2019高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数的周期性习题 苏教版必修4.doc

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1、1三角函数的周期性三角函数的周期性一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的周期性1. 理解周期函数的定义；2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；3. 会求函数ysin（x）和ycos（x）的周期。填空解答高考必考高考必考周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第 1 步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：求函数的周期、利用周期求函数值。难点：难点：对定义的理解及定义的简单应用。一、周期函数的定义一、周期函数的定义一般地，对于函数f（x） ，如果存在一个非零的常数T，使

2、得定义域内的每一个x值，都满足f（xT）f（x） ，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。【要点诠释要点诠释】函数周期性的理解：函数周期性的理解：定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f（xT）f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。从f（xT）f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2xT）f（2x）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2 )2TfxTfxfx，则2T是f（x）的周期。对于一个周期函数( )f x，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做( )f x的最小正周期。今后提到的三角函数的周期

3、，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。 并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数( )(f xC C为常数） ，其周期T是任意实数，没有最小正数。周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f（x）的周期，那么kTkT（k kZZ，k k00）也一定是函数的周期。【核心归纳核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域 若x是定义域 D 内的一个值，则且 ,(ZkkTx)0k也一定属于定义域 D，因此周期函数的定义域 D 一定是无限集，而且定义域 D 一定无上界且无下界。2（2）其次看恒等式是否成立 对于定义域 D 内任意任意一个x，

4、是否有( )()f xf xT恒成立。恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。二、二、sin()(0,0)yAxA的周期的周期一般地，函数yAsin（x）和yAcos（x） （其中A，为常数，且A0，0）的周期T2。【规律总结规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。（1）定义法；（2）公式法，对yAsin（x）或yAcos（x） （A，是常数，且A0，0） ，T|2 ；（3）图象法。三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为 1。示例：示例：已知函数( )sin()7f xx的周期

5、为 3，则 。思路分析：思路分析：利用yAsin（x） （A，是常数，且A0，0）的最小正周期为T|2 这一结论解决。答案：答案：由题得23 ，则2 3 技巧点拨：技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。例题例题 1 1 （求三角函数的周期）（求三角函数的周期）求下列函数的周期：（1）y3sin（2x6） ；（2）y2cos（2x4） ；（3）y|sin x|。思路分析：思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。答案：答案：（1）T222 4。（2）y2cos（2x4）2cos（2x4） ，3T2124。（3）由ysin x的周期为 2，可猜想

6、y|sin x|的周期应为 。验证：|sin（x）|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是 。例题例题 2 2 （函数周期性的判断）（函数周期性的判断）设函数yf（x） ，xR R，若函数yf（x）为偶函数并且图象关于直线xa（a0）对称，求证：函数yf（x）为周期函数。思路分析：思路分析：要证函数yf（x）是周期函数，就是要找到一个常数T（T0） ，使得对于任意实数x，都有f（xT）f（x） ，可根据yf（x）的奇偶性与对称性推导证明。答案：答案：由yf（x）的图象关于xa对称得f（2ax）f（x） ，f（2ax）f（x） ，f（x）为偶函数，f（x）f（x）

7、，f（2ax）f（x） ，f（x）是以 2a为周期的函数。【重要提示重要提示】1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数一个具体的非零常数T T满足f（xT）f（x）对定义域中一切一切x都成立。2. 若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（xa）f（x）或f（xa）)(1 xf或f（xa）)(1 xf，则f（x）都是周期函数，且 2 2a a为它的一个周期，这里a为非零常数。函数周期性概念理解不透彻致误函数周期性概念理解不透彻致误【满分训练满分训练】判断函数ycos 4x，x，是否为最小正周期为2的周期函数，若不是，请说明理由。【错解错解】记f（x）cos 4x，设T为

8、f（x）的周期，则f（xT）f（x） ，即 cos 4xcos 4（xT）对任意实数x都成立，也就是 cos（4T）cos 对任意实数都成立，其中4x，由于ycos 的最小正周期为 2，令 4T2，得T2，故函数ycos 4x，x，是最小正周期为2的周期函数。【错因分析错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x，的限制，x 时，xT，不符合周期函数的定义，即忽略了f（x）f（xT）对任意x都成立。【防范措施防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，要看定义域I，对任意xI，有4xTI；对任意xI，有f（x）f（xT） 。要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可。

9、【正解正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f（xT）f（x） ，故xT也应在定义域内，但是当x 时，x223，故函数ycos 4x，x，不是周期函数。利用周期解决多个值的和利用周期解决多个值的和若函数f（n）sin6n（nZ Z） ，求f（97）f（98）f（99）f（102）的值。思路分析：思路分析：直接求和较难，可以判断f（n）的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。答案：答案：由题意得 sin6nsin（6n2）sin6)12n(（nZ Z） ，f（n）f（n12） ，971281，981282，1021286，f（97）f（98）f（99）f（102）f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）f（6）sin6sin62sin63sin64sin65sin66212312321023。技巧点拨：技巧点拨：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内一个周期内的函数 值的变化情况，再给予推广求值。