2022年高中数学必修一专题求函数的定义域与值域的常用方法 .docx

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1、精品_精品资料_函数的定义域与值域的常用方法一求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是 y f x,不能把它写成 f x,y 0.2、求函数解析式一般要写出定义域,但假设定义域与由解析式所确定的自变量的范畴一样时,可以不标出定义域.一般的,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形.3、求函数解析式的一般方法有：1直接法：依据题给条件,合理设置变量,查找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y.2待定系数法：假设明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值.3换元法：假设给出了复合函数f gx 的表达式,

2、求 fx的表达式时可以令tg x,以换元法解之.4构造方程组法：假设给出fx和 f x,或 fx和 f1/x 的一个方程,就可以x 代换 x或1/x,构造出另一个方程,解此方程组,消去f x 或 f 1/x即可求出 fx的表达式.5依据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后,查找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式.要留意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,仍受其实际意义限定.二求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示.2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置打算了自变量的范畴,最终将求定

3、义域问题化归为解不等式组的问题.3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,仍受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等.4、对复合函数 y f g x的定义域的求解,应先由y fu求出 u 的范畴,即 g x的范畴,再从中解出 x 的范畴 I1.再由 gx求出 y gx的定义域 I 2,I 1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域.5、分段函数的定义域是各个区间的并集.6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类争论,假设参数在不同的范畴内定义域不一样,就在表达结论时分别说明.7、求定义域时有时需要对自变量进行分类争论,但在表达结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为

4、该函数的定义域.三求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法就确定,常用集合或区间来表示.2、在函数 f： AB 中,集合 B 未必就是该函数的值域,假设记该函数的值域为C,就 C 是 B 的子集.假设 C B,那么该函数作为映射我们称为“满射”.3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集.4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类争论.表达结论时要就参数的不同范畴分别进行表达.5、假设对自变量进行分类争论求值域,应对分类后所求的值域求并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、求函数值域的方法非常丰富,应留意总结.四求函数的最值1、设函数 y f x定

5、义域为 A ,就当 x A 时总有 f x fxo M ,就称当 x xo 时 f x取最大值 M .当 x A 时总有 fxfx 1 N,就称当 x x 1 时 fx取最小值 N .2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题.3、闭区间的连续函数必有最值.【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接查找或构造变量之间的联系.例 1. 已知函数 y f x满意 xy 0, 4x29y2 36,求该函数解析式.解： 由 4x29y 2 36 可解得：2x29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32x29y, x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3

6、2x239 , x3.2x29y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 这是一个分段函数,必需分区间写解析式,不行以写成3的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值.例 2. 已知在肯定条件下,某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比,又测得该段河流某段平均水深为 2m 时,水流量为340m 3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yky780 , x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

7、资料_解： 设x ,代入 x, y 的值可求得反比例系数k 780m3 /s,故所求函数关系式为x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 已知x1f xx2x x21,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t解： 设x1x,就x1t1 ,代入条件式可得：f t t2t1 ,t 1.故得：f xx2x1, x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 要留意转换

8、后变量范畴的变化,必需确保等价变形.4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立求解.例 4. 1已知12f x2 f 3 xx4 x5,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知f x2 f 2x3 x4 x5 ,试求f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111f1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由条件式,以x 代 x,就得f 2 f xx32x45x,与条件式联立,消去x,就

9、得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx28x24x5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23x33 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由条件式,以x 代 x 就得： f x2 fx3x24x5 ,与条件式联立,消去fx ,就得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxx24 x53 .说明：此题虽然没有给出定义域, 但由于变形过程始终保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定, 不需要另外给出.5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及学问点也不多,关键

10、是合理设置变量,建立等量关系.例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 动身,顺次经过 C、D 再到 A 停止.设 x 表示 P 行驶的路程, y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数.解： 由题意知：当x 0, 1时： y x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 1, 2时：yx21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.y当 x 2, 3时：故综上所述,有23x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,yx23x1,x2x

11、1,x0,11,22,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点二：求函数定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置打算了变量不同的范畴,所以解题时要仔细分析变量所在的位置.最终往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2例 6. 求x3x4 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由题意知：x20x4,从而解得： x2 且 x 4.故所求定义域为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

12、x|x 2 且 x 4 .2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集.例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域X123456Y2231435 617解： 1 , 2, 3, 4, 5, 6 .3、求与复合函数有关的定义域：由外函数fu的定义域可以确定内函数gx的范畴,从而解得x I1, 又由 gx定义域可以解得x I2.就 I 1 I2 即为该复合函数的定义域.也可先求出复合函数的表达式后再行求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例8 已知fxx3, g xx2x4 x, 求yf3 g x的定义域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_由f x解：x3x3gx3x3x24x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 x2 4x 30*联立 * 、* 两式可解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_93 3x1或3x93 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求定义域为x | 93 3x1或3x93 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44例 9. 假设函数 f2x的定义域是1, 1,求 flog 2x的定义域.解： 由 f2x的定义域是1, 1可知： 2 12x2,所以 f x的定义域为 2 1, 2,

14、故 log2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1, 2,解得2x4 ,故定义域为2,4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、求解含参数的函数的定义域：一般的,须对参数进行分类争论,所求定义域随参数取值的不同而不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10. 求函数f xax1 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 假设 a0 ,就 x R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a假设 a0,就 x1 . a.0 ,就 x1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求函数的定义域：11可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时为 R,当 a0 时为x | x,当 aa0 时为x | x.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：此处求定义域是对参变量a 进行分类争论, 最终表达结论时不行将分类争论的结果写成并集的形式, 必需依据 a的不同取值范畴分别论述.考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法非常丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法.随着高中学习的深化, 我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法.1、别离变量法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y例 11. 求函数y2x2 x3x132 x的值域.111120可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x1x1x1 ,由于 x1,故 y2,所以值域为 y|y 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只显现在分母中,再行求解.2、配方法例 12. 求函数 y2x2 4x 的值域.解： y2x2 4x 2x2 2x 1 2 2x 12 2 2,故值域为 y|y 2 .说明： 这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域.类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采纳此方法求解,如y af2x bfx c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、判别式

17、法例 13. 求函数 yx22 x4 x25 x3 的值域.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22 x4xy2解：5x36 可变形为：4y 1x 2 5y 2x 6y 3 0,由 0可解得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2663 , 26637171.说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采纳此法.要留意两点：第一,其定义域一般仅由函数式确定, 题中条件不再另外给出. 假如题中条件另外给出了定义域, 那么一般情形下就不能用此法求解值域. 其次, 用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的

18、定义域为非空数集, 所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、单调性法例 14. 求函数 yy23 , x 4, 5的值域.x23513可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 由于函数5 13,25.x为增函数,故当 x 4 时, ymin 2 .当 x 5 时, y max 5,所以函数的值域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、换元法例 15. 求函数 y2 x4 1x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_解： 令 t1x0 ,就 y 2t2 4t 2 t 12 4,t 0,故所求值域为 y|y 4.6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16. 求函数x, xyx2 , x1,22,3的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1,x3,4解： 当 x 1, 2时, y 1,2.当 x 2,3时, y 4,9.当 x 3,4时, y 5, 7.综上所述, y 1, 2 3, 9.7、图像法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17 设 fx x 2 ,x 2,假设 f gx的值域是 0, ,就

20、函数 ygx 的值域是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, x 1,A. , 1 1, B. , 1 0 , C.0 , D.1 , 解析： 如图为 f x的图象,由图象知fx的值域为 1, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 fgx 的值域是 0 , ,只需 gx , 1 0 , .应选 B.8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18 求函数 y12 x12 x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_解：由 y12 x12 x解得 2x1y ,1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2x0 , 1y1y0 , 1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y12x12x的值域为 y 1,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、有界性求法 ： 利用某些函数有界性求得原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 19： 求函数x2yx21 的值域.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R,对函数进行变形可得 y1x2 y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1 , x2y1 xR, y y11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y10 , 1y1y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yx21x21的值域为 y |1y1可编辑资料 - - - 欢迎下载