BE第三十讲 直线 平面垂直的判定及其性质.doc

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1、 高考数学一轮第三十讲 第 1 页共 14 页 第三十讲 直线、平面垂直的判定及其性质考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、直线与平面垂直直线与平面垂直的定义条件：直线 与平面内的任一条直线都垂直l结论：直线 与平面垂直l直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示根据定义：一条直线与一个平面内的任意直线都垂直，则该直线与此平面垂直abbaab 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直lb aa b labOl lb 判定如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面baabba如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平

2、面内的任意一条直线都垂直baaabb 性质垂直于同一个平面的两条直线平行baaabb 高考数学一轮第三十讲 第 2 页共 14 页 2直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角如图就是斜线与平面所成的角PAOAPOAP线面角的范围：0,2二、平面与平面垂直1二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面如图的二面角，可记作：二面角或二面角l ABlBA二面角的平面角如图，过二面角的棱 上一点在两个半平面内分别作，l lOBOlAOl则就叫做二面角的平面角AOBl OABl平面

3、角的范围设二面角的平面角为，则0, 2平面与平面垂直定义高考数学一轮第三十讲 第 3 页共 14 页 条件：两相交平面所成的二面角为直二面角结论：这两平面垂直平面与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角AOBl是二面角AOB的平面角，l 且，则90AOB判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直ll l如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角AOBl，是AOB二面角的平l 面角，则90AOB性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面alallla 【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】1证明线线垂直的常用

4、方法以算代证法：先平移到相交位置，再证明所构成三角形的三边满足勾股定理利用线面垂直的性质：，abab三垂线定理（垂影垂斜）及其逆定理（垂斜垂影） ，abbcac向量法：证明两条直线的方向向量垂直2证明线面垂直的常用方法高考数学一轮第三十讲 第 4 页共 14 页 线面垂直的判定定理（常用方法）：，lalbababPl面面垂直的性质定理（常用方法）：，laala性质：a，；b，abbaaa， （客观题常用）ll向量法（常用方法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行3证明面面垂直的常用方法面面垂直的判定定理：，此方法将面面垂直问题转化为aa线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂

5、线在另一个平面内或与另一个平面平行只要证明两个平面所构成的二面角的平面角为即可90性质：， （客观题常用）向量法：证明两个平面的法向量垂直4解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件5利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加6证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂

6、直、线面垂直、面面垂直的相互转化，7面面垂直的性质应用技巧两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线” 考点分类精讲考点考点 1 直线与平面垂直直线与平面垂直高考数学一轮第三十讲 第 5 页共 14 页 1判定直线与平面垂直2利用直线与平面垂直的定义和性质定理解决相关问题【例 1】如图(1)，在直三棱柱中，111ABCABCACBC1ACBCCCM分别是，的中点N1AB11BC(1)求证：平面；MN1ABC(2)求直线和平面所成的角的大小1BC1ABC(1)NMC1B1C BAA1【解析】(1)如图(2)，由已知，

7、得平面BCAC1BCCCBC11ACC A(2)DA1ABCB1C1MN连接，则1AC1BCAC由已知，可知侧面是正方形，所以又，11ACC A11ACAC1BCACC所以平面1AC1ABC因为侧面是正方形，是的中点，连接，则点是的中点11ABB AM1AB1ABM1AB又点是的中点，则是的中位线，所以N11BCMN11ABCMN1AC故平面.MN1ABC(2)如图(2)，因为平面，设与相交于点，1AC1ABC1AC1ACD连接，则为直线和平面所成的角BD1C BD1BC1ABC高考数学一轮第三十讲 第 6 页共 14 页 设，则，1ACBCCCa12 2C Da12BCa在 Rt中，1BDC

8、1 1 11sin2C DC BDBC所以，故直线和平面所成的角为130C BD 1BC1ABC30点拨：判定直线与平面垂直的常用方法有：(1)利用线面垂直定义；(2)利用线面垂直判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；(3)用线面垂直性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)用面面平行性质定理：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一个平面；(5)用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；(6)用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面；(7)向量法求解线面角要按照

9、“一作二证三计算”的步骤进行，首先找到平面的垂线，作出线面角，再证明这个角就是所求的角，最后利用直角三角形计算【例 2】如图在圆锥PO中，已知，的直径，点在上，且2PO OA2AB CAAB，为的中点30CABDAC(1)证明：平面；AC POD(2)求直线 和平面所成角的正弦值OCPAC【解析】(1)因为，为的中点，OAOCDACACOD又底面，底面，所以，而，是平面POOAACOAACPOODPOPOD内的两条相交直线，所以平面POD；AC (2)由(1)知，平面POD，又,ACPAC 平面AC 高考数学一轮第三十讲 第 7 页共 14 页 所以平面,PODPAC 平面在平面POD中，过O

10、作于，则,OHPAC 平面连结CH，OHPDH则CH是OCPAC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在中，Rt ODA1sin302ODOA在中，Rt POD 221222 3124PO ODOH POOD 在中，Rt OHC2sin3OHOCHOC考点考点 2 两个平面垂直两个平面垂直1，判定两个平面垂直2利用两个平面垂直的性质定理解题【例 3】如图(1)，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，1111ABCDABC DABCDAB，为棱的中点，CDFAB4AB 12BCCDAA(1)FDD1ABCB1C1 A1(1)证明：平面平面；1D AC11BBC C(2)求二面角的余弦值

11、1BFCC【解析】(1)如图(2)，在直四棱柱中，平面，1111ABCDABC D1CCABCD平面，所以，因为底面为等腰梯形，AC ABCD1CCACABCD，4AB 2BCCD高考数学一轮第三十讲 第 8 页共 14 页 是棱的中点，所以，为正三角形，FABCFCBBFBCF60BCF则为等腰三角形，且所以ACF30ACFACBC又因为与都在平面内且相交于点，所以平面，BC1CC11BBC CCAC11BBC C而平面，所以平面平面AC 1D AC1D AC11BBC C(2)POA1C1 B1CBAD1DF(2)如图(2)由(1)知为正三角形，取的中点连接，则BCFCFOOBOBCF又因

12、为直四棱柱中，平面，平面，1111ABCDABC D1CCABCDBO ABCD所以1CCBO又，所以平面1CFCCCOB1CC F过在平西内作，垂足为，连接，O1CC FOP1C FPBP则为二面角的一个平面角，在正中，OPB1BFCCBCF3OB 在 Rt中，因为，1CC FOPF1CC F11OPOF C CC F所以， 22122222OP 在 Rt中，OPB22114322BPOPOB，所以二面角的余弦值为2 72cos714 2OPOPBBP1BFCC7 7点拨：本题把面面垂直的证明转化为线面垂直问题，再转化为线线垂直问题，体现了化归的思想方法，设法先找到其中一个平面的一条垂线，再

13、证明这条垂线11BBC CAC高考数学一轮第三十讲 第 9 页共 14 页 在另一平面内即可AC1D AC求二面角一般用空间向量解决，但是，对于比较简单的二面角问题，也可以用定义法得到二面角的平面角，本题首先作出平面的垂线，再作出与垂直的平面1CC FOB1C F，从而得到平面角，最后在直角三角形中求解BOP【例 4】如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD 底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA 底面ABCD；(2)/ /BE平面PAD；(3)平面平面PCD；BEF【解析】(1)因为PAAD，平面PAD 底面ABCD且平面P

14、AD底面ABCDAD所以PA 底面ABCD(2)因为，为的中点，ABCD2CDABECD所以，且，所以为平行四边形所以，ABDEABDEABEDBEAD又平面，平面，所以/ /BE平面PADBE PADAD PAD(3)，而且为平行四边形，ABADABED所以，由(1)知底面ABCD，所以PACD，,BECD ADCDPA 所以CD 平面PAD，所以CDPD分别是和的中点，所以，所以，,E FCDPCPDEFCDEF因为ABAD，/ /CDAB，所以/ /CDAD，而PA平面PAD，AD 平面PAD，且PAADA高考数学一轮第三十讲 第 10 页共 14 页 所以CD 平面又因为CD 平面PC

15、D，BEF所以平面BEF 平面PCD考点考点 3 平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题1既考查平行，又考查垂直的问题2平行与垂直相互转化的问题3平行与垂直的性质的综合运用【例 5】如图所示，在直三棱柱中，为的中点111ABCABCABBCBBDACDEABCA1B1C1(1)求证：平面；1BC1ABD(2)若平面，求证：平面；1AC1ABD11BC11ABB A(3)在(2)的条件下，设，求三棱锥的体积1AB 11BAC D【解析】(1)如图所示，连接交于，连接.1AB1ABEED是直三棱柱，且，111ABCABC1ABBB侧面是一正方形，11ABB A是的中点又已知为的中点，E1ABDA

16、C在中，是中位线，1ABCED，平面1BCED1BC1ABD(2)平面，1AC1ABD1AC1AB又侧面是一正方形，11ABB A11ABAB平面，1AB11ABC111ABBC又是直三棱柱，平面111ABCABC111BBBC11BC11ABB A高考数学一轮第三十讲 第 11 页共 14 页 (3)，为的中点，平面ABBCDACBDACBD11DC A就是三棱锥的高BD11BAC D由(2)知平面，平面11BC11ABB ABC11ABB A.是等腰直角三角形BCABABC又，1ABBC2 2BD 112ACAC三棱锥的体积11BAC D 1 1111112 1212 13322126AC

17、 DVBD SACAA 【例 6】如图，在椎体中，是边长为 1 的棱形，且，PABCDABCD60DAB2PAPD，分别是，的中点2PB EFBCPCPFEABCD(1)证明：平面；ADDEF(2)求二面角的余弦值PADB【解析】法一：(1)证明：取中点，连接，ADGPGBGBD，有，在中，PAPDPGADABD1ABAD60DAB有为等边三角形，因此，ABDBGADBGPGG所以平面，AD PBGADPBADGB又，得，而得，又，PBEFADEFDEGBADDEFEDEE所以平面ADDEF高考数学一轮第三十讲 第 12 页共 14 页 GDCBAEFP(2)，为二面角的平面角，,PGAD B

18、GADPGBPADB在中，Rt PAG2227 4PGPAAG在中，Rt ABG3sin602BGAB2227342144cos2773222PGBGPBPGBPG BG 【例7】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱1111DCBAABCDEFMN，的中点，点，分别在棱,上移动，且ABAD11AB11ADPQ1DD1BBDPBQ02(1)当时，证明：直线平面；11BCEFPQ(2)是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出EFPQPQMN的值；若不存在，说明理由D1C1B1A1DCBAEFPQMN【解析】(1)证明：如图(1)，连结，由是正方体，知，1AD1111DCBAABCD

19、11/ ADBC当时，是的中点，又是的中点，所以，1P1DDFAD1/ ADFP高考数学一轮第三十讲 第 13 页共 14 页 所以，FPBC /1而平面，且平面，FPEFPQ1BCEFPQ故直线平面./1BCEFPQ(1)N MQPFEABCDA1B1C1D1(2)HOGN MQPFEABCDA1B1C1D1(2)如图(2)，连结，因为、分别是、的中点，BDEFABAD所以，且，又，BDEF /BDEF21BQDP BQDP/所以四边形是平行四边形，PQBD故，且，BDPQ/BDPQ 从而，且，PQEF /PQEF21在和中，因为，EBQRtFDPRt DPBQ1 DFBE于是，所以四边形是

20、等腰梯形，21 FPEQEFPQ同理可证四边形是等腰梯形，PQMN分别取、的中点为、，连结、，EFPQMNHOGOHOG则，而，PQGO PQHO OHOGO故是平面与平面所成的二面角的平面角，GOHEFPQPQMN若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，EFPQPQMN则，90GOH连结、，则由，且，EMFNMNEF /MNEF 知四边形是平行四边形，EFNM连结，因为、是、的中点，所以，GHHGEFMN2 MEGH高考数学一轮第三十讲 第 14 页共 14 页 在中，GOH42GH21)22(12222OH，21)2()22()2(12222OG由得，解得，222GHOHOG421 21)2(22221故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.221EFPQPQMN点拨：以棱柱或棱锥为栽体，综合考查直线与平面的平行、垂直关系是高考的一个重点内容解决这类问题时，核心是熟练掌握平行、垂直等的判定定理以及性质定理，通过不断利用这些定理，进行平行与垂直关系的转化，从而证得问题的结论本专题试题训练详见试题精练