陕西省西安中学2022届高三数学下学期第二次模拟考试试题理含解析.doc

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1、陕西省西安中学2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 满足2，的集合A的个数是A. 2B. 3C. 4D. 8C分析：由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解解答：由题意，可得满足2，的集合A为：，2，共4个故选C点拨：本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠

2、，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分超过500元的部分若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元A分析：设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案解答：设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，由题设可知：，因，所以，所以，解得，故此人购物实际所付金额为（元），故选A点拨：本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得

3、实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式3. 在中，则=（ ）A. B. C. D. B分析：中，有，由向量加减的三角形法则有、即可得、间的等量关系解答：如下图，向量加法的三角形法则： ，又 即故选：B点拨：本题考查了向量加减法的几何应用，结合向量加减法的三角形法则得到几何图形中各边对应向量的数量关系4. 若是公比为e的正项等比数列，则是（ ）A. 公比为的等比数列B. 公比为3的等比数列C. 公差为3e的等差数列D. 公差为3的等差数列D分析：先根据等比数列的通项公式可知，再由为常数，可判定是公差为3的等差数列，故而得解解答：解：因为是公比为的正项等比数列，所以，且因为

4、，为常数，所以是公差为3的等差数列，故选：点拨：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的判定方法，还涉及对数的运算法则，考查学生的运算能力，属于基础题5. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2C分析：求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可解答：圆x22x+y2+=0的圆心（1，0），半径为：，双曲线的渐近线方程为：y=x，由点到直线的距离可得到：，解得=，即，可得e=故选C点拨：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者

5、定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. C由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为122 1.故答案为; C.7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是A. B.

6、C. D. D分析：由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果.解答：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，根据素数对(p，p+2)称为孪生素数，则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)，共有4组，能够组成孪生素数的概率为，故选D点拨：本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力.8. 设，是两平面，是两直线下列说法正确的是（ ）若，则若，则 若，则 若，则A. B. C. D. D分析：根据空间中平行和垂直的相关命题逐一判断即

7、可.解答：由平行公理知对，垂直于同一平面的两条直线平行，故对，垂直于同一直线的两个平面平行，故对，由面面垂直性质定理知对故选：D点拨：本题考查的是空间中平行和垂直的相关命题的判断，较简单9. 某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（ ）A. 320种B. 252种C. 182种D. 120种C分析：分成人、人或者人、人，先分组再分配即可求解.解答：分成人、人两组时，有种，分成人、人两组时，有种，所以共有种，故选：C10. 在等差数列中，且，则在中，n 的最大值为（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20C分析：由题可

8、得，即可判断.解答：设公差为，则，即，则时，n 的最大值为19.故选：C.11. 已知过抛物线y24x焦点F直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若3，则直线l的斜率为（ ）A. 2B. C. D. D分析：作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出RtABE中，cosBAE，得BAE60，即直线AB的倾斜角为60，从而得到直线AB的斜率k值.解答：作出抛物线的准线l：x1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BEAC于E.3，设AF3m，BFm，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的

9、定义，得AC3m，BDm.因此，RtABE中，cosBAE，得BAE60所以，直线AB的倾斜角AFx60，得直线AB的斜率ktan60，故选：D.点拨：本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.12. 设函数，则使得成立的x的取值范围是（ ）A. B. C D. B分析：先利用定义判断的奇偶性，再由函数单调性的性质判断单调性，利用函数的单调性和函数的奇偶性脱掉解不等式即可求解.解答：函数的定义域为，可得是偶函数，所以等价于当时，因为单调递增，单调递减，所以为单调递增函数，所以，即，整理可得，解得：或，所以

10、使得成立的x的取值范围是，故选：B点拨：思路点睛：本题解不等式的思路是先判断函数的奇偶性和单调性，即可根据函数的性质去掉转化为等价的不等式即可.第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数图象的一条对称轴是，则的值是_函数图象的一条对称轴是，即，又故答案为14. 设复数，满足，则=_分析：方法一：令，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.解答：方法一：设，又，所以，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,由

11、已知,平行四边形为菱形，且都是正三角形，.点拨：方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解15. 给出下列命题:命题“若，则”的否命题为“若，则”；“”是“”的必要不充分条件；命题“，使得”的否定是:“，均有”；命题“若，则”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_.分析：根据命题的否命题和原命题之间的关系判断；利用充分条件和必要条件的定义判断；利用特称命题的否定判断；利用逆否命题的等价性进行判断解答：解：根据否命题的定义可知，命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以错误由得

12、或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以错误根据特称命题的否定是全称命题，得命题“，使得”的否定是：“，均有”，所以错误根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若，则”的逆否命题为真命题，所以正确故答案为：点拨：本题考查命题的真假判断，以及充分必要条件、四种命题的关系和真假性的判断，属于基础题16. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为_e分析：设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围解答：解：设公切线与f（x）x2+1的图象切于点（，），与曲线C：g（x

13、）切于点（，），2，化简可得，2，2，a，设h（x）（x0），则h（x），h（x）在（0，）上递增，在（，+）上递减，h（x）maxh（），实数a的的最大值为e，故答案为e点拨：本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题三、解答题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一）必考题，共60分17. 在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.（1）；（2）.分析：（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函

14、数关系式，求得；（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.解答：（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.由题设知，所以；（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点拨：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，为的中点.（1）证明：平面.（2）若是等边三角形，求二面角的正弦值.（1）证明见解析，（2

15、）分析：（1）根据等腰三角形三线合一证明和即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角.解答：（1）证明：连接.因为，所以，所以.因为为的中点，所以.因为为的中点，且，所以.因为，所以平面.（2）解：取的中点，连接，因为是等边三角形，所以.由（1）可知平面，则，两两垂直，故以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为底面是边长为4的等边三角形，所以.因为是等边三角形，所以.所以，则，.设平面的法向量，则，令，得.易知平面的一个法向量为，记二面角为，则，故.点拨：此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.19. 某地区进行疾病

16、普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为.（）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（）设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.当，时，求的分布列；是运用统计概率的

17、相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.（）； （）见解析，当时，用分组的办法能减少检验次数.分析：（）根据独立重复试验概率公式得结果;（）先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.解答：（）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率 （）当，时，则5人一组混合检验结果为阴性概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为分组时，每人检验次数的期望如下不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即 所以当时，用分

18、组的办法能减少检验次数.点拨：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.20. 已知椭圆的离心率为，其长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线交于、两点，直线交于、两点，若.求四边形的面积.（1）；（2）.分析：（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆的方程；（2）求出以及点到直线的距离，可得出四边形的面积关于、的表达式，将代入四边形的面积的表达式，化简即可得解.解答：（1）由已知得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）设、，则、，联立，则，同理可得，且到直线的距离，所以，又所以

19、.点拨：方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）当时，证明：函数有2个零点.（）在单调递减，在单调递增；（）证明见解析.分析：（）代入的值，求出函数的导数，确定导数的符号，从而求出函数的单调区间；（）是的一个零点，通过讨论x的范围，结合a的取值范围，求出的单调性，得到在上有1个零点，从而证明结论.解答：（）当时，则，可得.当时，在单调递增，在单调递增.当时，可得，在单调递减；综上，在单调递减，在单调递增.（）当时，是的一个零点，由，

20、可得.因为，当时，在单调递增，在单调递增，此时在无零点.当时，有， 此时在无零点.当时，在单调递增，又，由零点存在性定理知，存在唯一，使得.当时，在单调递减；当时，在单调递增；又，所以在上有1个零点.综上，当时，有2个零点.点拨：方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，利用导数研究函数的零点的方法是构造函数，转化为研究函数的零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图像，然后根据图像判断函数的零点个数，考查了学生的逻辑推理能力，转化与化归能力，分类讨论思想，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任意选一题作答.如果

21、多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最大值（1）；（2）3.分析：（1）根据参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可得的直角坐标方程；（2）由（1）先设的参数方程，根据点到直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值.解答：（1）由（为参数），因为，且，所以的普通方程为由，得即直线的直角坐标方程为得；（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，），则上的点到的距离为当时，取得最大值6，故

22、上的点到距离的最大值为3点拨：思路点睛：求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解.需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以及三角函数的性质等.23. 已知，且.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)证明：.（1）；（2）见解析.分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得+的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2）变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证详解：（1）设由，得.故 .所以.当时，得；当时，解得，故；当时，解得，故；综上，.（2），.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向- 19 -