2019版高中数学 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理学案 新人教B版必修5.doc

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1、11.1.21.1.2 余弦定理余弦定理1.掌握余弦定理及其推论.(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)基础初探教材整理 1 余弦定理阅读教材 P6中间 1.1.2 余弦定理P7第 15 行，完成下列问题.1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.(1)已知三边，求三角.(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1.以下说法正确的有_.(填序号)在三角形中

2、，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.【解析】 错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.2【答案】 2.在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c_.【解析】 根据余弦定理c2a2b22abcos C163

3、6246cos 12076，c2.19【答案】 219教材整理 2 余弦定理的变形阅读教材 P7例 1 上面倒数第三自然段P8，完成下列问题.1.余弦定理的变形：cos A；b2c2a2 2bccos B；a2c2b2 2accos C.a2b2c2 2ab2.利用余弦定理的变形判定角：在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2csin 303 知本题有两解.31 23 32由正弦定理 sin C，csin B b3 3 1 2 332C60或 120，当C60时，A90，由勾股定理a6，b2c2323 32当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.已知三角形的两边与一

4、角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边也可以两次应用正弦定理求出第三边).再练一题1.在ABC中，边a，b的长是方程x25x20 的两个根，C60，求边c. 【导学号：18082003】【解】 由题意：ab5，ab2.由余弦定理得c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，4c.19已知三边解三角形在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和 sin C.【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？(2)求 sin C

5、能否应用余弦定理？【自主解答】 acb，A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ，b2c2a2 2bc325272 2 3 51 2A120，sin Asin 120.32由正弦定理，得：a sin Ac sin Csin C，csin A a5 32 75 314最大角A为 120，sin C.5 3141.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.2.已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.再练一题2.在ABC中，a2c2b2ab，求角C.【解】 c2a2b22abcos C，a2c2b22

6、abcos C.ab2abcos C.cos C ，C60.1 2探究共研型正、余弦定理的综合应用探究 1 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2，则5sin2Asin2Bsin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？【提示】 设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入a2b2c2可得sin2Asin2Bsin2C.反之将 sin A，sin B，sin C代入a 2Rb 2Rc 2Rsin2Asin2Bsin2C可得a2b2c2.因此，这两种说法均正确.探究 2 在ABC中，若c2a2b2，则C成立吗？反之若C

7、，则 2 2c2a2b2成立吗？为什么？【提示】 因为c2a2b2，所以a2b2c20，由余弦定理的变形 cos C0，即 cos C0，所以C，反之若C，则 cos C0，即a2b2c2 2ab 2 20，所以a2b2c20，即c2a2b2.a2b2c2 2ab在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.【精彩点拨】 【自主解答】 法一：(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：ba，(aca2c2b2 2ac)(bcb2c2a2 2bc)整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b

8、2c2)0，a2b2c20 或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形.法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即 sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.6sin C0，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A.2B2A或 2B2A，即AB或AB. 2故ABC是等腰三角形或直角三角形.1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，

9、也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.再练一题3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. cos A2cos C cos B2ca b【导学号：18082004】(1)求的值；sin C sin A(2)若 cos B ，ABC的周长为 5，求b的长.1 4【解】 (1)由正弦定理得

10、a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(其中R为ABC外接圆半径)所以，cos A2cos C cos B2ca b2sin Csin A sin B所以 sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，sin Acos Bsin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B，所以 sin(AB)2sin(BC).又ABC，所以 sin C2sin A，7所以2.sin C sin A(2)由(1)知2，由正弦定理得 2，sin C sin Ac asin C sin A即c2a.又因为ABC的周长为 5，所以b53a.由余弦定

11、理得b2a2c22accos B，即(53a)2a2(2a)24a2 ，1 4解得a1，a5(舍去)，所以b5312.1.已知a，b，c是ABC的三边长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为( )A.60 B.90 C.120 D.150【解析】 由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C ，C120.1 2【答案】 C2.在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为( )313A. B. C. D. 3 6 4 12【解析】 由三角形边角关系可知，角C为ABC的最小角，则 cos Ca2b2c2 2ab，所以C，故选

12、 B.724 32 1322 7 4 332 6【答案】 B3. 在ABC中，若a2bcos C，则ABC的形状为_.【解析】 法一：a2bcos C2b.a2b2c2 2aba2b2c2 aa2a2b2c2，即b2c2，bc，8ABC为等腰三角形.法二：a2bcos C，sin A2sin Bcos C，而 sinAsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Bsin Csin Bcos C，即 sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又180BC180，BC0，即BC.ABC为等腰三角形.【答案】 等腰三角形4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，则 cos 3A_.【解析】 由BC,2ba，3可得bca，32所以 cos Ab2c2a2 2bc .3 4a23 4a2a22 32a32a1 3【答案】 1 35.在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程 5x27x60 的根，求第三边c的长. 【导学号：18082005】【解】 5x27x60 可化为(5x3)(x2)0.x1 ，x22(舍去).3 5cos C .3 5根据余弦定理，c2a2b22abcos C5232253 16.3 5c4，即第三边长为 4.1