,x2 +%3，3)+ (2必一为。2 + %M)=Aa +A/3,A(ka) = A, kx2, kx3)=Qk% 一 kxk4 + kxk%)=(2左升-k%,k% + kx3.kx)kA(6Z),故A是p3上的线性变换。5)是.因任取f(x) e Px,g(x) 尸印，并令(x) = /(

3、x) + g(x)贝IA (/(九) + g(x)=A (%) = (x +1)=于(x +1) + g(x +1) =A /(x) + A (g(x)， 再令 v(x) = kf(x)那么 A (kf(x) = A (v(x) = v(x + 1) = kf(x + 1) = kA(f(x), 故A为丹幻上的线性变换。6)是.因任取 /(x) e Px,g(x) g Px那么.A(7(x) + g(x) = /(x() + g(% )=A(/(x)+A(g(x)，A (kf(x) = kf(x。) = kA (/*)。7)不是,例如取 a=l,k=L 那么 A(ka)=-i, k(Aa)=i

4、, A(ka)kA(a)。8）是，因任取二矩阵 x,y 产、，那么 A（x + y）= B（x + y）c = Bxc+5yc=AX+Ay, 4k X尸B(kX) = k(BXQ = kAX ,故A是Pnxn上的线性变换。（7，2，/）=（i，2，%）x，那么7,%，久也是v的一组基，且A在这组基下的矩阵是X-AX，从而有AX二XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。假设取（ n)那么由 AX| = X|A 知% =O(iWj),即得/ 、 a“22A 二.，*ann7再取0100、0010X 2= *.0 0 0 1J000?由AX2 = XzA,可得故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。14.设

5、三，4，3，4是四维线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为,1021、-1213125 5,、2 -2 1 -2?1）求 A 在基7 = j -22 +%,% = 32 一/ 一4，% =邑 +4，4 =下的矩阵;2）求A的核与值域；3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；4）在A的值域中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。解1）由题设，知, 1000、-2300(7，%，3，4)=(J，&，R，4)八 八u 11UJ-112,故A在基7,%，%，”下的矩阵为,2B=X-AX =0k 10311o oY1 * 3 ( 1o o -i0

6、22-2-201 一2八 10 0 0、3 0 0-1 1 0-112；10一 340一 3-8 10一340一3-7 4 63 13 1 - - 2-38-30-2）先求 47（0）.设 A-1 （0）,它在 ,2，3，4下的坐标为（71，2，力3，74），且 AE在 1，2，3，4下的坐标为（，），那么102-121125、2-21因 rank(A)=2,假设令 / =（,2，R，4）X|，a? (, 3 , 4)X 2那么%即为4（0）的一组基，所以A - （0）= /（%,%） o再求A的值域AV。因为A J = J 2 + 邑 + 2%，A q =+ s2+ 5q + q,A 4 3

7、3欣0)=2,故4句，42,43,44的秩也为2,且41,42线性无关，故41，42可组成AV的基，从而AV=L(Aj ,44)。4)由2)知。%是A-7。)的一组基，且知,4，是V的一组基，又( 0( 0(, ，a , a 2)(、, 82，3 , 4)0,0-2_3- 210-20故A在基J,4, %,%下的矩阵为B二fl 0 -21 )30 1 -220 0100 001 ?10 21、-121312 552 -2 1 2,(1021 )30 1 220 0 10、0 0 01 ?(5 9二 21200、10020012 -2 0 0J4)由 2)知 A J = J 6*2 + 邑 +

8、?4 ,A 4 = 2邑 + 2邑 一 2%易知A”A2，3，4是V的一组基，且10 。0、-12 0 0(A , A 612 , *3 , ,4 )=( *! , ,2 , ,3 , f4 ) JL A JL JJ -2 0 1,故A在基A句，A 4 ,%，q下的矩阵为C二0 0 0Y1 ( 12 0 021 0-2 0 1?一2 1 一2八10 0 0、2 0 0210-2 0 5 2 2 1A93-1-2二2 2 0 0 0 0、0 0 0 0,15.给定p3的两组基与=（1A1） 邑=（2,1,0）、邑=（1，覃） 定义线性变换A：7=(121) % =(22-1)，73 =(2-1-

9、1)1）写出由基邑,%到基i，%，%的过度矩阵;2）写出在基力，,名下的矩阵;3）写出在基7，%,%下的矩阵。解 1）由（7, %,%）二（ i，2，3）X，引入 p3 的一组基6二(1,0,0), e2 =(0,1,0), e3 =(0,0,1)，那么2)因( 2（句,2，*3）=（，3）。11、1 =(e),e2,3)A, J所以（1（7，2/3）二（4,62,4）2、T22、2 -1 =(% ,g，e3汨=(，g，4)A-1 B,T故由基1，J，%到基7，%，%的过度矩阵为X=A-1 B= 0J2 1Y1 ( 1-1 二 i2 32 J_ 2-2A（、邑,邑）=（7,%,%）=（ J,4

10、,邑）2 3-21-23-23-25-2故A在基句，4,邑下的矩阵为(o 33)2233A= 1 o2211 .9I 22)4)因 4 , %，3 户4 1，4，3)X=( 7 , 2，3)X故4在基%下的矩阵仍为X.o16.证明4 .与儿、相似,4ln 7其中（，, ,，）是1,2,，孔的一个排列。证设有线性变换A,使那么 A( , ：, )( ： , ,)I 2ln*1*2ln2.h二（%，、气）D 2，4% J于是D 与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵，故相似。17.如果A可逆，证明AB与BA相似。证 因A可逆，故At存在，从而A-(AB)A=(aT A)BA=BA,所以AB与B

11、A相似。18.如果A与B相似，C与D相似，证明:相彳以。证由,可设 B=X- AX, D=Y-1 CY,x- B 0k 0 D这里X-01)A二5)A=0014、2)2)A=3)A二11111111111111114)A二-3、102(3-2037)A=4-1-3,J6)A=1800-2相似。)19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.A在一组基下的矩 阵为：先求属于特征值4=7的特征向量。解方程组411一 4x2 = 05工1+ 5%2 = 0,它的基础解系为 ，I解1)设A在给定基?，4下的矩阵为A，且A的特征多项式为AE-A=22-5244=(2-7)(2 + 2),

12、故 A 的特征值为 7, -2。因此A的属于特征值7的全部特征向量为kJ(kwO),其中句+ 4。再解方程组5M 0一12,它的基础解系为5%1 =0，因此A的属于特征值-2的全部7-A2 ，特征响向量为2(kwO),其中另=4j-52。2)设A在给定基2，4下的矩阵为A，且当0时，有A=0,所以花 A故A的特征值为4 =几2=。解方程组故A的特征值为4 =几2=。解方程组Ox + Ox9 = 012,它的基础解系为Oxj + 0x2 = 010、，因此A的属于特征值0的两个线性无关特征向量为J尸句，另=4，故A以V的任一非零向量为其特征向量。当 aw 0 时，|花1A | =aixx-a分+

13、。2 =（2 +由）（4一点）,故A的特征值为4 =山,一但=02 的基础解系为ax + aix2 = 0,故A的属于特征值出的全部特征向量为kJ（kwO）,其中J1=t+4。当乙二-出时，方程组一 aix. 一 ax, = 012的基础解系为ax - aix2 = 0,故A的属于特征值-出的全部特征向量为kJ? （kW。），其中另= 6+4 3）设A在给定基片，4,r,%下的矩阵为A,因为|江A |=（2-2）3（2 + 2）,故A的特征值为4 =42 = “3 = 2, %4 = -2。当4 = 2时，相应特征方程组的基础解系为X=110/3 , 4=1-6。当4 =2时，方程组31 6%

14、2 + 3与=0X + 2x2 - x3 = 0 的基础解系为的全部特征向量为kJ、（kwO）,其中, =当2二1+百时，方程组,故A的属于特征值2(-4 +- 6x, + 3% =0玉+ (1 + V3)X2 一 X3 =。 的基础解系为- 2x)+ (2 + y)X3 031,2-V3的属于特征值1+6 的全部特征向量为k42 （kwO）,其中另=34+（2 g）R。当4二16时，方程组(-4- a/3)X1 - 6x9 + 3%=0玉+ (1 V3)x2 七=0 的基础解系为_ Xj _ 2%2 + (2 = 0312 + V3的属于特征值1 6 的全部特征向量为 （kW。），其中,=3

15、-4+（2 +6）3。5)设A在给定基三，2，鼻下的矩阵为人，因20-1AE- A|= 0 2-1 0 =(2-1)2(2 + 1),-102故a的特征值为4 =2。=1,4 =1。方程组%一心=013 的基础解系为玉 + X3 = 01 ,故A的属于特征值1I。）的全部特征向量为4高+&（匕，&不全为零），其中。=与+%，2 = 4。_ X- =。/ 1 当4 =-1时，方程组1-212=0的基础解系为0 ，故A的属于特征值-1的全一2-当二。（-1,部特征向量为W ），其中,二1 一q。6)设A在给定基下的矩阵为A，因4 2 1|2E- 川=2 A -3 = Z(22 +14) = 2(/

16、1 - V14z)(2 + V14z),132故A的特征值为4 =0,2 ?= 旧。4 = -V14/ o_ 22 _ 匕=0-12,故A的属于特征值0的全=0时，方程组1 2玉-3当=。的基础解系为Xi + 3x2 = 0部特征向量为攵。（女W0）,其中。=3句4+2鼻。6 + V14z 当刈=内，时，该特征方程组的基础解系为一2 + 3巧，故A的属于特征值旧，-10的全部特征向量为抬2（左。0），其中&2 =（6 + JT山）与+（-2 + 3V14z2-10o6-V14z、当4 =-时，该特征方程组的基础解系为-2-3历i ,故a的属于特征值-107-的全部特征向量为砥(女。0),其中=

17、 (6-714/) + (-2-3V14i2 - 10f3o 7）设A在给定基/，？，名下的矩阵为4 因2-3 -10花 川二 4 2 + 10 =（2-1）2（2 + 2）,-482+2故A的特征值为4 =2 2 =1,4 =2。3、当4 =几2 =1，该特征方程组的基础解系为-6 ,故A的属于特征值1的全部特征 120,向量为。（%。0）,其中。=3务64+20r。,0、当4=-2,该特征方程组的基础解系为0 ,故A的属于特征值-2的全部特征向量为您2（k W 0）,其中昆二3。20 .在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写 出相应的基变换的过度矩

18、阵T,并验算T-1AT。解线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量，故上 题中1）6）可以化成对角形，而7）不能.下面分别求过渡矩阵To(1）因为&4）=（弓，2）V,所以过渡矩阵T二T t AT=4、9_5(5 2)4-52）当=0时,已是对角型。当 W。时,有 ,基）=（42） 1，过渡矩阵T二T t AT=12_2aY。13）因为（。42，,，44）二（臼，4，3,4）410,0T t AT 二-2J4）因为（。，2,3）=（1方2，3）T过渡矩阵丁=0 2-V3312 + V3ai01010312-V3ai J100111115）因为（。,。2，43）=（句，

19、2，3）。1Il 010-1,过渡矩阵丁=（21 + V311001010111,过渡矩阵T二10-12 .在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以5表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4 =B4 =C4 =E,AB BA,A2 B2 =B2 A2 ,并检验(AN)?2 是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z),那么有1)因为Aa=(x,-z,y), A2 a=(x,-y,-z), A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z),234Ba=(z,y,-x),a=(-

20、x,y,-z), B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z),Ca=(-y,x,z), C2 a=(-x,-y,z), C3 a=(y,-x,z), C4 a=(x,y,z),所以/，的，=后。2)因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y), A4(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x), 所以A3W A4。3)因为 A 2 3 2 (a)=A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z), B2 A2 (a)=B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z),所以 4252=5242。4)因为(AB)? (a)=(43)(A8(a)_=43(z,x,y)=(y,z,x)，A

21、2 B2 (a)=(-x,-y,z),所以(AB)? A2 B2 o3 .在 Px中，A /(x) = f f(x) = xf(x),证明:A3.A4=E。证任取/a)Px,那么有(AB-BA) /(x) =AB /(x) -BA /(x) =A( V(-)f (%) =/(幻+ 矿(%) - V (%) = /(%)所以 ABBA=Eo.设A,5是线性变换,如果证明：Ak B-BAk = kAk i (kl)o证采用数学归纳法。当k=2时A2 B-BA2 =(A2 BABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。归纳假设左=加时结论成立，即

22、AR3A? =加4%匚那么当左=加+ 1时，有A m+1 BBA ,n+1 =(A m+1 B-A l BA)+(A m BABA 向)=A 机(ABBA)+(A m B-BA ,n )A=A /n E+ m AF=(m + 1)A，。即左=根+1时结论成立.故对一切k 1结论成立。4 .证明：可逆变换是双射。T-lAT =1201JJ_、20J_56）因为 （日,鼻，&3）=（1，2，3）T 26 + V14z-2 + 3V14z-106-V14z、-2-3国，-1073即过渡矩阵为T= -126 + V14z-2 + 3 属-106-V14/-2-3 而：-10/，0且 T-= 000 V

23、14z00- V14Z；21.在Px （nl）中，求微分变换。的特征多项式，并证明。在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。x x解取Px 的一组基1出一,2(_)!那么0在此基下的矩阵为010.0、001.0D= 000.1、000.0?% -1 0 A 从而以一。|=0 0、0 001 00.0二4 ，.1故。的特征值是4 = 0（重），且0的属于特征值0的特征向量4只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故O在任一组基下的矩阵都不可能是对 角形。4 2、22.设 A= 0 -3 4 ,求A。4 3,4 2A + 3 - 4-4 2-3=(2-1)(2-5)(2

24、+ 5),于是只要记T=(X , X2, X3)二(100、-2T-AT= 000-5且B05k000 (-5)1-210AO05k000(-5)0 j_52512515 2-5 - 1 + (-1)k+5f 4 + (1 -12511 + (1产2-5 1 + (-1) 5KLi4 +(_)k+1zl 1解:因为|2E-A|= 00故A的特征值为4 =1,4 =5,4 = -5,且A的属于特征值1的一个特征向量为X1= (1,0,0), A的属于特征值5的一个特征向量为X2= (2,1,2), A的属于特征值-5的一个特征向量为X 3=(-2)。23.设邑,名, 3，%是四维线性空间V的一个

25、基，线性变换A在这组基下的矩阵为4 3 ) - 1 - -9-21 1A - - -1-23- A1) 求A的基7二句+ 2邑+邑+ %，%=2句+ 3邑+鼻，% =/，/ = A下的矩阵；2)求A的特征值与特征向量；3)求一可逆矩阵T,使T-AT成对角形。2解 1）由得（7，,%，/）= （G，4，4）J2 0 0、3 0 0八=(, 2，3，*4)X . 7 5 4 3-22 6-57 - 2 5 o o o O roo o O-X1A TX=B故求得A在基7,%,小，4下的矩阵为2) A 的特征多项式为 fW =愕 A| = |2E M =不(4 )(2 -1),所以a的特征值为4 =

26、4 =o,4 =,，儿=1。A的属于特征值2=0的全部特征向量为+公与，其中匕，七不全为零，且A的属于特征值丸二，的全部特征向量为/曷，其中出。0,且4 = 4g 24 + 、+6 oA的属于特征值2 = 1的全部特征向量为Z44,其中女4。0,且44 = 3句 + &2 + 邑24 3）因为-4-216-4-216311-2，23(= (192 3) ,0所求可逆阵为T=，23101101- 4-2163112，且 TAT =0为对角矩阵。24.1）设4,%是线性变换A的两个不同特征值，4是分别属于4，%的特征向量，证明:+2不是A的特征向量；2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非

27、零向量作为它的特征向量，那么A是数 乘变换。证1)由题设知(三)=冬三，且4假设与+邑是A的特征向量，那么存在；IwO使A ( q + 邑)+4) = % +屹2，A (+ ? ) = 4 Q + 2*2 +2，即 (4 + (4几) 0 o再由句，4的线性无关性，知4 一几=丸2 -2=。，即4 = 4 =丸2，这是不可能的。故 +邑不是A的特征向量。2)设V的一组基为4,那么它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值4,4 2 ,，丸，使Aj (i 1,2, ,)o由i)即知4=22=. = /l=Z。由，又有A(a) = Za (V e V),即证A是数乘变换。25.设V是复数域上的

28、n维线性空间，A, B是V上的线性变换，且Ab=A4.，证明：1)如过乙是A的一个特征值，那么匕.。是8的不变子空间；2) A,区至少有一个公共的特征向量。证1)设ae匕,那么=于是由题设知A(Ba )=B(A a )=B( A()a) = Z() (B a),故31匕，即证匕是3的不变子空间。 人。z03)由1)知匕。是B的不变子空间，假设记用匕。=% ,那么B.也是复数域上线性空间匕。的一个线性变换，它必有特征值()，使6()5= ()5 (5匕。,且3M0),显然也有A(3)= oB，故5即为A与5的公共特征向量。26.设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基句,J，,%下的矩阵是

29、一假设当块。证明:1）V中包含句的A-子空间只有V自身;2）V中任一非零A-子空间都包含与 ；3）证1）由题设，知V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。A（ %，）（ 22n）Asx =丸与 + s2A.e2 =几邑 + J .A* =i + Jan =/设W为A-子空间，且G W,那么Aj e W,进而有8? - As1 一鸡 Wn As2 g W,q = As2 一在2 WngW,eW,故 W=L ,2，.，n 二V。2）设W为任一非零的A-子空间，对任一非零向量a e W,有a =勺 + K J + + Kn不妨设勺w0,贝ijAa =勺4G+ k2As2 +. + kAj=勺（/k

30、 +2）+42（%2 +3）+K=Aa +KxS2 + K0 + + K_12 G W于是于是3 +3 + C W同理可得4卢3 +424 +4-2分 W,K2八GW从而J eW,即证V中任一非零的A-子空间W都包含j。3)设W,W2是任意两个非平凡的A-子空间，那么由2)知J Wi 且 j eW2,于是与eWjAW故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。27.求以下矩阵的最小多项式:勺0 P1) 0 1 0J 0 0,，0解1)设/1= 03 -1 -3、-1 31-33 -1 -3 1、1 31-3,0 P1 0 ,因为人2 一 =0,所以下-1是A的零化多项式，但0 0?A-wO,A

31、+EwO,故A的最小多项式为相八(4)=无-1 o2)因为/(%)= 4 旬=方，所以A的最小多项式为九抗心力之一,代入计算可得A的最小多项式为m八(4) = 22 o二补充题参考解答1 .设4,3是线性变换,A 2 = a, 3 2 =3证明：1) 如果(4+3)2 =a+b 那么 43=0；如果，AB=BA 那么(A+8-A5) 2 =A+BAB.证 1)因为 A 2 =4,2 =。(4+3) 2 =A+B由(A+8)2 =(A+B)(A+B)=A2 +AB+BA+B2,故 A+B=A +AB+BA+ B, 即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=ABBA= A2B-B2A=A2 B+

32、ABA= A (AB+BA)= A0=0所以AB=0.2)因为 A? =A, B? =B, AB=BA所以(A+bA3)之=(A+BAB) (A+BAB)=A2 i令 /(x) = a* +qx + 4，且q(i = 0/,2,不全为零，a (/(x) ) 7? o这就是说，在P印中存在一次数W I的多项式/(幻,使/(A)=()。即证。2)由题设知 d(x) = u(x)/(x) + u(x)g(x)因为 /(A) = 0, g(A) = 0 ,所以 d(A) = u(A)f(A) + v(A)g(A) =0。3)必要性,由1)知，在尸中存在一次数工几2的多项式/，使/(A) = o。即 2

33、2 ci A n +。21A”+,+ a, A+ 6Zn E0 fnn -1 u29假设。0 W ，那么f(X) - %2% +盘2T/T T卜平+ /即为所求。假设。0 = 0，因0 = 0,1,2,./2)不全为零，令是不为零的系数中下标最小的那一个，那么 22。2 4 +4 2-+。4+%)=0， 因A可逆，故存在nn -1i u +BA- AB A+ AB+ B2-AB2 -A2 B-BAB +ABAB=A+AB -AAB+ AB+ B ABAB-ABB +AABB=A+AB - A B + AB+ B ABABAB +AB=A+B- ABa2.设V是数域P上维线性空间，证明:由V的全

34、体变换组成的线性空间是小维的。证因昂昂，吗,，,，号,金是P的一组基，P是/维的。V的全体线性变换与Px同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是2维的。3,设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明：1)在Px中有一次数 2的多项式/(X),使/(A) = 0;2)如 果 f(A) = 09g(A) = 0,那 么 d(A) = 0,这里d(x)是(%)与g(x)的最大公因式.；A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式/(x)使f (A) = 0 o证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是几2维的，所以1+ 1个线性变换一定线性相关，即存在一组不全为零的数。2,。

35、2使22u 2 An + 6/ 21A” 1 + + ci, A+ ci( E0f nn -i uAT-1=(A，)T也存在,用(A，)T右乘等式两边, 22 *i得。2 A +。2 A / +.+：E=0 n1J22i令/(%)= an2 尤2T xH J + +% (cij wO),即/(x)为所求。充分性.设有一常数项不为零的多项式22 1/(x) = axn + 2Tx . + + axx + % (% w 0)使 /(A) = 0,即 ci A,m + ci i Am + ,卜A +cLqE = 01 In- 1IU所以+(2 1A,n + F % A = aE ,于是+ + %E)

36、A = E, g又 A 一 -L (金 4T + + % E) = ,()故A可逆。4.设A是线性空间V上的可逆线性变换。1)证明:A的特征值一定不为0;2)证明:如果/I是的A特征值，那么是A-的特征值。A证1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,那么矩阵A可逆,A的特征多项式/(2)为/(=，_(为+%+4)/1+(1)14 A可逆，故同W0。又因为A的特征值是的全部根，其积为网W0,故A的特征值一定不为0。2)设4是的 A 特征值，那么存在非零向量J ,使得44 = 4,用4一作用之，得4 = AW3 于是即,是A-的特征值。 A A5 .设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的

37、充要条件是4以零作为一个 特征值。证:设线性变换A矩阵为A,那么A的特征值之积为网o必要性，设网=0,那么A的特征值至少有一个为零，即一另为一个特征值。充分性，设A有一个特征值为=0,那么网=0。6 .设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1)如果/(工儿) = 1,2办那么A相似于一对角矩阵；2）如果4尸&2 =.=。，而至少有一七j wGJ。），那么A不与对角矩阵相似。 oU证：1）因为A的多项式特征是/=阿-川=（2口 /a公）（九- al，又因 an。aw。= L2明故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故A似于对角矩阵。2）假定相似,相似,（ Cl（.AiA= .与对角矩阵B二九

38、ClwaiJ.那么它们有相同的特征值彳1，42，2，因为A的特征多项式团=（），所以 =几=-二九=小， / 、由于B=Qu .=E是数量矩阵，它只能与自身相似，故A不可能与ClwJ对角矩阵相似。7 .证明:对任一 n x n复系数矩阵A，存在可逆矩阵T,使T-x AT证:存在一组基2 1，&，,&八，使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩 阵成假设尔当标准形J,且+ 后匕 ，外为二=d自八S -S -S 1 尸假设过度矩阵为P,那么P-lAP=J重排基向量的次序,使之成为一组新基即，,2”，,%,分,那么由新基到旧基的过渡矩阵为Q二B,、，其中外二J故A在此新基下的矩阵即为上三角形Q-PAP

39、)Q = Jr即存在可逆矩阵T=PQ,使厂区7成上三角形。8 .如果4,47,，4是线性空间V的两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量。，使4。,&。,，也两两不同。证令V= V,4a = A,。 （z, j = 1,2,s），因为4。= 4.0 = 0,0%,故、非空。又因为a，&，,，4两两不同，所以对于每两个4, a,而言，总存在一个向量，使 A”AjB，故%是V的非空真子集。设那么 Ag = Aa,A/ = A/ ,于是 4（。+ /?） = A/（a +，），即a + J3 e V. o J又Aj（ka） = ka = kAjCc = Aj（ka）,于是旌ze%,故是V的真子空间。

40、1）如果Vjj都是V的非平凡子空间，在V中至少有一个向量不属于所有的匕，设 JJ。e%（。= 1,2,5）,那么Ag= 1,2,$)， 证 设A是可逆变换，它的逆变换为A-。假设aWb ,那么必有AaWAb,不然设Aa=4b,两边左乘A,有a=b,这与条件矛盾。其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令A】b二a即可。因此,A是一个双射。6 .设句，4，.,3是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且 仅当线性无关。证 因4( , 4，% )=(4 J / 4，4 % )二(句，4， )4，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A4,%线性无关，故A可逆的充要条件是A ”4 4，4 %线