2022年高中数学求函数值域的解题方法总结.docx

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1、精品_精品资料_求函数值域的解题方法总结（16 种）在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.一、观看法：通过对函数定义域、性质的观看,结合函数的解析式,求得函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 y323x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：依据算术平方根的性质,先求出2 - 3x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品_精品资料_解： 由算术平方根的性质知2 - 3x0 ,故 32 - 3x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 算术平方根具有双重非负性,即： （ 1）、被开方数的非负性, （ 2）、值的非负性.此题通过直接观看算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明白,不失为一种巧发.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 yx 0x5 的值域.（答案：0,1,2,3,4,5 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、反函数法：当函数的反函数存在时,就其反函数的定义域就是原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、_精品资料_例： 求函数 yx1的值域.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨: 先求出原函数的反函数,再求出其定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 明显函数 yx1 的反函数为： xx22 y1 ,其定义域为 y1y1的实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 y 的值域为y | y1, yR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法表达逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.可编辑资料 - - -

4、 欢迎下载精品_精品资料_练习: 求函数 y10 x10 x10-x10-x的值域.（答案：y | y-1或y1 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 y- x2x2 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨: 将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由- x 2x20 可知函数的定义域为x | -1x2 .此时- x 2x2 =可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2-x - 1 2094- x 2x23,即原函数的值域为2y | 0y 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用,而且要特殊留意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： y2 x - 515 - 4x的值域.（答案：y | y3 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、判别式法：如可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数,可用判别式法求函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品_精品资料_例: 求函数 y2 x12 x2 x的值域.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：将原函数转化为自变量的二次方程, 应用二次方程根的判别式法求原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由 y2 x1=2=2得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 x21x2 x1x23x2yx23 yx2 y20当 y0 时, -2 = 0,不成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y0 时,由0 ,得 3 y 24 y2 y2 = y28y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y8 或 y0由于 y0可

7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y2x12的值域为y | y8或y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 把函数关系化为二次方程F x, y0 ,由于方程有实数解,故其判别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式 为 非 负 数 , 可 求 得 函 数 的 值 域 . 常 适 用 于 yaxbxc及222dxexf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yaxbcxdxe .可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 y=2 x的值域.（答案：33）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23y |y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、最值法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于闭区间a, b上的连续函数 yf x,可以求出 yf x在区间a, b 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的较值,并与边界f a , fb 作比较,求出函数的值,可得到函

9、数y 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 已知2x 2- x - 33x 2x10 ,且满意 xy1,求函数 zxy3x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域.点拨： 依据已知条件求出自变量x 的取值范畴,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 3x 2x10 ,上述分式不等式与不等式2x 2 - x - 30 同解,解之得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- 1x3 ,又 x2y1,将

10、y=1-x 代入 zxy3x中,得z-x 24x - 1x3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z- x - 2 24 且 x- 1 3,函数 z 在区间 -1 3上连续,故只需比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界的大小.当 x=-1 时, z=-5 .当 x3 时, z21515 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 z 的值域为z | -5z.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题是将函数的值域问题转化为函数的

11、值.对开区间,如存在值,也可通过求值而获得函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 如 x 为实数,就函数 yx 23x - 5 的值域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.,B.7,C. 0,D. 5,答案： D）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 y4 x -1 - 3x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

12、品资料_点拨：由已知的函数是复合函数, 即g x- 1 - 3x ,yf xg x 其定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1 ,在此区间内分别争论函数的增减性,从而确定函数的值域.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 fx=4x,g x-1 - 3x , x1 , 易知它们在定义域内为增函数,从而3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y f xg x=4 x -1 - 3x在 定 义 域 为x 1上 也 为 增 函 数 , 而 且3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11y fg

13、334 , 因此,所求的函数值域为 y|y 4 .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：利用单调性求函数的值域, 是在函数给定的区间上, 或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性, 求出其函数在区间端点的函数值, 进而可确定函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 y34 - x的值域. 答案： y|y 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、换元法：以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 yx - 32x1 的值域.可编

14、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数, 利用二次函数的最值, 确定原函数的值域.解： 设t2x1 （t 0）, 就2xt- 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2于是 yt 2 -1- 3t22t14147 .222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,原函数的值域为 y|y -7 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法表达换元、化归的思想

15、方法.它 的应用特别广泛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 y八、构造法 :x -1 - x的值域.（答案： y|y -3 ）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据函数的结构特点,给予几何图形,数形结合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 yx24x5x 2 - 4x8 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22点拨： 将原函数变形,构造平面图形,由几何学问,确定出函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 原函数变形为 f xx212 - x22 构作一个长为 4、宽为 3可编辑资

16、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2的矩形 ABCD,再切割成 12 个边长为 1 的正方形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 HK=x,就 EK =2-x,KF=2+x,AK=2 - x222,KC=x21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由三角形三边关系知, AK+KCAC=5.当 A、K、C 三点共线时取等号.原函数的知域为 y|y 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 对于形如函数 yx 2ac- x 2b a,b,c均为正数 ,均可通过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_构造几何图形, 由几何的性质, 直观明

17、白、便利简捷.这是数形结合思想的表达.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 yx295x 24 的值域.（答案： y|y 52 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_九、比例法：对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式, 代入目标函数,进而求出原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 已知 x,y R,且 3x-4y-5=0, 求函数 zx 2y2 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨： 将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_解： 由 3x-4y-5=0 变形得,x=3+4k,y=1+3k,x - 34y -13k k 为参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z x 2y234k 213k 25k3 21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当k- 3 时, x 53 , y5- 4 时,5zmin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数的值域为 z|z 1 .点评： 此题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,

19、这种解题方法表达诸多思想方法, 具有肯定的创新意识.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知 x,y R,且满意 4x-y=0, 求函数 fx,y= fx,y|fx,y1）.十、利用多项式的除法2x 2 - y 的值域.（答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 求函数 y3x2 的值域.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨： 将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： y3x2 = 3 -1.x1x1可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品_精品资料_ 10 ,故 y 3.x1函数 y 的值域为 y3 的一切实数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 对于形如 yaxb 的形式的函数均可利用这种方法.cxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 y十一、不等式法2x -1 的值域.（答案： y 2） x - 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx例： 求函数 y33的值域.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨： 先求出原函数的反函数,依据自变量的取值范畴,构造不等式.可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品_精品资料_解： 易求得原函数的反函数为 y（ 1-x 0）解得, 0 x1.函数的值域（ 0,1）.x3log 1-x, 由对数函数的定义知x01 - x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 考查函数自变量的取值范畴构造不等式（组）或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域.不等式法是重要的解题工具,它的应用特别广泛.是数学解题的方法之一.2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数yx2-1的值域,（答案：y | y1或y0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十二、图象法2通过观看函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域

22、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例: 求函数 yx1x - 2的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨： 依据肯定值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.解： 原函数化为 y=-2x+1x -1y=3-12画出其图像可得函数值y 3.函数值域 3 , .点评： 分段函数应留意函数的端点. 利用函数的图象求函数的值域, 表达数形结合的思想.是解决问题的重要方法.十三、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例1: 求函数ye1 的值域.xx可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_e解：由原函数式可得： exy1y - 1ex0y1y1解得：-1y1故所求函数的值域为-1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2: 求函数ycosx sinx - 3的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由原函数式可得： y sin x3ycosx3y ,可化为： y1 sin x x3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin x x即y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x

24、x 3y21即y12y解得：4故函数的值域为1,11242 ,244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十四、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例1: 求函数y x2 2 x8 2的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化简得：y| x2 | x8 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,B 8 间

25、的距离之和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由上图可知,当点P在线段AB上时,y| x2 | x8 | | AB | 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, y| x2 | x8 | | AB | 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为：10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2: 求函数yx 26x13x 24x5 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222解：原函数可变形为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx302 x2 01可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成x 轴上的点Px ,0到两定点A 3,2, B2, 1的距离之和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知当点P为线段与x 轴的交点时,y min| AB | 32 2 21 243 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的值域为43,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3: 求函数yx 26x13x 24x5 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将函数变形为： y x3

27、202 2 x2 2 01 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点B2,1 到点P x, 0 的距离之差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：y|AP | BP |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可知：（1）当点P在x 轴上且不是直线AB与x 轴的交点时,如点P ,就构成ABP ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据三角形两边之差小于第三边,有| AP|BP| AB | 32 2 21 226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：26y26可编辑资料 - - -

28、欢迎下载精品_精品资料_（2）当点P恰好为直线AB与x 轴的交点时,有|AP | BP |AB |26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,可知函数的值域为：26,26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：由上例可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,就要使A,B两点在x 轴的同侧.如：例3 的A,B两点坐标分别为：（3,2）, 2, 1 ,在 x 轴的同侧.例18的A,B两点坐标分别为（3,2）,2, 1 ,在x 轴的同侧.十五、一一映射法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y原理：由于axb ccxd

29、0在定义域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中,如知道一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个变量范畴,就可以求另一个变量范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例：求函数13x2x1的值域.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：定义域为x | x或x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y13xx由2x1 得1y1x1 y2y31y1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故2y32 或2y3233y或y解得2233,故函数的值域为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十六、多种方法综合运用可编辑资料 -

30、- - 欢迎下载精品_精品资料_y例1：求函数解：令txx2x32 t的值域.0 ,就x3t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）当ty0 时,t1t 211tt12,当且仅当t=1,即x10y1时取等号,所以2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）当t=0 时,y=0.综上所述,函数的值域为： 注：先换元,后用不等式法0, 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1x12x 22x 2x 3x 4x 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例2： 求函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y解：12x 2x

31、42x 2x 4xx 312x 2x 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221x 21xx21x21x 2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xtan21x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x 21 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycos2sinsin1sin221174161y maxsin 2171sin12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当4 时,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当sintan1时,y min22, 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时2都存在,故函数的值域为16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin的有界性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载