2022年高中数学--函数定义域-值域解题方法纳.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的三要素：对应法就、定义域、值域只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数；例：判定以下各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1y 1x3x5 y2xx51 解：不是同一函数,定义域不同x32；y1x1x1y2x25x1解：不是同一函数,定义域不同3；fx xgx 解：不是同一函数,值域不同32x4fx xFx x 3解：是同一函数x5f1x52f22x解：不是同一函数,定义域、值域都不同关于复合函数设 fx=2x 3 gx=x2+2 就称 fgx或 gfx为复合函数；fgx=2x2+2 3=2x2+1 gfx=2x 32+2=4

2、x212x+11 例：已知： f x= x 2 x+3 求： f1 fx+1xfx+1=x+12x+1+3=x2+x+3解： f1=121+3xxx1. 函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数或式大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；y tan . x R , 且 x k , k 正切函数 2余切函数 y cot x x R , 且 x k , k反三角函数的定义域 有些地方不考反三角 , 可以不理 , 函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ,值域是 2 2 ,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, ,

3、, 函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 2 2,函数 yarcctgx 的定义域是 R ,值域是 0, .留意,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 复合函数的定义域；如：已知函数f x 的定义域为 1,3,就函数F x f x1f2x 的定义域；x11,32x1,32.函数f x 的定义域为 , a b , 函数g x 的定义域为 m n , g x , 就函数f g x 的定义域为x , ,解不等式,最终结果才是3. 这里最简洁犯错的地方在这里：已知函数f x1的定义域为 1,3,求函数f x

4、 的定义域；或者说,已知函数f x1的定义域为 3,4, 就函数f2x1的定义域为 _. 一、复合函数的构成设 u g x 是 A 到 B 的函数,y f u 是 B 到 C 上的函数,且 B B ,当 u 取遍 B中的元素时,y 取遍 C ,那么 y f g x 就是 A到C上的函数；此函 数称为由外函数y f x 和内函数 u g x 复合而成的复合函数；说明：复合函数的定义域,就是复合函数 y f g x 中x的取值范畴；x称为直接变量,u 称为中间变量,u 的取值范畴即为 g x 的值域； f g x 与 g f x 表示不同的复合函数；例 2：假设函数fx的定义域是 0 ,1 ,求f

5、12x的定义域；假设f x1的定义域是 -1 ,1 ,求函数f x 的定义域；已知fx3 定义域是45,求f x3 定义域要点 1：解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：函数f 12x是由 A到 B 上的函数u12x与 B到 C上的函数yfu复合而成的函数函数fx的定义域是 0 , 1 ,B=0,1 ,即函数u12 x的值域为 0 ,1 2x1,12x0,即0x1,函数f12x1 012的定义域 0 ,22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数f x1 是由 A到 B

6、 上的函数u2x1与 B到 C上的函数yfu复合而成的函数f x 1 的定义域是 -1 ,1 ,A=-1,1,即 -1 x 1,3 2 x 1 1 , 即 u 2x 1 的值域是 -3 ,1 ,y f x 的定义域是 -3 ,1 要点 2：假设已知 f x 的定义域为 A ,就 f g x 的定义域就是不等式 g x A 的 x 的集合；假设已知f g x 的定义域为 A ,就 f x 的定义域就是函数 g x x A 的值域； 函数 f x 3 是由 A 到 B上的函数 u x 3 与 B 到 C上的函数 y f u 复合而成的函数f x 3 的定义域是 -4 ,5, A=-4,5 即 4

7、x 5,1 x 3 8 即 u x 3 的值域 B=-1 ,8又 f x 3 是由 A 到 B 上的函数 u 2 x 3 与 B 到 C上的函数 y f u 复合而成的函数,而 B B , 从而111 xu 2 x 3 的值域 B 1 8, 1 2 x 3 82 2 x 11 ,211f x 3 的定义域是 1 ,2例 4：已知函数 f x x 1 x , x 1 求 f x 的值域；分析：令 u x x 1,x 1 ；2就有 g u u u 1,u 0 复合函数 f x 是由 u x x 1 与 g u u 2u 1 复合而成,而 g u u 2u 1,u 0 的值域即f x 的值域,但 g

8、 u u 2u 1 的本身定义域为 R, 其值域就不等于复合函数 f x 的值域了；2求有关复合函数的解析式,例 6已知fxx22,1求f x1 ；1 1 已知fx1 x1,求f x 例 7已知fx1 xx1x,求f x；1fx21已知x2,求fxx要点 3：3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知fx求复合函数fgx的解析式,直接把fx 中的 x换成gx 即可；已知fgx 求fx 的常用方法有：配凑法和换元法；换成 x 而得配凑法就是在fgx 中把关于变量 x 的表达式先凑成gx 整体的表达式,再直接把gx f

9、x ；fgx 中消换元法就是先设gxt,从中解出 x即用 t表示 x,再把 x关于 t的式子直接代入去 x得到ft,最终把ft中的 t直接换成 x即得fx ,这种代换遵循了同一函数的原就；例 8已知fx是一次函数,满意3fx12fx12x17,求fx；已知3fx2f14x,求fxx要点 4： 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法； 假设已知抽象的函数表达式,就常用解方程组、消参的思想方法 x、求函数的解析式；已知fx 满意某个等式,这个等式除fx 是未知量外,仍显现其他未知量,如ff1等,必需依据已知等式再构造出其x他等式组成方程组,通过解方程组求出fx ；三、总结：复合函数的构

10、成；设函数 y f u ,u g x ,就我们称 y f g x 是由外函数 y f u 和内函数 u g x 复合而成的复合函数；其中 x 被称为直接变量, u被称为中间变量；复合函数中直接变量 x 的取值范畴叫做复合函数的定义域,中间变量 u 的取值范畴,即是 g x 的值域,是外函数 y f u 的定义域；有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式由 a g x b 解 x；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范畴由 a x b 求 g x 的值域；已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必需先求出外函数的定义域；特殊强调,此时求出的外函

11、数的定义域肯定是前一个复合函数的内函数的值域,例 23反映明显；解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法2. 函数值域的求法4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、直接观看法 对于一些比较简洁的函数,如正比例 , 反比例 , 一次函数 , 指数函数 , 对数函数 , 等等 , 其值域可通过观看直接得到；例 求函数yy1 , xx1,2的值域x3故函数的值域是：, 3例 2. 求函数3x的值域；解：x0x,032、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例 3. 求函数yx22 xx5,x,1

12、2的值域；,1 21时,y max8故函数的值域是：4 ,8 解：将函数配方得：y124x由二次函数的性质可知：当x=1 时,y min4,当x3、根判别式法 对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如: 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - a yb2型：直接用不等式性质k+xb. yx2xbxn型 , 先化简,再用均值不等式mx例： yx111+x2x+12c yx2m xxn型通常用判别式x2mxnd. yx2mxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母

13、替换掉例： yx2xx112（ x+1 ） （ x+1 ）+1 ,3（ x+1 ）x111211x1例 4. 求函数y11xxx2的值域；1y32解：原函数化为关于x 的一元二次方程y1x2y1 x01当y1时,xR1 24y1 y10解得：222当 y=1 时,x0,而11,3故函数的值域为122224、反函数法 原函数的值域是它的反函数的定义域 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数y3x4x4x6y540, 即y35x6值域；y3 x5 x45xy6y363y , 分母不等于55、函数有界性法6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

14、,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域；我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性；例. 求函数ycosx3的值域；2y21sinxx即13y3y11sinx解：由原函数式可得：ysinxcosx3y,可化为：即sinxx3 yy21xRsinxx1,1y2解得：2y2故函数的值域为2,44446. 倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例0求函数yx2的值域220y1x3yx221x3x20 时,1x21xyx2x2x20 时, =0y1 27. 函数单调性法例.

15、 求函数yxy11x1的值域；,1上为无上界的增函数解：原函数可化为：2x1x1令y 1x,1y2x,明显y1y2在7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以yy 1,y 在 ,1上也为无上界的增函数所以当 x=1 时,yy 1y2有最小值2 ,原函数有最大值222明显y0,故原函数的值域为 0,2 7. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,例 11. 求函数yxx1的值域；x0yt2t1tt1203解：令x1t,t0就xt2124又t0,由二次函数的性质可

16、知当t时,y min1当时,y故函数的值域为 ,112,2的值域；例 14. 求函数ysinx1 cosx1 ,解：ysinx1 cosx1 sinxcosxsinxcosx1,2y1t21 t11t1 2令sinxcosxt,就sinxcosx41 2t21x1222由tsinxcosx2sinx/且可得：2t2当t2时,y max32,当t2时,y32222428 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故所求函数的值域为32,32；4228. 数形结合法例 17. 求函数yx26x13x24x5的值域；解：原函数可

17、变形为：yx32022x2 201 2B2,1 的距离之和,1243,上式可看成x 轴上的点P x, 0到两定点A 3, 2,由图可知当点P为线段与 x 轴的交点时,ymin|AB|32 22故所求函数的值域为43, 10. 一一映射法原理：由于yaxb c0 在定义域上x 与 y 是一一对应的；故两个变量中,假设知道一个变量范畴,就可以cxd求另一个变量范畴；例 21. 求函数y|1x3x的值域；由y1x3x得x1y21xx1或x1解：定义域为222y3219 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故x1y1或x1y1解得y3或y32y322y3222故函数的值域为,33,22多种方法综合运用 总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；例. 求函数yx x2t21t=1 ,即x1时取等号,所以0y13的值域；解：令tx2t0,就x31当t0yt11,当且仅当t21t12时,t22当 t=0 时, y=0；综上所述,函数的值域为：,012注：先换元,后用不等式法10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页