2022年高中数学函数解题技巧方法总结.docx

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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样 两点必需同时具备 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3（答：0, 22 , 33, 4 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零. 指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.正切函数 ytanxxR, 且xk, k2余切函数 ycot x

2、xR,且xk, k反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1,值域是 0,函数 yarctgx的定义域是 R ,值域是. ,函数 yarcctgx的定义域是 R , 值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域.3. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：函数f x的定义域是a, b , ba0,就函数F xf xf x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域是.（答： a, a

3、）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数定义域的求法： 已知 yf x 的定义域为m, n,求 yf g x的定义域, 可由 mg xn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出 x 的范畴,即为 yf gx的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如函数 yf x 的定义域为1 ,22,就 flog 2x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 由函数 yf x 的定义域为1

4、 ,22可知： 1x22 .所以 yf log 2x 中有 12log 2 x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 依题意知：解之,得1logx2 222x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f log 2 x 的定义域为 x |2x44、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y=2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例、求函数 y= x2 -2

5、x+5 ,x-1 ,2 的值域.3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. ybk+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx 2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. yx2mxnx2mxnx2mxn型 通常用判别式可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_d. y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y= 3 x5 x4 值域.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 求函数 y= eex

7、1 , y2sin1 ,11siny2sin1 的值域.1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex11yyex0ex11y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2sin1| sin| | 1y |1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1sin2y2sin12sin11cosyy1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2siny cos1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4y2sinx1y,即sinx1y4y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 sinx1知1y14 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品_精品资料_解不等式,求出 y,就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5例求函数 y= 2log3x1 （ 2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例 求函数 y=x+x1 的值域.8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了

9、然,赏心悦目.22例：已知点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y的取值范畴x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1 令 yx2k, 就ykx2,是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y=x22 +x28 的值域.可编辑资料

10、- - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数可化简得： y=x-2 + x+8上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和.由上图可知：当点 P 在线段 AB上时,y=x-2 + x+8=AB=10当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时, y=x-2 +x+8 AB=10故所求函数的值域为： 10 , +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例求函数 y=26 x13 +x4 x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：原函数可变形为： y=x 320 2 +x2220

11、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式可看成 x 轴上的点 P（x,0）到两定点 A（ 3, 2）,B（-2 ,-1 ）的距离之和,由图可知当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2点 P 为线段与 x 轴的交点时,ym in = AB=3 2故所求函数的值域为 43 ,+）.注：求两距离之和时,要将函数9 、不等式法22 1=43 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用基本不等式 a+b 2ab ,a+b+c3 3abc （ a, b,c R ）,求函数的最值,其题型特点解析可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：x 2=x22 x0x113 3 x 2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式a+b+c33 abc 时,留意使3者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=xx 3-2x xx+3-2x 313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式 ab

13、c10. 倒数法 abc 3 时,应留意使3者之和变成常数） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y=xx2 的值域3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x22x20时, y=00y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题

14、型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： fx1exx,求 f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令tx1,就 t02xt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f t f xet 2 1ex 2 1t 21x 21 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

15、品资料_6. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x.互换 x、y.注明定义域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求函数f x 1xxx 2x0的反函数0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： f1xx1x1）xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利.请看这个例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022. 全国理 函数 yx11 x1) 的反函数是（ B）可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ay=x2 2x+2 x1By=x22x+2 x1Cy=x2 2x x=1.排除选项 C,D. 现在看值域.原函数至于为 y=1, 就反函数定义域为 x=1,答案为 B.我题目已经做完了, 似乎没有动笔（除非你拿来写 * 书）.思路能不能明白了？7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y,x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于

17、直线 yx 对称.储存了原先函数的单调性、奇函数性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设yfx的定义域为A ,值域为C, aA , bC,就 fa = bf 1 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 f af 1 ba, f f1bf ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（04.上海春季高考）已知函数f x4log 3 x2 ,就方程f1 x4 的解 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

18、品资料_8 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求(2) 参照图象：f x1 f x2 x1x2的正负号或者f x1f x2与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性. （特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反的单调

19、性.（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的.当 c0 时,它们是反向变化的.假如函数 f1x ,f2x同向变化,就函数 f1x f2x 和它们同向变化.（函数相加）假如正值函数 f1x,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化.假如负值函数f12 与f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们反向变化.（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数与fx1f x在 fx的同号区间里反向变化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 u x

20、,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的.如函数 u x,x, 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减1的.（同增异减）如函数 yfx是严格单调的,就其反函数 xfy 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fggxfgxfx+g xfx*g x都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求ylog 12x 22x的单调区间可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（设ux 22x,由 u0就0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 log 1 u2, ux11,如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uO12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当x 当x） 0, 1 时, u 1, 2 时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2,y,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间a,b内

22、,如总有f x0就f x为增函数.（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 aA. 00,函数f xxax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（令f x3x 2a3 xaxa033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就xa或xa 33由已知f x 在1,a 的最大值为 3）上为增函数,就a1,即a3 3

23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下结论：（1） 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（2） ）如fx 是奇函数且定义域中有原

24、点,就f00.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：如f xa 2 xxa2 为奇函数,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（f x 为奇函数,xR,又 0R,f 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 20a2即00 , a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：f x 为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0 ,1时, f x 2x,x41可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_求f x 在 1,1 上的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（令x1, 0 ,就x0 ,1, f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f x为奇函数,f x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx41142 xx1, 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f 00, f x4 x12 x4 x1x0）x0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数

26、为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算性.f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x三、复合函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fggxfgxfx+g xfx*g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非偶奇非奇偶偶偶偶偶奇奇奇奇偶12.

27、 你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数, T 是一个周期.）如：如f xaf x,就（如存在实数T（ T0）,在定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： f x是周期函数, T2a为f x的一个周期）我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这f x f xt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个函数周期 2t.推导：f xt f x2 t 0f x f x2t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时可能也会

28、遇到这种样子： fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到.比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：又如：如 fx图象有两条对称轴x a, xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f axf ax,f bxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xf 2axf 2bxf 2axf 2bx可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,函数f x以2 | ba |为周期因不知道 a, b的大小关系 ,为保守起见 ,我加了一个肯定值13. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x 的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_f x与f x的图象关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f1 x 的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y ）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2ax的图象关于 直线xa 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2ax 的图象关于 点 a, 0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢

31、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将yf x 图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa上移bb下移bb0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧.对于这种题目,其实 根本不用这么麻烦. 你要判定函数 y-b=fx+a怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标. 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了.）留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f

32、x|f x | 把x轴下方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf | x |把y轴右方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作出ylog2 x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy=log 2xO1x14. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）一次函数：ykxbk0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）反比例函数：的双曲线.ykk x0 推广为