高等代数(北大版)第7章习题参考答案.doc

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1、_第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3） 在P中，A；4） 在P中，A；5） 在P中，A ；6） 在P中，A其中P是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A。8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.解 1)当时,是;当时,不是。2)当时,是;当时,不是。3)不是.例如当,时,A, A,A A(。4)是.因取,有A= A = = = A+ A，A A = A，故A是P上的线性变换。5) 是.因任取,并令则A= A=A+ A， 再令则A AA，

2、故A为上的线性变换。6)是.因任取则.A=AA，AA。7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵，则A(A+A，A(k)=A，故A是上的线性变换。2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,ABBA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z)，则有1) 因为Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-

3、y), Aa=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)，所以A=B=C=E。2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以AB=BA。4)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)

4、=(-x,-y,z)，所以(AB)AB。3.在Px 中，AB，证明:AB-BA=E。证 任取Px，则有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=所以 AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=A (k1)。证 采用数学归纳法。当k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2，结论成立。归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。即时结论成立.故对一切结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证 设A是

5、可逆变换，它的逆变换为A。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此,A是一个双射。6.设,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,A线性无关。证 因A(,)=(A,A,A)=(,)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,A线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；2) o; ,是平面上一直角坐

6、标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵；3) 在空间Px中，设变换A为，试求A在基= (I=1,2,n-1)下的矩阵A；4) 六个函数 =ecos,=esin，=ecos,=esin，=ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,6)下的矩阵；5) 已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；6) 在P中，A定义如下：，其中，求在基=(1,0,0

7、),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；7) 同上，求A在,下的矩阵。解 1) A=(2,0,1)=2+，A=(-1,1,0)=-+，A=(0,1,0)= ，故在基,，下的矩阵为。2）取=（1，0），=（0，1），则A=+，A=+，故A在基，下的矩阵为A=。又因为B=0，B=，所以B在基，下的矩阵为B=，另外，（AB）=A（B）=A=+，所以AB在基，下的矩阵为AB=。3）因为 ，所以A，A，A=，所以A在基,下的矩阵为A=。4）因为 D=a-b,D=b-a,，D=+a-b,D=+b+a,D=+a-b,D=+b+a，所以D在给定基下的矩阵为D=。5）因为(,)=(,，)，所以(,，)=

8、(,)=(,)X，故A在基,，下的矩阵为B=XAX=。6）因为(,)=(,，)，所以A(,)=A(,，),但已知A(,)=(,，)，故A(,，)=(,，)=(,，)=(,，)。7）因为(,，)=(,)，所以A(,)=(,)=(,)。8在P中定义线性变换A(X)=X, A(X)=X, A(X)= X, 求A, A, A在基E, E, E, E下的矩阵。解 因 AE=a E+cE, AE=a E+c E,AE=bE+dE, AE= bE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=。又因AE=a E+b E, AE= cE+dE,AE= aE+bE, AE= cE+d E,故A在基E, E,

9、 E, E下的矩阵为A=。又因AE= aE+abE+acE+bcE，AE= acE+adE+cE+cdE，AE= abE+bE+adE+bdE，AE = bcE+bdE+cdE+dE，故A在基E, E, E, E下的矩阵为。9.设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为A=，1) 求A在基下的矩阵；2) 求A在基下的矩阵，其中且；3) 求A在基下的矩阵。解 1)因A=+a， A=， A=，故A在基下的矩阵为。2)因 A=+， A(k)=+， A=+()+，故A在下的矩阵为 。3)因 A()=()()+()+()，A=()+()+，A=()+()+，故A基下的矩阵为。10. 设A是线性空间V上

10、的线性变换，如果A0,但A=0，求证：,A, A(0)线性无关。证 设有线性关系，用A作用于上式,得 A=0(因A对一切n均成立)，又因为A0,所以,于是有，再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,继续作用下去,便可得 ,即证,A, A(0)线性无关。11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A，求证A在某组下的矩阵是 。证 由上题知, ,A,A, A线性无关，故,A,A, A为线性空间V的一组基。又因为A A+ A，A(A)=+ A+ A+ A，A（A）=+ A+ A + A ，故A在这组基下的矩阵为 。12 设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变

11、换是数乘变换。 证 因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。证设A在基下的矩阵为A=()，只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且 ()=()X，则也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是，从而有AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。若取，则由A=A知=0(ij)，即得A=，再取=由A=A，可得 。故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。14.设,是四维线性空间V的一组基，

12、已知线性变换A在这组基下的矩阵为，1) 求A在基,下 的矩阵；2) 求A的核与值域；3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵；4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵。解 1)由题设,知 ()=(,)，故A在基下的矩阵为B=。2) 先求A(0).设 A(0)，它在,下的坐标为(,)，且A在,下的坐标为(0,0,0,0,)，则=。因rank(A)=2，故由 ，可求得基础解系为X=,X=。若令=(,)X，=(,)X，则即为A(0)的一组基，所以 A(0)=。再求A的值域AV。因为A=，A=，A=，A=，rank(A)=2，故A ,A

13、, A, A的秩也为2，且A ,A线性无关，故A ,A可组成AV的基，从而AV=L(A ,A)。4) 由2)知是A(0)的一组基，且知, 是V的一组基，又(, a, a)=(,)，故A在基, 下的矩阵为B= =。4) 由2)知A=, A=易知A, A,是V的一组基，且(A, A,)=(,)，故A在基A, A,下的矩阵为C=。15. 给定P的两组基 ，定义线性变换A: A=(=1,2,3)，1) 写出由基到基的过度矩阵；2) 写出在基下的矩阵；3) 写出在基下的矩阵。解 1)由()=()X，引入P的一组基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)，则()=(,)=(,)A，所以 (

14、)=(,)=(,)B=(,)AB，故由基到基的过度矩阵为X= AB=。2)因 A()=()=()，故A在基下的矩阵为A=。4) 因A()=A()X=()X，故A在基下的矩阵仍为X.。16.证明与相似，其中()是1,2,的一个排列。证 设有线性变换A，使 A=D，则A(,)=(,)=(,)D，于是D与D为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故与相似。17.如果A可逆,证明AB与BA相似。证 因A可逆,故A存在，从而A(AB)A=( AA)BA=BA，所以AB与BA相似。18.如果A与B相似，C与D相似，证明：。证 由已知，可设B=XAX, D=YCY，则=，这里=，故与相似。19.求复数域上线性

15、变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为：1)A= 2)A= 3)A= 4)A=5)A= 6)A= 7)A=解 1)设A在给定基,下的矩阵为A，且A的特征多项式为=-5-14=()()，故A的特征值为7，-2。先求属于特征值=7的特征向量。解方程组，它的基础解系为，因此A的属于特征值7的全部特征向量为k (k)，其中=+。再解方程组，它的基础解系为，因此A的属于特征值-2的全部特征响向量为k(k)，其中=4-5。2)设A在给定基,下的矩阵为A，且当a=0时，有A=0，所以=，故A的特征值为=0。解方程组，它的基础解系为,，因此A的属于特征值0的两个线性无关特征向量为=

16、，=，故A以V的任一非零向量为其特征向量。当a0时，=+=()()，故A 的特征值为=， = -。当=时，方程组的基础解系为，故A 的属于特征值的全部特征向量为k(k)，其中=-+。当= -时，方程组的基础解系为，故A 的属于特征值-的全部特征向量为 (k)，其中=+。3)设A在 给定基,下的矩阵为A，因为=()()，故A的特征值为=。当时,相应特征方程组的基础解系为X，故A 的属于特征值2的全部特征向量为 + (k不全为零)，其中=+，=+，=+。当时，特征方程组的基础解系为X，故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 (k)，其中=-。4） 设A 在给定基下的矩阵为A，因=()()()，故A

17、的特征值为=2，=1+，1-。当=2时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值2的全部特征向量为 (k)，其中=-。当=1+时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值1+的全部特征向量为 (k)，其中=-+(2)。当=1-时, 方程组的基础解系为，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 (k)，其中=-+(2)。5) 设A 在给定基下的矩阵为A，因=()()，故A的特征值为。当，方程组的基础解系为，故A的属于特征值1的全部特征向量为，其中,。当时，方程组的基础解系为，故A的属于特征值-1的全部特征向量为，其中。6) 设A 在给定基下的矩阵为A，因=，故A的特征值为。当时，方程组的基础解系为，

18、故A的属于特征值0的全部特征向量为，其中。当时，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值的全部特征向量为，其中。当时，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值的全部特征向量为，其中。7) 设A 在给定基下的矩阵为A，因=()()，故A的特征值为。当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值1的全部特征向量为，其中。当，该特征方程组的基础解系为，故A的属于特征值-2的全部特征向量为，其中。20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T，并验算TAT。解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量

19、,故上题中1)6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T。1) 因为() ，所以过渡矩阵T=，TAT=。，T=，TAT=。3)因为()=()，过渡矩阵T=，TAT=。4)因为(=(，过渡矩阵T=，T。5)因为 (=()，过渡矩阵 T=，。6)因为 (,即过渡矩阵为 T=,且T。21.在Px(n1)中,求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。解 取Px的一组基1,x,，则D在此基下的矩阵为D=，从而，故D的特征值是重)，且D的属于特征值0的特征向量只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n，故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。

20、22.设 A=，求A。 解:因为(，故A的特征值为，且A的属于特征值1的一个特征向量为X，A的属于特征值5的一个特征向量为X，A的属于特征值-5 的一个特征向量为X 。于是只要记T=(X，则 T，且 B。于是A = 。23.设是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为 A。1) 求A的基，下的矩阵；2) 求A的特征值与特征向量；3) 求一可逆矩阵T,使T成对角形。解 1)由已知得(，故求得A在基下的矩阵为B=X。2) A的特征多项式为， 所以A的特征值为。 A的属于特征值的全部特征向量为，其中不全为零，且 。 A的属于特征值的全部特征向量为，其中，且 +6。 A的属于特征值的全部特

21、征向量为,其中，且。3）因为（， 所求可逆阵为 T=，且 T为对角矩阵。24.1)设是线性变换A的两个不同特征值，是分别属于的特征向量，证明：不是A的特征向量；2)证明:如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。证 1)由题设知A, A, 且，若是A的特征向量，则存在使A（）=，A（）=，即 。再由的线性无关性，知，即，这是不可能的。故不是A的特征向量。2）设V的一组基为，则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征值 使 A 。由1）即知。由已知，又有A ，即证A是数乘变换。25.设V是复数域上的n维线性空间，A，B是V上的线性变换，且AB=BA.，证

22、明：1) 如过是A的一个特征值，那么是B的不变子空间；2) A，B至少有一个公共的特征向量。证 1)设，则A，于是由题设知 A(B)=B(A)=B(B)，故B，即证是B的不变子空间。3) 由1)知是B的不变子空间，若记B|=B，则B也是复数域上线性空间的一个线性变换，它必有特征值使BB=B (B,且B)，显然也有A(B)= B，故B即为A与B的公共特征向量。26. 设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基下的矩阵是一若当块。证明：1) V中包含的A-子空间只有V自身；2) V中任一非零A-子空间都包含；3) V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。证 1)由题设,知A()=()，即，设

23、W为A-子空间,且W,则W， 进而有 WW， WW， . W，故W=L=V。2)设W为任一非零的A-子空间,对任一非零向量W,有 不妨设,则A =()+()+ =W于是 W同理可得 W，W从而W，即证V中任一非零的A-子空间W都包含。3）设WW是任意两个非平凡的A-子空间，则由2）知W且W,于是WW，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。27求下列矩阵的最小多项式： , 2)解 1)设，因为A-E=0，A的零化多项式，但A-E,A+E，故A的最小多项式为。2)因为，所以A的最小多项式为之一,代入计算可得A的最小多项式为。二 补充题参考解答1. 设A,B是线性变换, A= A, B=B证明

24、:1) 如果(A+B) =A+B那么AB=0; 2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)=A+B-AB.证 1)因为A= A, B=B, (A+B) =A+B由(A+B) =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ B,故A+B= A +AB+BA+ B,即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0所以AB=0.2) 因为A= A, B=B, AB=BA所以(A+B-AB)= (A+B-AB) (A+B-AB)= A+BA- AB A+ AB+ B- AB-AB-BAB +ABAB= A+AB - AA B + AB

25、+ B- AB-AB-ABB +AABB= A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB= A+B- AB。2. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是维的。证 。V的全体线性变换与同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是维的。3. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:1) 在中有一次数的多项式,使;2) 如果,那么,这里；3) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式。证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是维的，所以+1个线性变换A,A,、,A,E，一定线性相关,即存在一组不全为零的数使A+A+A+E=0，

26、令,且。这就是说，在中存在一次数的多项式,使。即证。2)由题设知因为，所以=0。3)必要性.由1)知,在中存在一次数的多项式,使。即A+A+A+E=0，若即为所求。若，A+A+A+E=0， A可逆，故存在，得A+A+E=0令+，即为所求。充分性.设有一常数项不为零的多项式使，即，所以，于是，又，故A可逆。4. 设A是线性空间V上的可逆线性变换。1) 证明: A的特征值一定不为0；2) 证明:如果是的A特征值，那么是的特征值。证 1)设可逆线性变换A对应的矩阵是A,则矩阵A可逆,A的特征多项式为，A可逆 ,故。又因为A的特征值是的全部根，其积为,故A的特征值一定不为0。2)设是的A特征值,那么存

27、在非零向量,使得。5.设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特征值。证:设线性变换A矩阵为A,则 A的特征值之积为。必要性，设,则A的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值。充分性，设A有一个特征值,那么。6. 设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1) 如果,那么A相似于一对角矩阵；2) 如果，而至少有一，那么A不与对角矩阵相似。证：1)因为A的多项式特征是 =，又因，故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故A似于对角矩阵。2)假定 A=与对角矩阵B=相似，则它们有相同的特征值,因为A的特征多项式 =，所以,由于 B=是数量矩阵，它只能与自身相似，

28、故A不可能与对角矩阵相似。7.证明:对任一复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使 证:存在一组基,使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩阵成若尔当标准形J，且 ， ，若过度矩阵为P，则 ，重排基向量的次序，使之成为一组新基，则由新基到旧基的过渡矩阵为 Q=，其中B=，于是 )=)，故在此新基下的矩阵即为上三角形 即存在可逆矩阵T=PQ,使成上三角形。8. 如果是线性空间V的两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量,使也两两不同。证 令V ()，因为，故非空。又因为两两不同,所以对于每两个而言,总存在一个向量,使，故是V的非空真子集。设，于是，即。又，于是，故是V的真子空间。1)如果都是V的非平凡子

29、空间,在V中至少有一个向量不属于所有的,设则()，即证: 存在向量使两两不同。2)如果中有的平凡子空间，则只能是零空间。对于这种,只要取，就有,故这样的可以去掉。因而问题可归于1),即知也存在向量使两两不同。 。证 因为是设的维数为r,的维数为s.今在中取一组基把它扩充成的一组基,则=，且线性无关，所以。10.设：()()+。证 在A,B,则线性变换AB。因为,A,B,AB的秩,所以对于矩阵A,B,AB有(AB)(A)+，故对于,()()+。11.设：1)；2) 。证1)必要性，若，于是，。同理可证 。充分性，若,任取，于是，同理可证,故。2)必要性.若对任意,作向量,因为 ()=-=0，所以 又(=，所以，由的任意性，故有。作向量,则=，所以。又。充分性，若，知。同理可证，即证。32_