吉林省吉林市2014届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文（含解析）新人教A版.doc

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1、吉林市普通中学20132014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（文科）试题解析【试卷综析】本试卷依据遵循考试大纲和考试说明要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，兼顾试题的基础性、综合性，具有良好的考查效果。转化思想充盈着试卷。转化思想的考查在整个试卷中随处可见，如16题通过坐标运算转化为三角函数的最值问题，一气呵成，浑然一体。第21题的转化方法更是“技高一筹”.数形结合思想也作了重点考查，如11，13，15题等.问题的设问方式上突破了常规的“存在”模式，为不同层次的考生提供了自我思考的机会，如第20题。总之该试卷有效地考查了运算求解能

2、力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以和创新意识等，凸显了能力考查.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

3、第卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集，集合，则 A. B. C. D. 【知识点】集合的交集、补集的运算【答案解析】D ，所以【思路点拨】先求出，再求关于U的补集.2已知为虚数单位，则复数 A B C D【知识点】复数的除法运算【答案解析】B 【思路点拨】先分母实数化，再利用简化运算.3若，则是成立的 A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件的判断【答案解析】A 推得，所以是成立的必要而不充分条件.【思路点拨】 考虑条件下取负数和表示的区域即可.4下列函数中，在定义域内既

4、是奇函数又为增函数的是 A. B. C. D.【知识点】函数的单调性和奇偶性的判断【答案解析】C 由奇函数条件排除A,D，而单调性周期性变化，排除B.【思路点拨】四个函数均为熟悉的函数，记住图象就能迅速判断.5已知，向量与的夹角为，则 A B C1 D2【知识点】向量的夹角、向量的模的运算【答案解析】B 【思路点拨】利用和数量积运算公式可得.6已知双曲线标准方程为，则双曲线离心率为 A B3 C D【知识点】双曲线方程及其离心率的运算【答案解析】C 【思路点拨】根据焦点坐标的位置确定相应的注意的多种运算方式的选择.7已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A3 B2 C1 D【知识点】导

5、数的意义与切线【答案解析】 B ，设切点横坐标为，则，解得【思路点拨】函数求导后代入切点横坐标即为过该点切线的斜率.8等差数列的前项和为，且，则公差等于 A1 B1 C2 D2【知识点】等差数列的性质【答案解析】D 【思路点拨】这一性质使解答更为快捷.9某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是 A3 B C D 2【知识点】程序框图的识别与判断【答案解析】B 研究数对的规律，不难发现运算结果如下：显然由得最终输出的结果为.【思路点拨】由这一结构可以联想到周期性运算，从而通过判断周期解决.10若函数在上单调递增，则实数的取值范 围是 A B C D 【知识点】对数函数的性质，分段函数的单

6、调性判断【答案解析】C 易知且.又直线过定点，所以对于直线，满足即可，所以.综上可知，的取值范围是.【思路点拨】分段函数整体递增，则在每段上必递增，这样确定了参数的大致范围，然后寻找两段函数的“结合点”，利用数形结合思想来确定.11若不等式，对满足的一切实数恒成立，则实数的取值范围是 A B C或 D或 【知识点】可转化为线性规划的不等式恒成立问题 【答案解析】C 由对满足的一切实数恒成立这一条件可知求出的最大值，让大于或等于该最大值即可.设，则由得，所以，解不等式得或【思路点拨】研究的最大值是解决问题的关键，这一目标需结合线性规划、与圆有关的数形结合知识来解决.12已知函数，的部分图像如图，

7、则 A 1 B 0 C D【知识点】正切函数的图象和性质【答案解析】C 由图象可得，解得代入得所以，因此【思路点拨】依据图象特点确定注意图象中的特殊点的作用。本题中的点也起到了关键性的作用.第卷 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。13已知实数满足，则目标函数的最大值为.【知识点】线性规划与函数的最值俯视图侧视图正视图【答案解析】确定可行域为点形成的三角形，则过时取到最大值为14一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为. 【知识点】三视图、几何体的体积【答案解析】 该几何体为四棱锥，其中两侧面与底面垂直，因此该几何体的体积为

8、【思路点拨】可借助正方体通过调整得到该几何体的直观图，并指出相应数据.15已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在 抛物线上，且4则的最小值是.【知识点】抛物线的方程与性质和对称问题中的最小值【答案解析】 如图，可求,再求关于抛物线的准线的对称点，因此，当三点共线时取到最小值，即【思路点拨】此类问题通常采用抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等这一特点来实现等量转化，但本题关于直线确定对称线段从而实现等量转化.16定义域为的函数图象上两点是图象上任意一点，其中.已知向量 ，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为. 【

9、知识点】函数的图象、向量的模、新定义函数的理解【答案解析】由函数在上“k阶线性近似”可知.,所以，当且仅当时取等号. 所以实数的取值范围是【思路点拨】利用新定义“阶线性近似”，向量的线性运算和模的计算公式、基本不等式即可得出三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分） 在中，内角，的对边分别为，且. （）求角的大小； （）若，求的面积【知识点】正弦定理、余弦定理的应用【答案解析】（）在中由正弦定理，易知：. .而角为三角形内角，所以 . 又因为. （）在中，由余弦定理得：，. 即.或, 而. 【思路点拨】（I）利用正弦定理转化为角的运算

10、关系，结合和角公式确定角A；（II）利用余弦定理求出c,由求得面积.18（本小题满分12分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目选手面对1-4号4扇大门，依次按响 门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎）， 选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外 调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁），其猜正确错误 对歌曲名称与否人数如图所示 （）写出列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？ 说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k）0.100.050.0250.0100

11、.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 （）现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手，并抽取3名幸运奖项， 求至少有一人年龄在2030岁之间的概率 （参考公式 其中）【知识点】独立性检验与古典概型【答案解析】（）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计2030（岁）1030403040（岁）107080合计201001203分 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=3,有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关 （）按照分层抽样方法可知：2030（岁）抽取：（人）；3040（岁）抽取：（人）.解：在上述抽取的6名选手中, 年龄在203

12、0（岁）有2人，年龄在3040（岁）有4人。 年龄在2030（岁）记为；年龄在3040（岁）记为， 则从6名选手中任取3名的所有情况为: 、共20种情况， 其中至少有一人年龄在2030岁情况有：、，共16种情况。 记至少有一人年龄在2030岁为事件，则 ,至少有一人年龄在2030岁之间的概率为。 【思路点拨】通过二维条形图得到列联表后计算与临界值表进行比对，得到结论.依据抽样方法，分别罗列基本事件和目标事件，依古典概型求出结果。19（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是棱上 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面BACDP （）求证：； （）求点到平面的距离【知识点】线面平行的判定与

13、性质、体积法求点到平面的距离【答案解析】（）连接交于平面，面，面面,又为的中点， 为中点为中点,； （）因为 所以， , .在中, 【思路点拨】（I）在平面内寻找直线被平行，而直棱柱侧面为矩形恰好提供了便利.(II) 利用等积变换求点到平面的距离。20（本小题满分12分） 已知函数，.（为常数，为自然对数 的底，） （）当时，求的单调区间；若对任意的，存在，使 ，求实数的取值范围； （）若函数在区间上无零点，求的最小值【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的最值及参数的取值范围.【答案解析】（）当时，则.令得；令得故的单调递减区间为，单调递增区间为 .所以， 当时，所以在上单调递增 , 当时

14、，所以在上单调递减 ,则；由易知函数。 若对任意的，存在，使，只需即，所以. （）函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立。即对，恒成立。 令（）则 再令，则，故函数在区间上单调递减， ,即，函数在区间上单调递增，,故只要函数在区间上无零点，所以 【思路点拨】若对任意的，存在，使，只需.函数在区间上无零点,可转化为，恒成立，从而研究函数才变得更有意义。21（本小题满分12分） 已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点 （）求椭圆标准方程； （）若直线与的斜率乘积，动点满足, （其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？ 若存在，求,的坐标，若不存在，说明理

15、由； （）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点证明：【知识点】椭圆标准方程的确定和定义、求曲线方程的一般方法以及平面向量的坐标运算。【答案解析】（I）有题设可知：, 又， 椭圆标准方程为.（II）设,则由得,即因为点在椭圆上，所以,故.设分别为直线的斜率，由题设条件知,因此， 所以,即,所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为,，则由椭圆的定义为定值 又,因此两焦点的坐标为，所以存在两个定点，,使得.（）设，有题设可知：由题意可知：， 将代入可得： 点A，D在椭圆x22y22上， ,，.【思路点拨】利用平面向量的坐标运算把动点P的坐标用A,B两点的坐标分

16、别表示，然后根据斜率关系消去A,B两点的坐标，得到,再根据椭圆方程的定义确定为定值的存在性. 多基于斜率运算解决.22（本小题满分10分）选修14：几何证明选讲BCDFGA_OE如图，是的一条切线，切点为，都是的割线，已知. （）证明：； （）证明：.【知识点】圆的切割线定理、相似三角形的性质和平行线的判定方法.【答案解析】 （）是O的一条切线，为割线， ， 又， ； （）由（）有， EAC=DAC，ADCACE， ADC=ACE， ADC=EGF，EGF=ACE， GFAC。 【思路点拨】(I) 从证明结论入手逆推可选用切割线定理；（II）第一问的结论成为证明相似三角形的必备条件，进而从等角

17、入手判断直线平行关系.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 （）求圆的极坐标方程； （）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆 于两点，求弦长的取值范围【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用【答案解析】（）设圆上任意一点坐标，由余弦定理得：,整理得：. （）， ,将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得： ,整理得： , ,， .【思路点拨】（I）利用余弦定理得到关于的圆的极坐标方程；（II）先把圆的极坐标方程转化为普通方程，再结合直线参数方程中参数的意义确定弦长.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数，且的解集为 （）求的值； （）若，且，求证：【知识点】解不等式与参数的确定、基本不等式的应用【答案解析】（）因为，所以等价于， 由有解，得，且其解集为 又的解集为，故 （）由（）知，又，=9 【思路点拨】（I）求出以为参数的不等式的解集，然后与相对应确定的值;(II)通过恒等变形形成适合运算的结构，也可以乘开后利用基本不等式.- 15 -