吉林省吉林市2014届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

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1、吉林市普通中学20132014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（理科）试题解析【试卷综析】本试卷依据遵循考试大纲和考试说明要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，兼顾试题的基础性、综合性，具有良好的考查效果。转化思想充盈着试卷。转化思想的考查在整个试卷中随处可见，如16题通过坐标运算转化为三角函数的最值问题，一气呵成，浑然一体。第21题的转化方法更是“技高一筹”.数形结合思想也作了重点考查，如11，13，15题等.问题的设问方式上突破了常规的“存在”模式，为不同层次的考生提供了自我思考的机会，如第20题。总之该试卷有效地考查了运算求解能

2、力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以和创新意识等，凸显了能力考查.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

3、第卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则 A0或3 B0或 C1或 D1或3【知识点】子集的性质，补集的运算，元素的互异性【答案解析】A 由可知是的真子集，所以，满足.【思路点拨】解题时注意的形成的集合关系和集合的互异性.2已知为虚数单位，若复数,则 A B C D【知识点】复数的概念和运算【答案解析】D 所以【思路点拨】分母实数化后分别确定该复数的实部和虚部.3下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是 A. B. C. D.【知识点】函数的单调性和奇偶性的判断【答案解析】C 由奇函数条件排除A,D，而单调性周期性

4、变化，排除B.【思路点拨】四个函数均为熟悉的函数，记住图象就能迅速判断.4已知为两个平面，且，为直线则是的 A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】 基于线面平行与垂直的充分必要条件的判断【答案解析】D 不一定推出；而若，则或.因此是的既不充分也不必要条件.【思路点拨】在的前提下，分别研究和两个条件产生的结果.5若双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为 A B3 C D【知识点】双曲线方程、渐近线及其离心率的运算【答案解析】C 由得，所以，【思路点拨】根据焦点坐标的位置确定相应的注意的多种运算方式的选择.6在二项式的展开式中，项的系数为 A8 B4

5、C6 D12【知识点】二项式定理及二项展开式指定项的系数【答案解析】A ，所以项的系数为.【思路点拨】熟练掌握的应用,并注意二项式系数与某项的系数的区别与联系.7已知，则 A B C D【知识点】诱导公式、倍角公式的应用.【答案解析】C 【思路点拨】利用倍角公式进行转化，再利用诱导公式,即得.8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 A3 B C D 2【知识点】程序框图的识别与判断【答案解析】B 研究数对的规律，不难发现运算结果如下：显然由得最终输出的结果为.【思路点拨】由这一结构可以联想到周期性运算，从而通过判断周期解决.9已知随机变量服从正态分布，则 A0.954 B0.977

6、C0.488 D0.477【知识点】正态曲线的性质的应用【答案解析】A 【思路点拨】计算服从正态分布的随机变量在某区间的概率，可以借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的区间上.第10题图10某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形, 则该几何体的侧面积为 A B C D 【知识点】 几何体的三视图与侧面积运算【答案解析】C 由三视图可知该几何体的底面形状为中心角为的扇形，其高为3，所以侧面积为【思路点拨】解决本题的关键是根据三视图画出该几何体的直观图，并把相应数据与之对应.11若函数在点处的切线平行于函数 在点处的切线，则直线的斜率 A1 B C D【知识点

7、】函数的导数与切线的斜率以及函数的最值应用【答案解析】C ，则；则.若两切线平行，必有且，求得,，【思路点拨】斜率相等的突破口是比较两个导函数的最值，然后分别确定,，再利用斜率公式求得结果.12在中，分别为内角所对的边，且满足若点是外一点，,，平面四边形面积的最大值是 A B C3 D【知识点】正弦定理、余弦定理的应用、三角函数的性质与最值.【答案解析】由得因此为正三角形.设该三角形的边长为，则显然当时.【思路点拨】利用正弦定理和三角形的内角关系化简即可得三角形为等边三角形，为下一步简化运算铺平的道路，表示出四边形ACBO面积后利用正弦函数的值域即可确定出面积最大值第卷二、填空题：本大题共4个

8、小题，每小题5分。13已知实数满足，则目标函数的最大值为. 【知识点】线性规划与函数的最值【答案解析】确定可行域为点形成的三角形，则过时取到最大值为【思路点拨】依据不等式组先确定变量所在的可行域，再根据目标函数的特点和相应直线的平移确定.14已知函数，则_.【知识点】分段函数的函数值【答案解析】 ，【思路点拨】依据分段函数对应区间确定.15已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点， 在抛物线上，且4，则的最小值是_.【知识点】抛物线的方程与性质和对称问题中的最小值【答案解析】 如图，可求,再求关于抛物线的准线的对称点，因此，当三点共线时取到最小值，即【思路点拨】此类问题通常采用抛物

9、线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等这一特点来实现等量转化，但本题关于直线确定对称线段从而实现等量转化.16如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为_.【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算【答案解析】 以A为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则设，则，解得，所以.由于，当时，【思路点拨】建立直角坐标系，把涉及向量分别用坐标表示，通过坐标运算得到关于的方程组，分别求出，再把转化为关于变量的三角函数.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分） 已知数列满足

10、首项为，设 ，数列满足 （）求证：数列成等差数列； （）求数列的前项和【知识点】等差等比数列的判定、错位相减法求数列的前项和.【答案解析】 （）由已知可得， , 为等差数列，其中. （）, - 得 , , .【思路点拨】根据数列递推关系的特点构造符合等差数列（或等比数列）的结构式，从而根据定义进行判断.使用错位相减法时要特别注意被乘式子的尾项处理. 18（本小题满分12分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金正确回答每

11、一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位:岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示 正确错误每扇门对应的梦想基金：（单位：元） （）写出列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？ 说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 （）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，

12、正确回 答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互 不影响设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望 （参考公式 其中）【知识点】独立性检验与离散型随机变量的分布列【答案解析】18. 解：（）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计2030（岁）1030403040（岁）107080合计20100120 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=3, 有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关（）的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则 , , , .的分布列为010003000600011000数学期望.【思路点拨】通过二

13、维条形图得到列联表后计算与临界值表进行比对，确定结果. 的所有可能取值是研究分布列的关键，也是求相应概率的依据.BACDP19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面 （）求证：； （）求二面角的平面角的正弦值【知识点】 线面平行的判定与性质、利用空间向量方法确定二面角的大小.yxBACDPz【答案解析】（）连接交于平面，面，面面 ,又为的中点，为中点为中点 ,. （）在直三棱柱中， , .以为坐标原点，以, 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。由（）知为中点,点坐标分别为， .设平面的法向量,且,取, ,同理,平面的法向量. 设二面角平面角为,

14、则， .【思路点拨】（I）在平面内寻找直线被平行，而直棱柱侧面为矩形恰好提供了便利.(II)依据直棱柱的棱长数据可以判断垂直关系，为建立空间直角坐标系提供了依据，再按照向量方法去处理.20（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点 （）求椭圆标准方程； （）若直线与的斜率乘积，动点满足, （其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由【知识点】椭圆标准方程的确定和定义、求曲线方程的一般方法以及平面向量的坐标运算.【答案解析】20. 解：（I）有题设可知： ,又， 椭圆标准方程为.（II）设,则由得,即因为点在椭圆上，所以,故.设

15、分别为直线的斜率，由题设条件知,因此， 所以,即,所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为,，则由椭圆的定义为定值 又,因此两焦点的坐标为，所以存在两个定点，,使得.【思路点拨】利用平面向量的坐标运算把动点P的坐标用A,B两点的坐标分别表示，然后根据斜率关系消去A,B两点的坐标，得到,再根据椭圆方程的定义确定为定值的存在性.21（本小题满分12分） 已知函数，.（为常数，为自然对数的底，） （）当时，求的单调区间； （）若函数在区间上无零点，求的最小值； （）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的最值及参数的取值范围.【答案解

16、析】（）当时，则.令得；令得故的单调递减区间为，单调递增区间为 .（）函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立,即对，恒成立.令（）则 ,再令，则，故函数在区间上单调递减，, 即，函数在区间上单调递增， ,故只要函数在区间上无零点，所以.（），当，函数在区间上是增函数,.当时，不符题意当时，当时，由题意有在上不单调，故, .当变化时，变化情况如下：0+单调递减最小值单调递增又因为时， ,所以，对于给定的，在在上总存在两个不同的，使得成立，当且仅当满足下列条件即 令，令，则，故时，函数单调递增；时，函数单调递减. 所以对任意的，.由得，由当时，在上总存在两个不同的，使得

17、成立 .【思路点拨】函数在区间上无零点,可转化为，恒成立，从而研究函数才变得更有意义。第三问要对先进行讨论，当时，不满足条件。22（本小题满分10分）选修14：几何证明选讲BCDFGA_OE如图，是的一条切线，切点为，都是的割线，已知. （）证明：； （）证明：.【知识点】圆的切割线定理、相似三角形的性质和平行线的判定方法.【答案解析】 （）是O的一条切线，为割线， ， 又， ； （）由（）有， EAC=DAC，ADCACE， ADC=ACE， ADC=EGF，EGF=ACE， GFAC。 【思路点拨】(I) 从证明结论入手逆推可选用切割线定理；（II）第一问的结论成为证明相似三角形的必备条件

18、，进而从等角入手判断直线平行关系.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 （）求圆的极坐标方程； （）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆 于两点，求弦长的取值范围【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用【答案解析】（）设圆上任意一点坐标，由余弦定理得：,整理得：. （）， ,将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得： ,整理得： , ,， .【思路点拨】（I）利用余弦定理得到关于的圆的极坐标方程；（II）先把圆的极坐标方程转化为普通方程，再结合直线参数方程中参数的意义确定弦长.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数，且的解集为 （）求的值； （）若，且，求证：【知识点】解不等式与参数的确定、基本不等式的应用【答案解析】（）因为，所以等价于， 由有解，得，且其解集为 又的解集为，故 （）由（）知，又，=9 【思路点拨】（I）求出以为参数的不等式的解集，然后与相对应确定的值;(II)通过恒等变形形成适合运算的结构，也可以乘开后利用基本不等式.- 16 -