条件概率和全概率公式.doc

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1、1.4条件概率和全概率公式1.4.1条件概率与乘法公式一、 条件概率的定义和性质：条件概率是概率论中一个重要而使用的概念，所考虑的是在事件已发生的条件下事件发生的概率，记作。先看一个例子。 引例 掷一枚骰子，观察出现的点数，表示“出现3点”，表示“出现奇数”，求，及在已知发生的条件下发生的概率。定义 设是两个事件，且，称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。不难验证，条件概率符合概率定义中的三个条件，即非负性：对于每一事件，有；规范性：对于必然事件，有；若事件两两互不相容，则有 即然条件概率符合上述三个条件，故对前面所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如：； 例1（见书）例2 （练）一个

2、家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假设一个小孩是男还是女是等可能的）二、概率的乘法公式由条件概率的定义可立即得到下述概率的乘法公式。概率的乘法公式设，则有或设，则有上式可推广到多个事件的积事件的情况。例如，设为事件，且，则有一般，设为任意个事件，则有其中 例3 (见书) 例4 (见书)例5 设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一个元件，求：（1）三次都是得一等品的概率；（2）三次中至少有一次取得一等品的概率。由上例可见，为了计算某个复杂事件的概率，往往需要把这个事件写成某些较简单的事件的并或交，然后利用概率

3、加法公式或概率乘法公式计算所求事件的概率。更一般地，我们有下面的公式。1.4.2全概率公式和贝叶斯公式一、划分(完备事件组)：定义 设为试验的样本空间，为的一组事件。若(1) (2) ，则称事件组为样本空间的一个划分。注 若事件组为样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件中必有一个且仅有一个发生。例如，设试验为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为。 的一组事件，是的一个划分。二、全概率公式定理 设试验的样本空间为，为的事件，若事件组为的一个划分，且则有称为全概率公式。 全概率公式常用来求复杂事件的概率，而使用全概率公式的关键是找一个合适的完备事件组。例6 设甲袋装有2只白球，1只红球；乙

4、袋中装有1只白球、2只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？三、贝叶斯公式定理 设试验的样本空间为，为的事件，若事件组为的一个划分，且，则有，称为贝叶斯公式。特别当时，并将记为，此时就是，那么全概率公式和贝叶斯公式分别成为例7 某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一中产品，它们的产品占全厂产品的比例分别0.25，0.35，0.40并且它们的废品率分别为0.05，0.04，0.02今从该厂产品中任取出一件，问是废品的概率为多少？如果已知取出的一件产品是废品，它最大可能是哪个车间生产的？ 称为先验概率，它是根据以往数据分析所得的； 称为后验概率，它是在得到新的信息（抽一产品发现是废品，即事件发生）后重新加以修正的概率，修正的方法就是利用贝叶斯公式。例8 (见书例9)例9 (见书例10)