2019届高三数学下学期考前第二次模拟考试试题 理（含解析）新版 新人教版.doc

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1、- 1 -2019 届高考模拟试题届高考模拟试题( (二二) )( (理科理科) )数学数学一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据条件求出集合 A，B 的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可详解：A=x|y=log2（x2）=x|x20=x|x2，B=x|x29=x|x3 或 x3，RB=x|3x3，则 A（R

2、B）=x|2x3=（2，3）故选：A点睛：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，另外注意集合中代表元素的特性.2. 若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先化简复数 z,再转化“复数在复平面内对应的点在第三象限” ，最后利用充分必要条件判断得解.详解：由题得=-a-5i,由于复数在复平面内对应的点在第三象限，所以所以“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的充要条件.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查

3、学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义- 2 -法、集合法和转化法来判断.3. 已知实数 ， 满足，则的最大值( )A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D【解析】分析：画出可行域，变为，平移直线，可得直线经时，有最大值，从而可得结果.详解：.画出表示的可行域，如图，由，得，变为，平行直线，当直线经过时，的最大值为，故选 D. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内

4、平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 7 月至 12 月这 6个月中任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月中至少有一个月利润(利润=收入-支出)不低于 40 万的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D- 3 -【解析】分析：根据折线图得到从 6 个月中任选 2 个月的所有可能结果有 15 种可能，其中满足题意的共 12 种，利用古典概型公式可得结果.详解：由图可知，7 月，8 月，11 月的利润不低于 40 万元，从 6 个月中任

5、选 2 个月的所有可能结果有共 15 种，其中至少有 1 个月的利润不低于 40 万元的结果有共 12 种，故所求概率为.故选：D点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用5. 执行如图所示的的程序框图，则输出的( )A. 4 B. C. 5 D. 6【答案】B【解析】试题分析：根据循环结构框图，将每一次的 s 值写出来，找到裂项的规律，直到满足输出结果.详解：s=2,i=1,S= 此时输出输出结果为.故答案为

6、：B.- 4 -点睛：这个题目考查的是框图中的循环结构，计算输出结果，也考察到了数列中的裂项相消求和的方法；对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.6. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知条件可求出 sin2，再由三角函数的诱导公式化简计算即可得答案解析：, 又 故选：D点睛:本题考查了三角函数的诱导公式，考查了三角函数基本关系式的应用，是基础题，三角小题中常用的还有三姐妹的应用，一般，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.7. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. - 5 -【答案】A【解析】试题分析：

7、详解：根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除 D 选项，当 x 趋向于正无穷时，函数值趋向于 0，并且大于 0，排除 B；当 x 从左侧趋向于 1 时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.8. 已知，点 在线段上，且的最小值为 1，则 的最小值为( )A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】试题分析：由=2，说明 O 点在 AB 的平分线上，当 C 是 AB 的中点时，|取最

8、小值，得出与的夹角为 120，再根据向量，模为 2，可得，因此算出，结合二次函数的图象与性质即可得到本题的答案详解：由于|=|=2，说明 O 点在 AB 的平分线上，当 C 是 AB 的中点时，取最小值，此时与的夹角为 60，与的夹角为 60，即与的夹角为 120，=4t2+4+4t故的最小值是 3即的最小值是故选：B点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题

9、的一般方法.9. 已知在中，角 、 、 所对的边分别是， ， ，点在线段上，且，若，则( )- 6 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则由面积关系得所以，选 B.10. 已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆 在第一象限交于 点， 点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为( )A. B. 2 C. 1 D. 8【答案】C【解析】试题分析：求得圆心，可得抛物线 C1方程，与圆 C 的交点 A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值详解：圆 C：（x1）2+y2=4 的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为 y2=4x，由 ，解得 A（1，2） ，抛物线 C2：x2=8

10、y 的焦点为 F（0，2） ，准线方程为 y=2，即有|BM|AB|=|BF|AB|AF|=1，当且仅当 A，B，F（A 在 B，F 之间）三点共线，可得最大值 1，故选：C.点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.11. 已知顶点在同一球面 上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示，若球 的体积为，则图中的的值是( )- 7 -A. B. C. D. 【答案】

11、D【解析】试题分析：根据三视图可得到原图，将原图补成一个三棱柱，由提圆心的方法可得到外接球的球心，再根据勾股定理可求得参数 a。详解：画一个边长为 a 的正方体，右侧面中心为 M 点，下底面从左下角顺时针依次标为ABCD，连接 MD，MA，MB，构成了原图，该三棱锥的外接球和四棱锥 MABCD 的外接球是同一个外接球，四棱锥 MABCD 的外接球和三棱柱 MCD 的外接球是同一个外接球，该三棱柱的上下底面的外接圆圆心所在直线的中点即球心，球 的体积为，故半径为，故答案为：D.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问

12、题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12. 若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数在区间有一个极大值和一个极小值，即其导函- 8 -数有两个相异的实根，有两个不等根，构造函数，使得y=m 和 h(x)有两个交点即可.详解：函数在区间有一个极大值和一个极小值，即其导函数有两个相异的实根，有两个不等根，构造函数，得到 h(x)在 结合单调性画出函数的图像，使得 y=m 和 h(x)有两个交点即可

13、，得到故实数 的取值范围是.故答案为:A点睛：点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答.二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则_.【答案】【解析】试题分析：根据指数的运算规律得到 a=2,b=,进而得到，再根据对数的运算得到结果.详解：，根据对数的运算得到结果为 .点睛：这个题目考查了对数的

14、元算，和同底的指数的运算，注意在进行指对运算时，首先看数据是否为同底的，如果不同底则化为同底再应用公式即可.- 9 -14. 已知为常数，且，则的二项展开式中的常数项为_.【答案】【解析】由题意可得：，展开式的通项公式：，展开式为常数项时：，据此可得展开式中的常数项为.15. 已知 是双曲线(，)的右焦点， 是双曲线上位于第一象限内的一点，为坐标原点，直线的方程，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】分析：由，可得轴，从而求得，代入直线的方程为，可得结果.详解：，轴，令，得，又的方程为，即，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是

15、难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一- 10 -定义求解16. 已知函数，)，若对于恒成立，的一个零点为 ，且在区间上不是单调函数，则 的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：根据条件对于恒成立可得到函数在 处取得最大值，的一个零点为 ，可列出 解得 w 的范围即可.详解：根据条件对于恒成立得到，函数在 处取得最大值，又因为的一个零点为 ，故根据图像可得到在区间上不是单调函数，则 结合，得到故答案为：9.点睛：这个题目考查的是三角函数的周期性和单调性，以及函数的最值问题，(1) ；(2)由函数的周

16、期 求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知数列的前 项和为，且 ， ，成等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】 （1）（2）11202【解析】分析：（1）由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，进而可得- 11 -，利用等差数列与等比数列的求和公式可得

17、结果.详解：（1）因为成等差数列，所以，所以.，得，所以.又当时，所以，所以，故数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，所以，所以数列是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.又因为，所以 .点睛：已知求 的一般步骤：（1）当时，由求 的值；（2）当时，由，- 12 -求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.18. 为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机 APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动” ，杨老师的微信朋友圈内有 600 位好友参与了“微信运动” ，他随机选取了

18、40 位微信好友(女 20 人，男 20 人)，统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：(说明：“”表示大于等于 0，小于等于 2000，下同)，且 ， ， 三种类别人数比例为，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过 8000 步被系统认定为“卫健型” ，否则被系统认定为“进步型”.若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数

19、的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的 600 名好友中，每天走路步数在500110000 步的人数；请根据选取的样本数据完成下面的列联表并据此判断能否有以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？卫健型进步型总计男20- 13 -女20总计40若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取 10 人，再从中任意选取 3人，记选到“卫健型”的人数为 ，女性好友中按比例选取 5 人，再从中任意选取 2 人，记选到“卫健型”的人数为 ，求事件“”的概率.附：，【答案】 （1）375（2）没有（3）【解析】试题分析：（1）根据频率的计算公式得到女性好友走路步数在 50011

20、0001 步共有 16 人，男性好友走路步数在 500110000 步的包括 ， 两类别共计 9 人，用样本数据估计所有微信好友每日走路频数的概率分布，则：人；（2）根据公式计算得到,从而得到结论；（3）在男性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为，恰好选取“卫健型”7 人， “进步型”3 人, 在女性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为, 恰好选取“卫健型”2 人， “进步型”3 人, “”包含“，” ， “，” ， “，” ， “，” ，按公式计算即可.详解：(1)在样本数据中，男性好友 类别设为 人，则由题意可知，可知，故 类别有 2 人， 类别有 6 人， 类别有 8 人，走路步数在 5

21、00110000 步的包括 ，两类别共计 9 人；女性好友走路步数在 500110001 步共有 16 人.用样本数据估计所有微信好友每日走路频数的概率分布，则：人.(2)根据题意选取的 40 个样本数据的列联表为：- 14 -卫健型进步型总计男14620女81220总计221840得：，故没有 95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为，则选取 10 人，恰好选取“卫健型”7 人， “进步型”3 人；在女性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为，选取 5 人，恰好选取“卫健型”2 人， “进步型”3 人；“”包含“，” ， “，” ， “，

22、” ， “，” ，,，故.点睛：本题考查独立检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、是中档题，解答概率题目关键是理解清楚题意，分清楚二项分布和超几何分布.19. 如图，四棱锥中，底面为梯形，. 是的中点，底面， 在平面上的正投影为点 ，延长交于点 .- 15 -(1)求证： 为中点；(2)若，在棱上确定一点 ，使得平面，并求出与面所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接 OE，可得四边形 BCDO 是平行四边形，由 PO底面 ABCDO 在平面 PAD 上的正投影为点 H，可得 ADOE，又 AO=OD

23、，即可得 E 为 AD 中点；（2）以 O 为原点建立空间直角坐标系，设，又是平面 PAB 的法向量，求出面 PCD 的法向量，即可求得 OG 与面 PCD 所成角的正弦值详解：(1)连结， 是中点，四边形是平行四边形，平面，平面， 在平面的正投影为 ，平面，又，平面，又， 是的中点.- 16 -(2)，平面，以 为原点，分别为的正方向建立空间直角坐标系， 是的外心， 是的重心，设，又是平面的一个法向量，且平面，解得，设是平面的法向量，即，取，则，直线与平面所成角的正弦值为.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距

24、离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.20. 在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线 的离心率为 ，点在双曲线 上，不在 轴上的动点 与动点 关于原点 对称，且四边形的周长为.(1)求动点 的轨迹的方程；(2)过点的直线交 的轨迹于 ， 两点， 为上一点，且满足，其中，求的取值范围.- 17 -【答案】 （1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式，又因为点在双曲线 上，所以，联立两个方程可得到参数

25、值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为，得，代入椭圆方程得，根据弦长公式得到，求表达式的范围即可.详解：(1)设点，分别为， ，由已知，所以，又因为点在双曲线 上，所以，则，即，解得，所以.连接，因为，所以四边形为平行四边形，因为四边形的周长为，所以，所以动点 的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆(除去左右顶点)，可得动点 的轨迹方程为：.(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.由得，得，设，则，- 18 -由，得，代入椭圆方程得，由得，令，则，.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲

26、线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数，.(1)讨论函数的零点个数；(2)求证：.【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数的变化趋势，结合图像得到函数的零点个数；（2）不等式可化为，记，证得即可.详解：(1)由题，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，有极大值.且当时，；时，所以，当或时，恰有一个零点；时，有两个零点；时，没有零点.(2)由(1)可知，.当时，不

27、等式可化为，记，得. 设，则，- 19 -在上单调递增，又，在上图象是不间断的，存在唯一的实数，使得，当时，在上递减，当时，在上递增，当时，有极小值，即为最小值，又，所以，所以.又，所以，即.当时，设，则，在上单调递减，所以，综上所述，.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式;（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

28、曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线分别与曲线，交于 ， 两点(异于极点)，求的值.【答案】 （1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据参普互化的公式和极直互化的公式得到两条曲线的直角坐标方程；（2）分别联立射线和两条曲线的极坐标方程，求得，而- 20 -，代入求值即可.详解：(1)由，两式相乘得，.因为，所以曲线 的极坐标方程为，即，因为，则曲线的直角坐标方程为.(2)联立，得，联立，得，故.点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程

29、中，能表示距离的量一个是极径，一个是 t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而 t 的应用更广泛一些.23. 已知函数，的解集为.(1)求实数 的值；(2)若关于 的不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意，可得，即，和题目中所给解集对应相等得到参数值；（2）原式子等价于恒成立，表示数轴上到点和的距离之和，根据图像可得到实数的取值范围是.详解：(1)由题意，可得，即，又因为解集为，所以.(2)不等式，表示数轴上到点和的距离之和，则或，于是，当关于 的不等式对恒成立时，实数的取值范围是- 21 -.点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的值域问题；一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可.