高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4_2.doc

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1、1 / 6【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练精选高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练 选修选修 4_24_2第 1 课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 1. 已知矩阵 A，B满足 AXB，求矩阵 X.解：设 X，由得a2b3， 2ab1，) 解得所以 X. 2. 已知变换矩阵 A：平面上的点 P(2，1)，Q(1，2)分别变 换成点 P1(3，4)，Q1(0，5)，求变换矩阵 A. 解：设所求的变换矩阵 A，依题意，可得及 ，a b c d即解得a2， b1， c1， d2，)所以所求的变换矩阵 A. 3. 已知 M，N，求二阶矩阵 X，使 MXN. 解：设 X

2、， 由题意有，根据矩阵乘法法则有解得x92， y1， z5， w1.) X. 4. 曲线 x24xy2y21 在二阶矩阵 M的作用下变换为曲线 x22y21，求实数 a，b 的值 解：设 P(x，y)为曲线 x22y21 上任意一点，P(x，y)为 曲线 x24xy2y21 上与 P 对应的点，则，即代入 x22y21 得(xay)22(bxy)21，整理得(12b2) x2(2a4b)xy(a22)y21，又 x24xy2y21，所以解得a2， b0.) 5. (2017扬州中学期初)已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋 转 90后，在矩阵 A对应的变换作用下，得到点 N(3，5)，求 a

3、，b 的值 解：由题意，又，所以a3， 23b5，)2 / 6解得a3， b1.) 6. 已知曲线 C: y22x 在矩阵 M对应的变换作用下得到曲线 C1，C1 在矩阵 N对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2 的方 程 解：设 ANM，则 A，设 P(x，y)是曲线 C 上任一点， 在两次变换作用下，在曲线 C2 上的对应点为 P(x, y)，则 ， 即 xy，y12x.) 又点 P(x，y)在曲线 C: y22x 上， 22y，即曲线 C2 的方程为 yx2. 7. 设曲线 2x22xyy21 在矩阵 A(a0)对应的变换作 用下得到的曲线为 x2y21.求实数 a，b 的值 解：

4、设曲线 2x22xyy21 上任一点 P(x，y)在矩阵 A 对应 变换作用下得到点 P(x，y)，则，x ya 0 b 1所以axx， bxyy.) 因为 x2y21，所以(ax)2(bxy)21，即(a2b2) x22bxyy21，所以解得a1， b1.) 8. 求圆 C：x2y21 在矩阵 A对应的变换作用下所得的曲 线的方程 解：设圆 C 上任一点(x1，y1)在矩阵 A 对应的变换作用下得到 点(x，y)，则，则 x1，y1，代入 x2y21 得所求曲线的方 程为1. 9. 已知矩阵 A，B.若矩阵 AB 对应的变换把直线 l：xy20 变为直线 l，求直线 l的方程 解： A，B，

5、 AB. 在直线 l上任取一点 P(x，y)，设它是由 l 上的点 P0(x0，y0)经 矩阵 AB 所对应的变换作用所得， 点 P0(x0，y0)在直线 l：xy20 上， x0y020 . 又 AB，即， . 将代入得 xyy20，即 4xy80， 直线 l的方程为 4xy80. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，3)在矩阵 M对应的3 / 6变换作用下得到点 Q(y4，y2)，求 M2. 解：依题意，即解得x0， y10，) M2M2， 所以 M2. 11. 已知曲线 C1：x2y21，对它先作矩阵 A对应的变换， 再作矩阵 B对应的变换，得到曲线 C2：y21，求实数

6、 m 的值 解：BA，设 P(x0，y0)是曲线 C1 上的任一点，它在矩阵 BA 变换作用下变成点 P(x，y)， 则，则即又点 P 在曲线 C1 上，则 y21，所以 m21，所以 m1. 第 2 课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 1. 已知变换 T：，试写出变换 T 对应的矩阵 A，并求出其 逆矩阵 A1. 解：由 T：，得 A.设 A1，则 AA1，所以解得a1， b2， c0， d1.)所以 A1. 2. (2017苏北四市期末)已知矩阵 A的一个特征值为 2，其 对应的一个特征向量为 .求实数 a，b 的值 解：由条件知，A2，即2，即，所以 解得a2， b4.) 3.

7、 (2017扬州期末)已知 a，bR，若点 M(1，2)在矩阵 A对应的变换作用下得到点 N(2，7)，求矩阵 A 的特征值解：由题意得，即解得a4， b1，) 所以 A，所以矩阵 A 的特征多项式为 f()2815. 令 f()0，解得 5 或 3，即矩阵 A 的特征值为 5 和 3. 4. 已知二阶矩阵 A，矩阵 A 属于特征值 11 的一个特 征向量为 1，属于特征值 24 的一个特征向量为 2，求 矩阵 A. 解：由特征值、特征向量定义可知，A111， 即1，得同理可得3a2b12， 3c2d8.) 解得因此矩阵 A. 5. 已知矩阵 A，A 的逆矩阵 A1，求 A 的特征值4 / 6

8、解：AA1 , ，则解得a1，b23，) A ，A 的特征多项式 f()(3)(1) 令 f()0，解得 3 或 1. A 的特征值为 3 和 1. 6. 已知矩阵 A.若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ，求该矩阵的另一个特征值解：因为3，则a23， b13，) 解得所以 A. 由 f()(1)240， 所以(1)(3)0，解得 11，23. 所以另一个特征值是1. 7. 已知 a，bR，矩阵 A，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特 征向量为 1，属于特征值 5 的一个特征向量为 2.求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵 解：由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 1， 得，

9、3ab3. 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 2， 得5， ab5. 联立，解得即 A. A 的逆矩阵 A1. 8. 设是矩阵 M的一个特征向量 (1) 求实数 a 的值； (2) 求矩阵 M 的特征值解：(1) 设是矩阵 M 属于特征值 的一个特征向量， 则，故解得 a1. (2) 令 f()(1)(2)60，解得 14，21. 9. 已知矩阵 A将直线 l：xy10 变换成直线 l. (1) 求直线 l的方程； (2) 判断矩阵 A 是否可逆若可逆，求出矩阵 A 的逆矩阵 A1；若不可逆，请说明理由 解：(1) 在直线 l 上任取一点 P(x0，y0)，设它在矩阵 A对应 的变

10、换作用下变为 Q(x，y)5 / 6 ， 即x03xy7，y0x2y7.) 点 P(x0，y0)在直线 l：xy10 上， 10， 即直线 l的方程为 4xy70. (2) det(A)70， 矩阵 A 可逆 设 A1， AA1，解得a37，b17，c17，d27，)2ab1， 2cd0， a3b0， c3d1，) A1. 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x，5)在矩阵 M对应的 变换作用下得到点 Q(y2，y)，求 M1. 解：依题意，即解得x4， y8，) 由逆矩阵公式知， 矩阵 M的逆矩阵 M1， 所以 M1. 11. (2017南通、泰州期末)已知向量是矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(1，1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P(3，3)，求矩阵 A. 解：设 A， 因为向量是矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量， 所以(1).所以ab1， cd1.) 因为点 P(1，1)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 P(3，3)， 所以，所以解得a1， b2， c2， d1，)所以 A. 6 / 6