条件概率全概率公式与贝叶斯公式.pptx

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1、 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地一般地 P(A|B)P(A)第1页/共34页P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到容易看到P(A|B)于是第2页/共34页 若事件若事件B已发生已发生,则为使

2、则为使 A也也发生发生,试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点,即即此点必属于此点必属于AB.由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生,故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)2.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.第3页/共34页2.性质性质第4页/共34页 例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1解法解法2 解 设A=掷出

3、点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用 定义在B发生后的缩减样本空间中计算第5页/共34页条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下是在该试验条件下事件事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与 P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小,即 P(A|B)仍是概率.第6页/共34页3.3.乘法定理第

4、7页/共34页第8页/共34页第9页/共34页1.样本空间的划分样本空间的划分二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式第10页/共34页一个事件发生一个事件发生.第11页/共34页2.全概率公式全概率公式第12页/共34页图示图示证明证明第13页/共34页第14页/共34页 某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,n)所引起，则A发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起A发生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还

5、可以从另一个角度去理解第15页/共34页说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.第16页/共34页例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30%,二厂生产的占 50%,三厂生产的占 20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解第17页/共34页由全概率

6、公式得30%20%50%2%1%1%第18页/共34页例2 有甲、乙两个袋子，甲袋子有两个白球，一个红球。乙袋子有两个红球，一个白球。今从甲袋子任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋子中任取一球。问此球是红球的概率？设事件设事件 为为“从甲袋子放入乙袋子是白球从甲袋子放入乙袋子是白球”,解为“从甲袋子放入乙袋子是红球”,事件第19页/共34页该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子看

7、一个例子:第20页/共34页接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式第21页/共34页 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.第22页/共34页证明证明证毕证毕第23页/共34页例2第24页/共34页解第25页/共34页(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得第26页/共34页第27页/共34页上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率第28页/共34页解例3第29页/共34页由贝叶斯公式得所求概率为即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.第30页/共34页1.条件概率条件概率全概率公式贝叶斯公式三、小结乘法定理第31页/共34页第32页/共34页第33页/共34页感谢您的欣赏第34页/共34页