条件概率和全概率公式学习教案.pptx

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1、条件概率条件概率(gil)和全概率和全概率(gil)公式公式第一页，共57页。第1页/共57页第二页，共57页。第2页/共57页第三页，共57页。第3页/共57页第四页，共57页。第4页/共57页第五页，共57页。第5页/共57页第六页，共57页。第6页/共57页第七页，共57页。第7页/共57页第八页，共57页。第8页/共57页第九页，共57页。第9页/共57页第十页，共57页。例3 某城市共发行(fhng)A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该

2、户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?第10页/共57页第十一页，共57页。第三节第三节 条件条件(tiojin)概率与全概率公式概率与全概率公式条件条件(tiojin)概率与乘法公式概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式小结小结第11页/共57页第十二页，共57页。在解决在解决(jiju)许多概率问题时，往往需要许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息在有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率与乘法一、条件概率与乘法一、条件概率与乘法一、条件概率与乘法(chngf)(chngf)公式公式公式公式如在事件

3、如在事件(shjin)B发生的条件下求事件发生的条件下求事件(shjin)A发生的概率，将此概率记作发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地一般地 P(A|B)P(A)第12页/共57页第十三页，共57页。P(A)=1/6，例如例如(lr)，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数掷出偶数(u sh)点点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能 结果构成的集合结果构成的集合(jh)就是就是B，P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等 可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个

4、在集A中中.容易看到容易看到P(A|B)于是于是第13页/共57页第十四页，共57页。例例1 一批产品一批产品(chnpn)100件件70件正品件正品(zhngpn)30件次品件次品(cpn)甲厂生产甲厂生产40件件乙厂生产乙厂生产30件件甲厂生产甲厂生产20件件乙厂生产乙厂生产10件件从中任取从中任取1件件,记记A=“取到正品取到正品”,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品”,试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解 第14页/共57页第十五页，共57页。设设A、B是两个是两个(lin)事件，则称事件，则称 1.条件概率条件概率(gil)的定义的定义为在事件为在

5、事件(shjin)B发生的条件下发生的条件下,事件事件(shjin)A的条件的条件概率概率.为在为在事件事件A发生发生的条件下的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.第15页/共57页第十六页，共57页。2.条件概率的性质条件概率的性质(自行自行(zxng)验证验证)第16页/共57页第十七页，共57页。条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别(qbi)和联系联系联系:事件事件(shjin)A,B(shjin)A,B都发生了都发生了.区别区别:(1):(1)条件概率条件概率P(A|B)P(A|B)是在实验是在实验E E的条件下的条件下增加条件增加条件B B发生后发生后,求此时事件求此

6、时事件(shjin)A(shjin)A发生发生的概率的概率.而积事件而积事件(shjin)P(AB)(shjin)P(AB)是在实验是在实验E E的的条件下条件下ABAB同时发生的概率。同时发生的概率。(2)(2)样本空间不同样本空间不同,在在P(A|B)P(A|B)中样本空间是缩减中样本空间是缩减样本空间样本空间 ;而而P(AB)P(AB)的样本空间还是的样本空间还是 .第17页/共57页第十八页，共57页。条件(tiojin)概率的计算方法由定义由定义 ，计算，计算P(B|A).P(B|A).在事件在事件A A 发生的条件下将原样本空间发生的条件下将原样本空间 缩缩 减为事件减为事件A A

7、所包含的样本点的集合所包含的样本点的集合(jh),(jh),然后然后在缩减的样本空间中计算事件在缩减的样本空间中计算事件B B发生的概率发生的概率,从从而求得而求得P(B|A).P(B|A).第18页/共57页第十九页，共57页。例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现年问现年(xin nin)20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以上(yshng)，B=能活能活25年以上年以上(yshng)依题意

8、依题意(t y)，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A).思考：现年思考：现年20岁的这种动物，它不能活岁的这种动物，它不能活25年年 以上的概率呢？以上的概率呢？第19页/共57页第二十页，共57页。例2.100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得(qd)正品的 条件下,第二次取得(qd)次品的概率.第20页/共57页第二十一页，共57页。由条件概率由条件概率(gil)的定义：的定义：即即 若若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以可以(ky)反求反求P(AB).即即 若若P(A)

9、0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)(2)(1)和和(2)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件它们可计算两个事件(shjin)同时发生的概率同时发生的概率4.乘法公式乘法公式同样同样,由由可以反求可以反求P(AB)第21页/共57页第二十二页，共57页。第22页/共57页第二十三页，共57页。一批产品共有一批产品共有9090件产品，其中有件产品，其中有1010件次品，其件次品，其余为正品余为正品(zhngpn).(zhngpn).现依次进行不放回抽取三次，现依次进行不放回抽取三次，求求 第三次才取到正品第三次才取到正品(zhngpn)(zhngpn)的概的概率率.

10、乘法乘法(chngf)公式应用举例公式应用举例例例3 3答案答案第23页/共57页第二十四页，共57页。某人忘记电话号码最后一位数字，因而(yn r)任意地按最后一个数试求：（1）不超过4次能打通(d tng)电话的概率（2）若已知最后一位数字是偶数则不超过3次能打通电话(dinhu)的概率是多少？乘法公式应用举例乘法公式应用举例例例4 4答案答案第24页/共57页第二十五页，共57页。袋内有 n 个球(n1个白球，1个红球)，n 个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后 不再(b zi)放回袋中，试求第 k 人取得红球的概率.乘法公式应用乘法公式应用(yngyng)举例举例例例5 5

11、答案答案抽签原理抽签原理抓阄问题抓阄问题第25页/共57页第二十六页，共57页。例例 五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次五人依次(yc)(yc)抓取抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解则有则有抓阄抓阄(zhu ji)是否与次序有关是否与次序有关?第26页/共57页第二十七页，共57页。依此类推依此类推(y c li tu)故抓阄故抓阄(zhu ji)与次序无关与次序无关.第27页/共57页第二十八页，共57页。例4.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果(rgu)第一次未击

12、中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果(rgu)第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.第28页/共57页第二十九页，共57页。小结小结小结小结条件概率的概念条件概率的概念概率的乘法公式概率的乘法公式要求：在计算要求：在计算(j sun)概率时经常使用，需要牢固掌握！概率时经常使用，需要牢固掌握！第29页/共57页第三十页，共57页。有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3；1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球,3号箱装有号箱装

13、有3 红球红球.某人某人(mu rn)从三箱中任取一箱从三箱中任取一箱,从从中中任意摸出一球任意摸出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得取得(qd)红球红球B发生发生(fshng)总是伴随着总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生之一同时发生(fshng)，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式公式公式公式第30页/共57页第三十一页，共57页。将将此此例例中中所所用用(su

14、 yn)的的方方法法推推广广到到一一般般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法(chngf)公式得公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据代入数据(shj)计算得：计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B=A1B+A2B+A3B，且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥第31页/共57页第三十二页，共57页。1.样本空间的划分样本空间的划分(hu fn)第32页/共57页第三十三页，共57页。一个事件发生一个事件发生.第33页/共57页第三十四

15、页，共57页。2.全概率全概率(gil)公式公式 运用全概率公式运用全概率公式(gngsh)(gngsh)的关键在于找出样本空间一个的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分恰当的划分.说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复全概率公式的主要用途在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概分解为若干个简单事件的概 率计算问题率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.第34页/共57页第三十五页，共57页。某某一一事事件件B的的发发生生(fshng)有有各各种种可可能能的的原原因因，如如果果B是是由由原原因因Ai(

16、i=1,2,n)所所引引起起，则则B发发生生(fshng)的概率是的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生发生(fshng)，故，故B发发 生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起B发生发生(fshng)概率的总和，概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率全概率(gil)公式公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解第35页/共57页第三十六页，共57页。由由此此可可以以形形象象地地把把全全概概率率公公式式看看成成为为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即

17、结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关.全全概概率率公公式式表表达了它们达了它们(t men)之间的关系之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因(yunyn)B是结果是结果第36页/共57页第三十七页，共57页。全概率公式的使用(shyng)要点1.如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定(qudng)为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式解决.2.用全概率公式的关键是确定(qudng)样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定(qudng).第37页/共57页第三十八页

18、，共57页。例例.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率车、坐飞机来的概率(gil)分别是分别是0.3，0.2，0.1，0.4.若坐火车来，迟到的概率若坐火车来，迟到的概率(gil)是是0.25；坐船来，迟到；坐船来，迟到的概率的概率(gil)是是0.3；坐汽车来，迟到的概率；坐汽车来，迟到的概率(gil)是是0.1；坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率(gil)有有多大？多大？第38页/共57页第三十九页，共57页。例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司

19、的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率(gil)为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率(gil)为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率(gil)为多少？第39页/共57页第四十页，共57页。例7 甲箱中有5个正品3个次品,乙箱中有4个正品3个次品,从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后(rnhu)从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率.第40页/共57页第四十一页，共57页。例8.某间房门上锁的概率为0.5,这个(zh ge)门上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把,有人在架子上任意取2把钥匙去开门.求他能打开门的概率.第4

20、1页/共57页第四十二页，共57页。例例9一商店出售的是某公司一商店出售的是某公司(n s)三个分厂生产三个分厂生产的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它们的不合格品率分别，它们的不合格品率分别 ,现在某顾客从这批空调器中任意现在某顾客从这批空调器中任意(rny)选购一台选购一台试求：（试求：（1 1）顾客）顾客(gk)(gk)购到不合格空调器的概率购到不合格空调器的概率;（2 2）若已知顾客购到不合格的空调器，）若已知顾客购到不合格的空调器，试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大？第42

21、页/共57页第四十三页，共57页。该球取自哪号箱的可能性该球取自哪号箱的可能性最大最大?这一类问题这一类问题(wnt)是是“已知结果求原因已知结果求原因”.在实际中更在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意(rny)摸摸出一球，发现是红球出一球，发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者或者(huzh)问问:看一个例子看一个例子:3.贝叶斯公式贝叶斯公式第43页/共57页第四十四页，共57页。接下

22、来我们接下来我们(w men)介绍为解决这类问题而引出介绍为解决这类问题而引出的的贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)第44页/共57页第四十五页，共57页。有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个个白球，白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现(fxin)是红球是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?第45页/共57页第四十六页，共57页。某人某人(mu rn)从任一箱中任意摸出一从

23、任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自球，发现是红球，求该球是取自1号箱号箱的概率的概率.记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得取得(qd)红球红球求求P(A1|B)运用全概率公式运用全概率公式(gngsh)计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?第46页/共57页第四十七页，共57页。该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件B已发生的条件已发生的条件(tiojin)下，寻找导致下，寻找导致B发生发生的每个原因的概率的每个原因的概

24、率.第47页/共57页第四十八页，共57页。贝叶斯公式贝叶斯公式(gngsh)在实际中有很多应用在实际中有很多应用.它可以帮助它可以帮助(bngzh)人们确定某结果（事件人们确定某结果（事件 B）发）发生的最可能原因生的最可能原因.第48页/共57页第四十九页，共57页。例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验种试验(shyn)反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.95，正常人对，正常人对这种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症

25、患者的概率有多大率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解求解(qi ji)如下如下:设设 C=抽查抽查(chuch)的人患有癌症的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).第49页/共57页第五十页，共57页。现在来分析一下现在来分析一下(yxi)(yxi)结果的意义结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据代入数据(shj)计算得计算得 P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否检出阳性是否(sh fu)一定患有癌症一定患有癌症?1

26、.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第50页/共57页第五十一页，共57页。例例8 8答案答案商店商店(shngdin)出售一批收音机共出售一批收音机共10台，其中有台，其中有3件次品，件次品，其余为正品其余为正品.某顾客去选购时，商店某顾客去选购时，商店(shngdin)已售出已售出2台，台，该顾客从余下的该顾客从余下的8台中任选购一台试求：台中任选购一台试求：（1 1）该顾客）该顾客(gk)(gk)购得正品收音机的概率；购得正品收音机的概率；（2）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的两台都是次品的概

27、率两台都是次品的概率(gil)是多少？是多少？第51页/共57页第五十二页，共57页。例例答案答案根据对以往数据分析根据对以往数据分析,结果表明结果表明:当机器调整当机器调整(tiozhng)良好良好时时,产品的合格品率为产品的合格品率为90%;而当机器未调整而当机器未调整(tiozhng)良好时良好时,合合格品率仅为格品率仅为30%.通常通常,每天早上机器开动时每天早上机器开动时,机器处于机器处于调整调整(tiozhng)良好状态的概率为良好状态的概率为75%.若某天早上机器生产的第若某天早上机器生产的第一件产品是合格品一件产品是合格品,则这天机器处于调整则这天机器处于调整(tiozhng)

28、良好状态的概良好状态的概率是多少率是多少?第52页/共57页第五十三页，共57页。例例9 已知男子已知男子(nnz)中有中有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等是色盲患者。今从男女人数相等(xingdng)的人群中随机地的人群中随机地挑选一人，恰好挑选一人，恰好(qiho)是色盲患者，问此人是男性的概率是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？是多少？第53页/共57页第五十四页，共57页。例.已知玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱含有0，1，2个残次品的概率相应为0.8，0.1，0.1.一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查

29、看4个，若无残次品，则买下该玻璃杯，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实(qush)没有残次品的概率。第54页/共57页第五十五页，共57页。例例10 在无线电通信中接连不断在无线电通信中接连不断(ji lin b dun)地发送信号地发送信号0和和1，假设假设(jish)其中其中0占占60%，1占占40%；由于存在干扰，发；由于存在干扰，发送信号送信号0时接收信号可能时接收信号可能(knng)是是0，1和和x（模糊信号），（模糊信号），概率相应为概率相应为0.7，0.1和和0.2；发送信号；发送信号1时接收信号时接收信号也可能是也可能是0，1和和x（模糊信号），概率相应为（模糊信号），概率相应为0.05，0.85和和0.1。问接收到模糊信号。问接收到模糊信号x时译成哪个信号为时译成哪个信号为好？好？第55页/共57页第五十六页，共57页。例11.某地区有61%的人抽烟,有24%的人不抽烟,有15%的人曾经抽过烟.已知以上三种情况死于肺癌(fi i)的概率依次为0.5、0.1、0.2.求一个死于肺癌(fi i)的病人,他是不抽烟的概率是多少?第56页/共57页第五十七页，共57页。