2019高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理学案 苏教版必修5.doc

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1、1正弦定理正弦定理一、考点突破一、考点突破知识点知识点课标要求课标要求题型题型说明说明正弦定理1. 通过对任意三角形边长和 角度关系的探索，掌握正弦定理。2. 能运用正弦定理解三角形。填空题 解答题高考常考高考常考 既可以单独考查正弦 定理，也可以与其它知识 （如向量、三角函数）综 合进行考查。二、重难点提示二、重难点提示 重点：重点：正弦定理的运用（解三角形，判定三角形的形状，解决实际生活中的问题） 。 难点：难点：判定三角形解的情况。1.1. 正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法c b C B A a a a 正弦定理的证明方法较

2、多，但都离不开化斜三角形为直角三角形这一基本思想，同时 需要分类讨论。 2.2. 正弦定理的内容及其常见变形正弦定理的内容及其常见变形内容：2sinsinsinabcRABC（三角形的各边和它所对角的正弦之比相等） 。变形：（1）2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC；（2）sin,sin,sin222abcABCRRR； （3）其它变形。 3.3. 正弦定理解斜三角形的两种类型正弦定理解斜三角形的两种类型 （1）AAS、ASA； （2）SSA。 4.4. 已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况 试一试：试一试：ABC分别

3、满足如下条件，试判定解的情况。（1）已知4 3 ,4,120abA；（2）10 6a ，20 3b ，45A ；（3）已知30, 34, 4Aba。 小结：小结：已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边和角时，怎样判断解的个数? 2（1）求小边所对的角时，有一个解。 （2）求大边所对的角时，若所求的正弦值等于 1 时，有一个解；若所求的正弦值小于 1 时，有两个解；若所求的正弦值大于 1 时，没有解。 此外，三角形的解的情况也可以结合图形进行思考。例题例题 1 1 （天津高考）（天津高考）在ABC中，A，B，C所对的边分别是cba,，已知8b=5c，C=2B，则 cosC= 。 思路分析：思路

4、分析：两个已知条件需要统一化为边（或角）的关系，一种是均化为边，需要对 C=2B 两边同时进行正弦变形，再运用正弦定理求解；另一种思路是均化为角，即 8b=5c 直 接运用正弦定理化为8sin5sinBC，再进行求解。 答案：答案： 解：因为BC2，所以BBBCcossin2)2sin(sin。根据正弦定理有Bb Cc sinsin，又 8b=5c，所以58 sinsinBC bc。得54 58 21 sin2sincosBCB，则2167coscos22cos1212525CBB 。另解：8b=5c，由正弦定理得： 8sin5sin210sincosBBBB，得4cos5B ，从而7cos2

5、5C 。例题例题 2 2 （江苏高考）（江苏高考）在ABC中，已知BCBA3ACAB。（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C ，求 A 的值。思路分析：思路分析：本题一个题设两个小问，而且第 1 问的结论对于第 2 问显然成立。首先将 向量的数量积表示为三角形的边角关系，运用正弦定理将边化为角，第一问可以证出。第 2 问的求解，必须解决两个角度的问题，一是角 C 与角 A、B 的关系，二是余弦与正切的关 系，进而尝试求特殊角 A 的值。解：解：（1）证明：因为BCBA3ACAB，所以 cosBBCBA3cosAACAB，即cosBBC3cosAAC，由正弦定理得 sincos3s

6、incosBAAB，知cos ,cosAB同正，故得tan3tanBA。（2）解：由5cos5C ， 得tan2C ，则tan()2AB ，结合第（1）问的结论，解关于tan,tanAB的方程组消掉 tanB，得1tan1tan3AA 或 ，因为cos0A，故tan1,4AA 。技巧点拨：技巧点拨：本题要体会在三角函数求值时取正切的优越性，考虑答案的取舍及推理的 规范，善于发现两小问的联系，并能进行三角与向量的综合。3【方法提炼方法提炼】在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=3bcosA，tanC=3 4。（1）求 tanB的值；（2）若2c ，求ABC的面积。 思路分析：

7、思路分析： 1. 正弦定理可以灵活实现边角的互化，本题显然是化边为角。 2. 在三角形中，求解三角函数的值通常需要消掉一个角（消“元” ） ，消哪一个角既要有 全局意识，有时还需要反复尝试。本题先消 C 有利于变形。 3. 第 2 小问实质上是一个广义的解三角形问题，即已知三个等量关系求解三角形。解题 时要充分重视第一问的提示功能。 答案：答案：解：（1）由正弦定理，得sin3sincosCBA ，即sin()3sincosABBA 。 展开得sincoscossin3sincosABABBA ，所以sincos4sincosABBA 。因为coscos0AB ，所以tan4tanA B 。又

8、tantantantan()tantan1ABCABAB ，由（1）知，23tan3 44tan1B B，解得1tan2B 。（2）由（1） ，得 2sin5A ，1sin5B ，3sin5C ，由正弦定理，得2254 5sin sin33 5cAaC ，所以ABC的面积为4 51114sin222335acB 。技巧点拨：技巧点拨：两角和、差的三角函数问题，正切的运算量通常要小于正弦或余弦。 【易错警示易错警示】 在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则AC的取值范围是 。 错解：错解：本题容易想到化边为角，结合正弦定理得2cosACA，由(0,)2A得 AC的范围是（0，2） 。 错因分析：错因分析：第一种错误是没有想到运用三角函数的有界性，对此可适当加强解题方法 的总结；第二种错误是求角 A 的范围时，漏掉了 B、C 都是锐角的条件，掉到题目设计的陷 阱中。正解：正解：根据三个角都是锐角，列出三个不等式组，由 B=2A，消元得 A 的范围(,)6 4 ，故AC 的范围是( 2, 3)。