条件概率及全概率公式.ppt

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1、条件概率及全概率公条件概率及全概率公式式P(A)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素，它们的出现是等个元素，它们的出现是等可能的，其中只有可能的，其中只有1个在集个在集A中，中，容易看到容易看到P(A|B)P(A)=3/10，又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品中有件正品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件

2、二等品.现从这现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)P(A)=3/10，B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，本例中，计计算算P(A)时时，依，依据的前提条件是据的前提条件是10件件产产品中一品中一等品的比例等品的比例.A=取到一等品取到一等品，计计算算P(A|B)时时，这这个前提条件未个前提条件未变变，只，只是加上是加上“事件事件B已已发发生生”这这个新的条件个新的条件.这好象给了我们一个这好象给了我们一个“信息信息”，使我们得，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题以在某个缩小了的范围内来考虑问题.若事件若事件B

3、已已发发生生,则为则为使使 A也也发发生生,试验结试验结果必果必须须是既是既在在 B 中又在中又在A中的中的样样本点本点,即即此点必属于此点必属于AB.由于我由于我们们已已经经知道知道B已已发发生生,故故B变变成了新的成了新的样样本空本空间间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则则称称 (1)2.条件概率的定义条件概率的定义为为在事件在事件B发发生的条件下生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.3.条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1.对对任一事件任一事件A，0P(A|B)1;2.P(|B)=

4、1；3.设设A1,An互不相容，互不相容，则则P(A1+An)|B=P(A1|B)+P(An|B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.2)从加入条件后可用缩减样本空间法从加入条件后可用缩减样本空间法4.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷掷出出2点点，B=掷掷出偶数点出偶数点P(A|B）=B发发生后的生后的缩缩减减样样本空本空间间所含所含样样本点本点总总数数在在缩缩减减样样本空本空间间中中A所含所含样样本点本点个数个数例例1 1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗

5、掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1:解法解法2:解解:设设A=掷掷出点数之和不小于出点数之和不小于10 B=第一第一颗掷颗掷出出6点点应用定义应用定义在在B发发生后的生后的缩缩减减样样本空本空间间中中计计算算 例例2 2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到2020岁以上的概率为岁以上的概率为0.80.8，活到，活到2525岁以上的概率为岁以上的概率为0.40.4。如果现在有一个。如果现在有一个2020岁的这种动物，问它能活到岁的这种动物，问它能活到2525岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设

6、A表示表示“能活到能活到20岁岁以上以上”，B表示表示“能能活到活到25岁岁以上以上”。则则由已知由已知从而所求的概率为从而所求的概率为条件概率与无条件概率条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系之间的大小无确定关系若若一般地一般地条件概率条件概率无条件概率无条件概率二二、乘法公式乘法公式由条件概率的定义：由条件概率的定义：定理定理1.1若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)(2)和和(3)式都称式都称为为乘法公式乘法公式,利用利用它它们们可可计计算

7、两个事件同算两个事件同时发时发生的概率生的概率多个事件的乘法公式多个事件的乘法公式 则有则有这就是这就是n个事件的乘法公式个事件的乘法公式 例例1 1 在在100件件产产品中有品中有5件是次品，从中件是次品，从中连续连续无放无放回地抽取回地抽取3次，次，问问第三次才取得次品的概率。第三次才取得次品的概率。解：解：设设A表示表示“第第i次取得次品次取得次品”(i=1,2,3),B表示表示“第第三次才取到次品三次才取到次品”，则则例例2 2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进

8、一个白球，直至取出黑球为止求取了进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都次都未取出黑球的概率未取出黑球的概率解：解：则则由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有返回主目录乘法公式应用举例乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个个红红球球.随机地抽取一个球，随机地抽取一个球，观观看看颜颜色后放回罐中，色后放回罐中，并且再加并且再加进进c个与所抽出的球具有相同个与所抽出的球具有相同颜颜色的球色的球.这这种手种手续进续进行四次，行四次，试试求第一、求第一、二次取到白球且第三、四次取到二次取到白球且第三、四次取到红红球的概球的概率率.（波里亚罐子模型）（波里亚罐

9、子模型）b个白球个白球,r个红球个红球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续连续取四个球，第取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是一、第二个是白球，第三、四个是红红球球.”随机取一个球，随机取一个球，观观看看颜颜色色后放回罐中，并且再加后放回罐中，并且再加进进c个个与所抽出的球具有相同与所抽出的球具有相同颜颜色的色的球球.解解:设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是次取出是红红球球，j=1,2,3,4b个白球个白球,r个红球个红球用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时时，由于每次取出球后会增加下，由于每次取出球后会增加下一次

10、也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率.这这是一个是一个传传染病染病模型模型.每次每次发现发现一个一个传传染病患者，都会增加染病患者，都会增加再再传传染的概率染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率,它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公

11、式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式例例1 1 有三个箱子，分有三个箱子，分别编别编号号为为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个个红红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球.某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得中任意摸出一球，求取得红红球的概率球的概率.解：解：记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得取得红红球球即即 B=A1B+A2B+A3B，且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发发生生总总是伴随着是伴随着A1，A2，A3 之一同之一同时发时发生，生，P(B)=P(A1B)+P

12、(A2B)+P(A3B)运用加法公式得运用加法公式得123将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式得运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据代入数据计计算得：算得：P(B)=8/151.全概率公式全概率公式:A1A2An.BA1BA2.BAn 定定义义1.6 设设 为试验为试验 E 的的样样本空本空间间，为为 E 的一的一组组事件。若事件。若满满足足 (1)(2)则则称称为样为样本空本空间间 的一个的一个划分划分。1.全

13、概率公式全概率公式:则则 设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件，且且P(Ai)0，i=1,2,n,另另有有一一事事件件B,它它总总是是与与A1,A2,An之一同之一同时发时发生，即生，即 ，定理定理1.2全概率公式的证明全概率公式的证明由条件：由条件：得得而且由而且由A1A2An.BA1BA2.BAn所以由概率的可列可加性，得所以由概率的可列可加性，得代入公式（代入公式（1），得），得返回主目录全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，

14、而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率返回主目录 例例1 1 有有一一批批产产品品是是由由甲甲、乙乙、丙丙三三厂厂同同时时生生产产的的.其其中中甲甲厂厂产产品品占占50%,乙乙厂厂产产品品占占30%,丙丙厂厂产产品品占占20%,甲甲厂厂产产品品中中正正品品率率为为95%,乙乙厂厂产产品品正正品品率率为为90%,丙丙厂厂产产品品正正品品率率为为85%,如如果果从从这这批批产产品品中中随随机机抽抽取取一一件件,试计试计算算该产该产品是正品的概率多大品是正品的概率多大?解解 设设A、B、C分分别

15、别表示抽得表示抽得产产品是甲厂、乙厂、品是甲厂、乙厂、丙厂生丙厂生产产的，的，D 表示抽得表示抽得产产品品为为正品，正品，则由已知则由已知，从从而而任任取取一一件件产产品品为为正正品品的的概概率率可可由由全全概概率率公公式式得得到：到：例例2 2 某小某小组组有有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四级级射手分射手分别为别为2、6、9、3名又若名又若选选一、二、三、一、二、三、四四级级射手参加比射手参加比赛赛，则则在比在比赛赛中射中目中射中目标标的概的概率分率分别为别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机，今随机选选一一人参加比人参加比赛赛，试试求求该该小小组组在比

16、在比赛赛中射中目中射中目标标的的概率概率解：解：由全概率公式，有由全概率公式，有 例例3 3 甲、乙、丙三人同甲、乙、丙三人同时对飞时对飞机机进进行射行射击击,三人三人击击中的概率分中的概率分别为别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一人机被一人击击中而中而击击落的概率落的概率为为0.2,被两人被两人击击中而中而击击落的概率落的概率为为0.6,若三人都若三人都击击中中,飞飞机必定被机必定被击击落落,求求飞飞机被机被击击落的概率落的概率.设设B=飞飞机被机被击击落落 Ai=飞飞机被机被i人人击击中中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|

17、A2)+P(A3)P(B|A3)则则 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依依题题意，意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得可求得:为为求求P(Ai),设设 Hi=飞飞机被第机被第i人人击击中中,i=1,2,3 将数据代入将数据代入计计算得算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 例例4 4 要验收一批要验收一批(100 件件)乐器。验收方案如乐器。验收方案如下：

18、自该批乐器中随机地抽取下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试件测试(设设 3 件件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试音色不纯的乐器被测试纯纯的概率为的概率为 0.95，而一件，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果。如果这件乐器中恰有这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？被接受的概率是多少？纯、纯、纯纯、纯、纯 接受ppp不纯、纯、纯q纯、纯

19、、纯 接受ppH1：H0：H2：p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05解：以解：以 Hi (i=0,1,2,3)表示事件表示事件“随机取出的随机取出的 3 件乐器中恰有件乐器中恰有 i 件音色不纯件音色不纯”，以，以 A 表示事件表示事件“这批乐器被接受这批乐器被接受”，即，即 3 件都被测试为音色件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得纯的乐器。由测试的相互独立性得：不纯、不纯、纯、纯、不纯不纯q纯、纯、纯纯、纯、纯 接受接受pq不纯、不纯、不纯、不纯、不纯不纯q纯、纯、纯纯、纯、纯 接受接受qqH3：返回主目录p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05纯、

20、纯纯、纯、纯、纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受不纯、纯不纯、纯、纯、纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受不纯、纯不纯、纯、不纯、不纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受 都都 不不 纯纯纯、纯纯、纯、纯、纯 接受接受H0 H1 H2 H3 p ppqqqq qqp pp另外，另外，该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性最大性最大?这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该

21、球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已已知结果求原因知结果求原因”有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取

22、自球是取自1号箱的概率号箱的概率.记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球求求P(A1|B).运用全概率公式运用全概率公式计计算算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?该该公式于公式于1763年由年由贝贝叶斯叶斯(Bayes)给给出出.它它是在是在观观察到事件察到事件B已已发发生的条件下，生的条件下，寻寻找找导导致致B发发生的每个原因的概率生的每个原因的概率.2.贝叶斯公式：贝叶斯公式：设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件，且且P(Ai)0，i=1,2,n,另另

23、有有一一事事件件B，它它总总是是与与A1,A2,An 之一同之一同时发时发生，生，则则 BayesBayes公式的使用公式的使用我我们们把事件把事件B看作某一看作某一过过程的程的结结果，果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已已经发经发生，要求此生，要求此时时是由第是由第 i 个原个原因引起的概率，因引起的概率，则则用用Bayes公式公式 例例5 5 同一种同一种产产品由甲、乙、丙三个厂供品由甲、乙、丙三个厂供应应。由。由长长期的期的经验经验知，三家的正品率分

24、知，三家的正品率分别为别为0.95、0.90、0.80，三家，三家产产品数所占比例品数所占比例为为2:3:5，混合在一起。，混合在一起。（1）从中任取一件，求此）从中任取一件，求此产产品品为为正品的概率；正品的概率；（2）现现取到一件取到一件产产品品为为正品，正品，问问它是由甲、乙、它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生丙三个厂中哪个厂生产产的可能性大？的可能性大？解解:设设事件事件A表示表示“取到的取到的产产品品为为正品正品”，分分别别表示表示“产产品由甲、乙、丙厂生品由甲、乙、丙厂生产产”由已知由已知（1 1）由全概率公式得：）由全概率公式得：由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得由以上由以上3 3个数作

25、比较，可知这件产品个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。能性最大，由甲厂生产的可能性最小。例例6 6数数字字通通讯讯过过程程中中，信信源源发发射射0 0、1 1两两种种状状态态信信号号，其其中中发发0 0的的概概率率为为0.550.55，发发1 1的的概概率率为为0.450.45。由由于于信信道道中中存存在在干干扰扰，在在发发0 0的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.90.9、0.050.05和和0.050.05接接收收为为0 0、1 1和和“不不清清”。在在发发1 1的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.850.85、

26、0.050.05和和0.10.1接接收收为为1 1、0 0和和“不不清清”。现现接接收收端端接接收收到到一一个个“1”“1”的的信号。问发端发的是信号。问发端发的是0 0的概率是多少的概率是多少?)B A (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067 例例7 7 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为时，产品的合格率为 90%,而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，其合格率为其合格率为 30%。每天早上机器开动时，机器调整良好。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为 75%。已知某天早上第

27、一件产品是合格品，试。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？求机器调整得良好的概率是多少？机器调整得良好机器调整得良好 产品合格产品合格 机器发生某一故障机器发生某一故障 解解：例例8 8 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种，患者对一种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验，正常人对这种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症

28、”.已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽抽查查的人患有癌症的人患有癌症，A=试验结试验结果是阳性果是阳性，求求P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据代入数据计计算得算得:P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做如果不做试验试验,抽抽查查一人一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005

29、 患者阳性反患者阳性反应应的概率是的概率是0.95，若，若试验试验后得阳性反后得阳性反应应，则则根据根据试验试验得来的信息，此人是患者的概率得来的信息，此人是患者的概率为为 P(CA)=0.1066 说说明明这这种种试验对试验对于于诊诊断一个人是否患有癌断一个人是否患有癌症有意症有意义义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加将近增加约约21倍倍.1.这这种种试验对试验对于于诊诊断一个人是否患有癌症断一个人是否患有癌症 有无意有无意义义？2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结试验结果果为为阳性阳性,此人确患癌症的概率此人确患癌症的概率为为 P(CA)=0.106

30、6 即使你即使你检检出阳性，尚可不必出阳性，尚可不必过过早下早下结论结论你有你有癌症，癌症，这这种可能性只有种可能性只有10.66%(平均来平均来说说，1000个个人中大人中大约约只有只有107人确患癌症人确患癌症)，此，此时时医生常要通医生常要通过过再再试验试验来确来确认认.贝叶斯公式贝叶斯公式在在贝贝叶斯公式中，叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分分别别称称为为原因的原因的验验前概率前概率和和验验后概率后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有是在没有进进一步信息（不知道事一步信息（不知道事件件B是否是否发发生）的情况下，人生）的情况下，人们对诸们对诸事件事件发发生可生可能性大小的

31、能性大小的认识认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发发生），人生），人们对诸们对诸事件事件发发生可能性大小生可能性大小P(Ai|B)有了新的估有了新的估计计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。这一讲我们介绍了这一讲我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作作“贝叶斯统计贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影可见贝叶斯公式的影响响.