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1、- 1 -第二课第二课 函数及其基本性质函数及其基本性质核心速填1函数的三要素定义域、对应关系、值域2函数的表示方法解析法、列表法、图象法3函数的单调性奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反在公共区域上:增函数增函数增函数,减函数减函数减函数,增函数减函数增函数,减函数增函数减函数4函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义域关于原点对称(2)奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数的图象关于y轴成轴对称(3)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么它们在公共定义域上,满足:奇函数奇函数奇函数,奇函数奇函数偶函数,偶函数偶函数偶函数,奇函数偶函数奇函数体系构建题型探究求函数
2、的定义域(1)求函数y的定义域5xx11 x29(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域解 (1)解不等式组Error!得Error!故函数的定义域是x|1x5 且x3(2)设矩形的一边长为x,则另一边长为 (a2x),1 2- 2 -所以yx (a2x)x2ax,定义域为Error!.1 21 2规律方法 1已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.2实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.跟踪训练1函数f(x)(3x1)0的定义域是( )3x21x【导学号:37102180】A. B.(,1
3、 3)(1 3,1)C. D.(1 3,1 3)(,1 3) (1 3,1)D D 由Error!得x0 时,f(x)1,则f(x)的解析式为x_(2)已知f ,则f(x)的解析式为_(1x x)1x2 x21 x(1)f(x)Error!(2)f(x)x2x1,x(,1)(1,) (1)设x0,f(x)1.f(x)是奇函数,f(x)f(x),x即f(x)1,f(x)1.xxf(x)是奇函数,f(0)0,f(x)Error!(2)令t 1,则t1.把x代入f ,得f(t)1x x1 x1 t1(1x x)1x2 x21 x1(1 t1)2(1 t1)21 1 t1(t1)21(t1)t2t1.
4、所以所求函数的解析式为f(x)x2x1,x(,1)(1,)规律方法 求函数解析式的题型与相应的解法- 3 -1已知形如fgx的解析式求fx的解析式,使用换元法或配凑法.2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数,使用待定系数法.3含fx与fx或fx与,使用解方程组法.f(1x)4已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.跟踪训练2(1)已知f(x)3f(x)2x1,则f(x)_.(2)二次函数f(x)ax2bxc(a,bR R,a0)满足条件:当xR R 时,f(x)的图象关于直线x1 对称;f(1)1;f(x)在 R R 上的最小值为 0.求函数f(x)的解析式. (1)x
5、 因为f(x)3f(x)2x1,以x代替x得f(x)3f(x)2x1,两式联1 21 2立得f(x)x .1 21 2(2)解 因为f(x)的对称轴为x1,所以1 即b2a,b 2a又f(1)1,即abc1,由条件知:a0,且0,4acb2 4a即b24ac,由上可求得a ,b ,c ,1 41 21 4所以f(x)x2x .1 41 21 4函数的性质及应用已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,且f .axb 1x2(1 2)2 5(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数思路探究:(1)用f(0)0 及f 求a,b的值;(1 2)2 5(2)用单
6、调性的定义求解解 (1)由题意,得Error!Error!故f(x).x 1x2(2)任取10,1x0.2 12 2又10,f(x1)f(x2)fx2的形式.2根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.函数的图象及应用对于函数f(x)x22|x|.(1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性;(2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值. 【导学号:37102182】解 (1)函数的定义域为 R R,关于原点对称,f(x)(x)22|x|x22|x|.则f(x)f(x),f(x)是偶函数,图象关于y轴对称(2)f(x)x22|x|E
7、rror!画出图象如图所示,- 5 -根据图象知,函数f(x)的最小值是1.单调增区间是1,0,1,);单调减区间是(,1,0,1规律方法 因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质,所以在研究函数的性质时要注意结合图象,在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合能达到快速解题的目的.跟踪训练3定义在(,0)(0,)上的奇函数f(x),在(0,)上为增函数,当x0 时,f(x)的图象如图 11 所示,则不等式xf(x)f(x)0 时,若 03,则f(x)0.又因为 f(x)为奇函数,所以当 x0.而不等式 2xf(x)0 可化为Error!或Error!故不等式的解集为(0,3)(3,0)