条件概率和全概率公式.pptx

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1、第1页/共57页第2页/共57页第3页/共57页第4页/共57页第5页/共57页第6页/共57页第7页/共57页第8页/共57页第9页/共57页例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?第10页/共57页第三节 条件概率与全概率公式条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式小结第11页/共57页 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件

2、的概率.一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地 P(A|B)P(A)第12页/共57页P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是B，P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(A|B)于是第13页/共57页例例1 一批产品100件70件正品30件次品甲厂生产40件乙厂生产30件甲厂生产20件乙厂生产10件从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,

3、试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解 第14页/共57页设A、B是两个事件，则称 1.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.第15页/共57页2.条件概率的性质(自行验证)第16页/共57页条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联系联系:事件A,B都发生了.区别:(1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。(2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减样本空间 ;而P(AB)的样本空间还是

4、 .第17页/共57页条件概率的计算方法由定义 ，计算P(B|A).在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 ,然后在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从而求得P(B|A).第18页/共57页 例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为 P(B|A).思考：现年20岁的这种动物，它不能活25年 以上的概率呢？第19页/共57页例2.100件产品中有5件次品,现从中接连 任

5、取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.第20页/共57页由条件概率的定义：即 若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即 若P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)(2)(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率4.乘法公式同样,由可以反求P(AB)第21页/共57页第22页/共57页 一批产品共有一批产品共有9090件产品，其中有件产品，其中有1010件次品，件次品，其余为正品其余为正品.现依次进行不放回抽取三次，求现依次进行不放回抽取三次，求 第三次才取到正品

6、的概率第三次才取到正品的概率.乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例3 3答案答案第23页/共57页某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按最后一个数试求：（1）不超过4次能打通电话的概率（2）若已知最后一位数字是偶数则不超过3次能打通电话的概率是多少？乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例4 4答案答案第24页/共57页袋内有 n 个球(n1个白球，1个红球)，n 个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后 不再放回袋中，试求第 k 人取得红球的概率.乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例5 5答案答案抽签原理抽签原理抓阄问题抓阄问题第25页/共57页例例 五个阄,其中两个阄内写着“有”字

7、,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解解则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?第26页/共57页依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.第27页/共57页例4.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果第一次未击中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.第28页/共57页小结小结条件概率的概念概率的乘法公式要求：在计算概率时经常使用，需要牢固掌握！第29页/共57页有三个箱子,分别编号为1,2,3；

8、1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，123其中 A1、A2、A3两两互斥看一个例子:二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式第30页/共57页 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即 B=A1B+A2B+A3B，

9、且 A1B、A2B、A3B 两两互斥第31页/共57页1.样本空间的划分第32页/共57页一个事件发生一个事件发生.第33页/共57页2.全概率公式 运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分恰当的划分.说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复全概率公式的主要用途在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概分解为若干个简单事件的概 率计算问题率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.第34页/共57页 某一事件B的发生有各种可能的原因，如果B是由原因Ai(i=

10、1,2,n)所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发 生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解第35页/共57页 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果第36页/共57页全概率公式的使用要点全概率公式的使用要点1.如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的

11、事件的概率,此时可用全概率公式解决.2.用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定.第37页/共57页例例.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是车、坐飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.若坐火车来，迟到的概率是若坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到；坐船来，迟到的概率是的概率是0.3；坐汽车来，迟到的概率是；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有多大？多大？第38页/共57页 例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第

12、一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？第39页/共57页 例例7 7 甲箱中有甲箱中有5 5个正品个正品3 3个次品个次品,乙箱中乙箱中有有4 4个正品个正品3 3个次品个次品,从甲箱中任取从甲箱中任取3 3个产品个产品放入乙箱放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品然后从乙箱中任取一个产品,求求这个产品是正品的概率这个产品是正品的概率.第40页/共57页 例例8.某间房门上锁的概率为某间房门上锁的

13、概率为0.5,这个门这个门上的钥匙是架子上的上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把把钥匙中的一把,有人在架子上任意取有人在架子上任意取2把钥匙去开门把钥匙去开门.求求他能打开门的概率他能打开门的概率.第41页/共57页例例9一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为号空调器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它们的不合格品率分别它们的不合格品率分别 ,现在某顾客从现在某顾客从这批空调器中任意选购一台空调器中任意选购一台试求：（试求：（1 1）顾客购到不合格空调器的概率）顾客购到不合格空调器的概率;（2 2）若已知顾客购到不

14、合格的空调器，）若已知顾客购到不合格的空调器，试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大？第42页/共57页该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:看一个例子:3.贝叶斯公式第43页/共57页接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式第44页/共57页 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.

15、某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?第45页/共57页某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?第46页/共57页 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.第47页/共57页贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.第48页/共57页 例 某一地区患有癌

16、症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”.已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，求 P(C|A).第49页/共57页现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第50页/共57页例例8 8

17、答案答案商店出售一批收音机共10台，其中有3件次品，其余为正品.某顾客去选购时，商店已售出2台，该顾客从余下的8台中任选购一台试求：（1 1）该顾客购得正品收音机的概率；（2）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的两台都是次品的概率是多少？第51页/共57页例例答案答案根据对以往数据分析,结果表明:当机器调整良好时,产品的合格品率为90%;而当机器未调整良好时,合格品率仅为30%.通常,每天早上机器开动时,机器处于调整良好状态的概率为75%.若某天早上机器生产的第一件产品是合格品,则这天机器处于调整良好状态的概率是多少?第52页/共57页例例9 已知男子中有已知男子中有5%是色盲患者，女子有是色

18、盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？是多少？第53页/共57页例.已知玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含有0，1，2个残次品的概率相应为0.8，0.1，0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4个，若无残次品，则买下该玻璃杯，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。第54页/共57页例例10 在无线电通信中接连不断地发送信号在无线电通信中接

19、连不断地发送信号0和和1，假设其中假设其中0占占60%，1占占40%；由于存在干扰，发；由于存在干扰，发送信号送信号0时接收信号可能是时接收信号可能是0，1和和x（模糊信号），（模糊信号），概率相应为概率相应为0.7，0.1和和0.2；发送信号；发送信号1时接收信号时接收信号也可能是也可能是0，1和和x（模糊信号），概率相应为（模糊信号），概率相应为0.05，0.85和和0.1。问接收到模糊信号。问接收到模糊信号x时译成哪个信号为时译成哪个信号为好？好？第55页/共57页例11.某地区有61%的人抽烟,有24%的人不抽烟,有15%的人曾经抽过烟.已知以上三种情况死于肺癌的概率依次为0.5、0.1、0.2.求一个死于肺癌的病人,他是不抽烟的概率是多少?第56页/共57页感谢您的观看。第57页/共57页