高等代数(北大版)第5章习题参考答案.docx

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1、第五章 二次型1用非退化线性替换化以下二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1；2；3；4；5；6；7。解 1 ，先作非退化线性替换 1那么再作非退化线性替换 2那么原二次型的标准形为 最后将2代入1，可得非退化线性替换为 3于是相应的替换矩阵为且有 2，由配方法可得于是可令那么原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为且有 3，由配方法可得于是可令那么原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为且有4，先作非退化线性替换那么再作非退化线性替换那么再令那么原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为且有5，先作非退化线性替换那么再作非退化线性替换即那么原二次型的标准

2、形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为且有 6由配方法可得于是可令那么原二次型的标准形为且非退化线性替换为故替换矩阵为且有 7，由配方法可得于是可令那么原二次型的标准形为且非退化线性替换为相应的替换矩阵为且有 把上述二次型进一步化为标准形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解 1已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为（1） 在实数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为（2） 在复数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为 2已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的标准形和复数域上的标准形 3已求得二次型的标准形为且

3、非退化线性替换为（1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为标准形，即（2） 在复数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为（3） 已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为（1） 在实数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为2在复数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为5已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为（1） 在实数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为（2） 在复数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为 6已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为1在实数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为2在复数域上，假设作非退化线性替换可

4、得二次型的标准形为7已求得二次型的标准形为且非退化线性替换为1在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为标准形，即（2） 在复数域上，假设作非退化线性替换可得二次型的标准形为 2证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。 证 由题设知且，于是存在可逆矩阵使且为对角阵，又因为均为可逆矩阵，所以有其中 于是因且即都是对称矩阵，故可表成个秩为1的对称矩阵之和。3证明： 及 合同，其中是的一个排列。证 题中两个矩阵分别设为，及它们相应的二次型分别为作非退化的线性替换那么可化成。故及合同。 4设是一个阶矩阵，证明： 1是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。 2如果是对称矩阵，且对任

5、一个维向量有，那么。 证 1必要性。因为，即，所以由于，故 充分性。因为，有，即这说明原式是一个多元零多项式，故有即。 2由于是对称的，且，即这说明为一个多元零多项式，故有即。5如果把实阶对称矩阵按合同分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解 实对称矩阵及合同的充要条件为存在可逆矩阵及使 下面考虑对角矩阵的相应二次型的合同分类情况，在中可分为共计个合同类。但秩又可分别取，故共有个合同类。6证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。证 必要性。设其中均为实数。1） 假设上式右边的两个一次式系数

6、成比例，即不失一般性，可设，那么可作非退化线性替换使二次型化为故二次型的秩为1。2） 假设两个一次式系数不成比例，不妨设，那么可作非退化线性替换使再令那么二次型可化为故二次型的秩为2，且符号差为0。充分性。1假设的秩为1，那么可经非退化线性替换使二次型化为其中为的一次齐次式，即且2假设的秩为2，且符号差为0，那么可经非退化线性替换使二次型化为故可表成两个一次齐次式的乘积。7判断以下二次型是否正定：1；2；3；4。解 1二次型的矩阵为因为故原二次型为正定二次型。2） 二次型的矩阵为因为，所以原二次型非正定。3） 记二次型的矩阵为，其中即由于的任意阶顺序主子式所对应的矩阵及为同类型的对称矩阵，且故

7、原二次型为正定二次型。4） 记二次型的矩阵为，那么的级顺序主子式为故原二次型为正定二次型。8取什么值时，以下二次型是正定的：12解 1二次型的矩阵为因为的各阶顺序主子式为当原二次型为正定时，有解上面不等式组，可得。 2二次型的矩阵为当的所有顺序主子式都大于零时，即由原二次型为正定得但此不等式组无解，即不存在值使原二次型为正定。 9证明：如果是正定矩阵，那么的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标及列指标一样的子式。 证 设正定矩阵，作正定二次型，并令那么可得新二次型由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故的一切级主子式。 10设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，是正定矩阵。证它的级顺序主子

8、式为当充分大时，为严格主对角占优矩阵的行列式，且，故，从而是正定的。 11证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵。证 因是正定矩阵，故为正定二次型，作非退化线性替换，又也是对称矩阵，故从而为正定二次型，即证为正定矩阵。 12设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使证 因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使且在标准形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令那么可得一线性方程组由于，故可得唯一组非零解使即证存在，使。 13如果都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。 证 因为为正定矩阵，所以为正定二次型，且因此于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。 14证明：二次型是半正定的

9、充分必要条件是它的正惯性指数及秩相等。 证 必要性。采用反证法。假设正惯性指数秩，那么。即 假设令那么可得非零解使。这及所给条件矛盾，故。充分性。由，知故有，即证二次型半正定。 15证明：是半正定的。 证 可见：1） 当不全相等时2） 当时故原二次型是半正定的。 16设是一实二次型，假设有实维向量使证明：必存在实维向量使。 设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型其中为1或-1。由，必存在两个向量使 和 ，故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有个1，个-1，且，即这时及存在三种可能：下面仅讨论的情形，其他类似可证。 令， ， ，那么由可求得非零向量使即证。17是一个实矩

10、阵，证明：证 由于的充分条件是及为同解方程组，故只要证明及同解即可。事实上即证及同解，故 注 该结论的另一证法详见本章第三局部补充题精解第2题的证明，此处略。一、 补充题参考解答1 用非退化线性替换化以下二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1；2；3；4，其中。解 1作非退化线性替换即，那么原二次型的标准形为且替换矩阵使其中2假设那么于是当为奇数时，作变换那么且当时，得非退化替换矩阵为当时，得非退化替换矩阵为故当为奇数时，都有 当为偶数时，作非退化线性替换那么于是当时，得非退化替换矩阵为于是当时，得非退化替换矩阵为故当为偶数时，都有3） 由配方法可得于是可令那么非退化的线性替换为且原二次型的

11、标准形为相应的替换矩阵为又因为所以4） 令那么由于那么 原式其中所作非退化的线性替换为故非退化的替换矩阵为又所以2 设实二次型证明：的秩等于矩阵的秩。 证 设，因下面只需证明即可。由于，故存在非退化矩阵使 或 ，从而令那么由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。即证。3 设其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。 证 设 ，的正惯性指数为，秩为，那么存在非退化线性替换使得下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是上式要成立，必有这就是说，对于这组非零数，有这及线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 同理可证负惯性指数，

12、即证。4 设是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数及一样的矩阵。 证 只要令，那么 ，注意到那么有即证。5 设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵 证 采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。 当时故及合同，结论成立。 假设时结论成立，今考察的情形。这时如果最后一行列元素全为零，那么由归纳假设，结论已证。假设不然，经过行列的同时对换，不妨设，并将最后一行和最后一列都乘以，那么可化成再将最后两行两列的其他非零元化成零，那么有由归纳假设知 及 合同，从而合同于矩阵再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。6 设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个

13、实维向量都有证 因为令，那么利用可得其中，即证。 7主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：及的对应顺序主子式有一样的值；2证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；3利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，那么是正定二次型。证 1采用归纳法。当时，设那么考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为及的各阶顺序主子式一样，故此时结论成立。归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵其中为特殊上三角矩阵。于是由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式及的顺序主子式有一

14、样的值，而的阶顺序主子式就是，由知的阶顺序主子式也及的阶顺序主子式相等，即证。 2设阶对称矩阵，因，同时对的第一行和第一列进展一样的第三种初等变换，可以化成对称矩阵于是由1知，从而，再对进展类似的初等变换，使矩阵的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过假设干次行列同时进展的第三种初等变换，便可以将化成对角形由于每进展一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵，左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在，使，命题得证。 3由2知，存在使又由1知的所有顺序主子式及的所有顺序主子式有一样的值，故所以。所以因是非退化线性替换，且由于都大于零，故是正定的。 8。证

15、明：1如果是正定二次型，那么是负定二次型； 2如果是正定矩阵，那么这里是的阶顺序主子式； 3如果是正定矩阵，那么 4如果是阶实可逆矩阵，那么 证 1作变换，即那么因为是正定矩阵，所以是负定二次型。 2为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1知是负定二次型。注意到又因，所以当时，有综上有，即证。 3由2得 4作非退化的线性替换，那么为正定二次型，所以是正定矩阵，且再由3便得9.证明：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零所谓阶主子式，是指形为的级子式，其中。证 必要性。取的任一个阶主子式相应的矩阵对应的二次型为令，代入，得故存在非退化矩阵使其中。故充分性。设的主子式全大于或等于零，任取的第个顺序主子式相应的矩阵作由行列式性质，得其中是中一切阶主子式的和，由题设，的一切阶主子式，所以。故当时，有即当时，是正定矩阵。假假设不是半正定矩阵，那么存在一非零向量，使。于是令那么这及时为正定矩阵矛盾，故为半正定矩阵。第 13 页