2019高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 4.doc

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1、11.61.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点)2实际问题抽象为三角函数模型(难点)自 主 预 习探 新 知1三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型2解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论基础自测1思考辨析(1)函数y|sin x |的周期为 .( )1 2(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为 0.4 s，振幅为 5 cm，则该振子在 2 s 内通过的路程为 50 cm

2、.( )(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin，则当t s(100t 3)1 200时，电流强度I为 A( )5 2解析 (1)错误函数y|sin x |的周期为 2.1 2(2)错误一个周期通过路程为 20 cm，所以 2 s 内通过的路程为 20100(cm)2 0.4(3)正确答案 (1) (2) (3)2如图 161 为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s 往返一次图 16108 观察图象可知此简谐运动的周期T0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次3如图 162 所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某2天 24 h 内的变

3、化情况，则水面高度y关于从夜间 0 时开始的时间x的函数关系式为_图 162y6sinx 设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0，0)则A6， 6T12，.2 6当x9 时，ymax6.故92k，kZ Z. 6 2取k1 得，即y6sinx. 6合 作 探 究攻 重 难三角函数图象的应用(1)函数yxsin|x|，x，的大致图象是( )A B C D(2)作出函数y|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间. 【导学号：84352127】思路探究 (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断(2)依据y|cos x|Error!画图，并判断此函数的性质(1 1)C C (1

4、)yxsin|x|是非奇非偶函数，图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选 C.(2)y|cos x|图象如图所示由图象可知：T；y|cos x|是偶函数；单调递增区间为， 2k，k3kZ Z，单调递减区间为，kZ Z.k， 2k规律方法 1一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.2一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：由函数yfx的图象要得到y|fx|的图象，只需将yfx的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.由函数yfx的图象要得到yf|x|的图象，

5、应保留yfx位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.跟踪训练1函数f(x)2sin x(x，)的图象大致为( )A B C DA A f()2sin()201，f2sin210.5，f(0)2sin ( 2)( 2)0201，f2sin2，f()2sin 201.由此知选项 A 符合要求( 2) 2三角函数模型在物理学中的应用已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，(2t 3)并回答下列问题(1)小球在开始振动(t0)时的位移是

6、多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】思路探究 确定函数yAsin(x)中的参数A，的物理意义是解题关键解 列表如下：t 6 12 37 125 62t 30 23 224sin(2t 3)01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0 代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移(2t 3) 33是 2 cm.3(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和4 cm.(3)因为振动的周期是 ，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.规律方法 在物理学中，物体做简

7、谐运动时可用正弦型函数yAsinx表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f 为频率，表示物体在单位时间内2 1 T往复振动的次数.跟踪训练2交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin3来表示，求：(100t 6) (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解 (1)当t0 时，E110(V)，即开始时的电压为 110 V.33(2)T(s)，即时间间隔为 0.02 s.2 1001 50(3)电压的最大值为 220 V，当 10

8、0t，即t s 时第一次取得最大3 6 21 300值三角函数模型的实际应用探究问题在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线5(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中 0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，yf(t)的图

9、象可近似地看成是函数yAcos tb的图象(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 【导学号：84352129】思路探究 (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求.(2)解不等式y1，确定有多少时间可供冲浪者活动解 (1)由表中数据可知，T12，.又t0 时， 6y1.5，Ab1.5；t3 时，y1.0，得b1.0，所以振幅为 ，函数解析式为1 2y cost1(0t24)1 2 6(2)y1 时，才对冲浪爱好者开放，y

10、 cost11，cost0,2k1 2 6 6 2t2k，即 12k3t12k3，(kZ Z)又 0t24，所以 0t3 或 6 29t15 或 21t24，所以在规定时间内只有 6 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9t15.母题探究：1.若将本例中“大于 1 米”改为“大于 1.25 米” ，结果又如何？解 由y cost11.25 得 cost ，1 2 6 61 22kt2k，kZ Z，即 12k2t12k2，kZ Z. 3 6 3又 0t24，所以 0t2 或 10t14 或 22t24，所以在规定时间内只有 4 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 10t14.2若本例中海滨浴场某区域的

11、水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：t(时)036912151821246y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用yAsin tb刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式解 函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需 936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为 12 h，因此12，.2 6又当t0 时，y10；当t3 时，ymax13，b10，A13103，所求函数的解析式为y3sin t10(0t24) 6规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域当 堂 达 标固 双 基1与图 163 中曲线对应的函数解析式是( )

12、图 163Ay|sin x| Bysin |x|Cysin |x|Dy|sin x|C C 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A，D.当x(0，)时，sin |x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项 B，故选 C.2在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s15sin，s210cos 2t确定，(2t 6)则当t s 时，s1与s2的大小关系是( )2 3【导学号：84352130】As1s2 Bs1s2Cs1s2D不能确定7C C 当t时，s15sin5sin5，2 3(4 36)3 2当t

13、时，s210cos105，2 34 3(1 2)故s1s2.3如图 164 表示电流强度I与时间t的关系为IAsin(x)(A0，0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为( )图 164AI300sin(50t 3)BI300sin(50t 3)CI300sin(100t 3)DI300sin(100t 3)C C A300，T2，100，I300sin(100t)代入(1 1501 300)1 502 T点，得 1000，得，I300sin.(1 300，0)(1 300) 3(100t 3)4一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t

14、(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球(g lt 3)摆动的周期是 1 s 时，线长l_cm.由已知得1，所以2， 42，l.g 422g lg lg lg 425如图 165，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化图 1658(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量.【导学号：84352131】解 (1)设种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0，0)，则Error!解得A100，b800.又周期T2(60)12，2 T 6y100sin800.( 6t)又当t6 时，y900，900100sin800，( 6 6)sin()1，sin 1，取， 2y100sin800.( 6t2)(2)当t2 时，y100sin800750，( 6 22)即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.