2022年高中数学--函数定义域,值域解题方法纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的三要素：对应法就、定义域、值域只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数.例：判定以下各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y1x3 x5y2x5解：不是同一函数,定义域不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.y1x3x1x1y2 x1 x1解：不是同一函数,定义域不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.f xxg xx 2解：不是同一函数,值域不同可编辑资料

2、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 f xxF x3 x3解：是同一函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 f 1 x2x5 2f 2 x2x5解：不是同一函数,定义域、值域都不同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于复合函数设 fx=2x3gx=x2+2就称 fgx（或 g fx）为复合函数. fgx=2x2+23=2x2+1gfx=2x32+2=4x212x+11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例：已知： f x= xx+3求： f 1 xf

3、x+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解： f 1 =2xx+3fx+1=x+12x+1+3=x2+x+31x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.函数定义域的求法分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零.指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y正切函数tan x. xR,且xk, k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余切函数ycot xxR, 且xk, k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、反三角函数的定义域 有些的方不考反三角, 可以不理 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y arcsinx的定义域是 1, 1,值域是,22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y arccosx的定义域是 1, 1,值域是0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y arctgx的定义域是R ,值域是,22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y arcctgx的定义域是R ,值域是0, .留意,1. 复合函数的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - -

5、-第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x11,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知函数f x 的定义域为（1, 3）,就函数F xf x1f 2x 的定义域.2x1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 函数f x 的定义域为a,b , 函数g x 的定义域为 m, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xa,b可编辑资料 - - - 欢迎下

6、载精品_精品资料_就函数f g x 的定义域为xm, n,解不等式,最终结果才是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 这里最简洁犯错的的方在这里：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知函数f x1 的定义域为 1,3,求函数f x 的定义域.或者说,已知函数f x1 的定义域为 3,4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就函数f 2 x1 的定义域为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、复合函数的构成设 ug x 是 A 到 B 的函数,

7、yf u 是 B 到C 上的函数,且BB ,当 u 取遍 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的元素时,y 取遍 C ,那么 yf g x 就是 A 到 C 上的函数.此函数称为由外函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 和内函数ug x 复合而成的复合函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：复合函数的定义域,就是复合函数yf g x 中 x 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x 称为直接变量,u 称为中间变量,u

8、 的取值范畴即为g x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f g x 与g f x 表示不同的复合函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：如函数f x 的定义域是 0 , 1 ,求f 12 x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 f2 x1) 的定义域是 -1 , 1 ,求函数f x 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_已知f x3 定义域是4,5,求 f2 x3 定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点 1：解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f 12 x 是由 A到 B 上的函数 u12 x 与 B 到 C 上的函数yf u 复合而成的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx 的定义域是 0 , 1 , B=0,1,即函数 u12x 的值域为 0 , 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x11

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 012 x1 ,12 x0 ,即2,函数f 12x的定义域 0 , 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f 2 x1 是由 A到 B 上的函数 u2x1 与 B 到 C 上的函数yf u 复合而成的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 x1 的定义域是 -1 , 1 , A=-1,1,即 -1x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

11、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 x11, 即 u2 x1 的值域是 -3 , 1 , yf x 的定义域是 -3 , 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点 2：如已知f x 的定义域为A ,就f gx 的定义域就是不等式g xA 的 x 的集合.如已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f g x 的定义域为A ,就f x 的定义域就是函数g x xA的值域.可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f x3 是由 A 到 B 上的函数 ux3 与 B 到 C 上的函数yf u 复合而成的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x3 的定义域是 -4 ,5,A=-4,5即4x5,1x38 即 ux3 的值域 B=-1 ,8）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 2 x3 是由A 到B 上的函数 u 2 x3 与 B 到 C 上的函数yf u 复合而成的函数,而BB ,

13、从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u2 x3 的值域 B 1,812x38 22 x11,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f 2 x113 的定义域是 1 , 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：已知函数f xx1x, x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 f x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：令uxx1 , x1 .可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 guu 2u1 , u0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2复合函数f x 是由u xx1 与g u 2uu1 复合而成,而g uuu1 , u0 的值域即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 的值域,但g u u 2u1 的本身定义域为R , 其值域就不等于复合函数f x 的值域了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求有关复合函数的解析式,可编辑资料 - - -

15、欢迎下载精品_精品资料_2例 6已知f xx1, 求f x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知f x1 x11,求f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7已知x, 求 f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知f x1 xx21x 2 ,求f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点 3：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已 知 fx 求复合函

16、数f g x 的解析式,直接把f x 中的 x 换成gx 即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已 知 f g x 求f x 的常用方法有：配凑法和换元法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配凑法就是在f g x 中把关于变量x 的表达式先凑成g x 整体的表达式,再直接把g x

17、 换成 x 而得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换元法就是先设g xt ,从中解出x（即用 t 表示 x）,再把x（关于 t 的式子）直接代入f gx 中消可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_去 x 得到f t ,最终把f t 中的 t 直接换成 x 即得f x ,这种代换遵循了同一函数的原就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8已知f x 是一次函数,满意3 f x12 f x12 x17 ,求

18、f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知3 f x2 f 1 x4 x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f,求要点 4： 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法. 如已知抽象的函数表达式,就常用解方程组、 消参的思想方法求函数的解析式. 已知1f x 满意某个等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个等式除f x是未知量外,仍显现其他未知量,如f x 、f x等,必需依据已知等式再构造出其他等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式组成方程组,通过解方程组求出f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 、 总 结 ： 复合函数的构成.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 yf u , ugx ,就我们称yf g x 是由外函数yf u 和内函数 ugx 复合而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成的复合函数.其中x 被称为直接变量,u 被称为中间变量.复合函数中直接变量x 的取值范畴叫做复合函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域,中间变量u 的取值范畴,即是g x 的值域,是外函数yf u 的定

20、义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由ag xb 解 x）.求外函数的定义域只要求中间变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值域范畴（由axb 求g x 的值域）.已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必需先求出外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的定义域.特殊强调,此时求出的外函数的定义域肯定是前一个复合函数的内函数的值域,例2（ 3）反映明显.解析式

21、求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法2.函数值域的求法（ 1）、直接观看法对于一些比较简洁的函数,如正比例, 反比例 , 一次函数 , 指数函数 , 对数函数 , 等等 ,其值域可通过观看直接得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -y1 , x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数x的值域可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.求函数 y3x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x0x0,3x3故函数的值域是：,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 3.求函数 yx2x5, x1,2 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将函数配方得：y x1 24 x1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由二次函数的

23、性质可知：当x=1 时,y min4 ,当 x1 时,y max8故函数的值域是：4 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. . yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx 2mxn型 , 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+x 2x+ 12x可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品_精品资料_c .yx 2m xnx 2mxnx 2mxn型通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d.y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x 2x1（ x+1 ）2（ x+1 ）+1 1例： y（ x+1 ）1211x1x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 4.求函数1xx 21x 2的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原函数化为关于x 的一元二次方程y1 x 2 y1 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 y1 时, xR1 24 y1y101y3解得： 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 , 31 , 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 y=1 时, x0 ,而22故函数的值域为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

26、精品资料_4、反函数法 原函数的值域是它的反函数的定义域直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 求函数3x45 x6 值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x45 xy6 y3x4x6 y4y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 x635 y , 分母不等于0, 即55、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_y例.求函数cos x sin x3 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由原函数式可得：y sin xcosx3y ,可化为：y 21 sin x x3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x x即3yy 21 xR sin x x3y211y11,1即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：2y24422,故函数的值域为44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过

28、来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例求函数x2x3的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x22x20时, y

29、=00y127. 函数单调性法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例.求函数 yx1x1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y解：原函数可化为：2x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 y1x1, y 2x 1 ,明显y 1 , y 2 在 1, 上为无上界的增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 yy1 , y 2 在 1, 上也为无上界的增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

30、精品_精品资料_所以当 x=1 时, y22y1y 2 有最小值2 ,原函数有最大值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显 y0 ,故原函数的值域为 0,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,例 11.求函数 yxx1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x1t , t0就 xt 21ytt21 231t24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 t0 ,由二次函数的性质可知当

31、t0 时,y min1当 t0 时, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数的值域为1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14.求函数 ysin x1cos xx1 ,122的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ysin x1cos x1sin x cos xsin xcos x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_