2.1.1合情推理 (类比推理).ppt

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1、中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学2.1.1合情推理合情推理（类比推理）（类比推理）（一）类比推理（一）类比推理 在学习空间向量时，我们是这样推测空在学习空间向量时，我们是这样推测空间向量的基本定理的：间向量的基本定理的：由于平面向量与空间向量都是既有大小由于平面向量与空间向量都是既有大小又有方向的量，并且两者具有类似又有方向的量，并且两者具有类似(或一致或一致)的运算性质的运算性质(如都具有加法的交换律和结如都具有加法的交换律和结合律等合律等)，因此根据平面向量的基本定理，因此根据平面向量的基本定理，我们推测空间向量也具有类似的性质：我们推测空间向量也具有类似的性质：如果三个向量如果三

2、个向量 不共面，那么对于不共面，那么对于空间任一向量空间任一向量 ，存在一个惟一的有序，存在一个惟一的有序实数组实数组x，y，z，使，使 这种根据两类不同事物之间具有某些类这种根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做理，叫做类比推理类比推理（简称类比），（简称类比），类比属类比属于合情推理于合情推理。下面我们通过一个例子来得出下面我们通过一个例子来得出类比的一类比的一般步骤般步骤。三角形与四面体有如下类似的性质：三角形与四面体有如下类似的性质：（1）三角

3、形是平面内由直线段所围成的最）三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间由平面所简单的封闭图形；四面体是空间由平面所围成的最简单的封闭图形；围成的最简单的封闭图形；（2）三角形可以看作平面上一条线段外一）三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可以看作三角形所在平面外一点与四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形。这个三角形上各点连线所形成的图形。根据三角形的性质，可以推测空间四面根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：体的性质如下：三角形三角形四面体四面体三角形两三角形

4、两边边之和大之和大于第三于第三边边.四面体任意三个面的面四面体任意三个面的面积积之和大之和大于第四个面的面于第四个面的面积积 根据三角形的性质，可以推测空间四面根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：体的性质如下：三角形三角形四面体四面体三角形两三角形两边边之和大之和大于第三于第三边边.四面体任意三个面的面四面体任意三个面的面积积之和大之和大于第四个面的面于第四个面的面积积 三角形三条内角三角形三条内角平分平分线线交于一点，交于一点，且且这这个点是三角形个点是三角形内切内切圆圆的的圆圆心。心。四面体的六个二面角的平分面四面体的六个二面角的平分面交于一点，且交于一点，且这这个点是四面体的

5、个点是四面体的内切球的球心。内切球的球心。根据三角形的性质，可以推测空间四面根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：体的性质如下：三角形三角形四面体四面体三角形两三角形两边边之和大之和大于第三于第三边边.四面体任意三个面的面四面体任意三个面的面积积之和大之和大于第四个面的面于第四个面的面积积 三角形三条内角三角形三条内角平分平分线线交于一点，交于一点，且且这这个点是三角形个点是三角形内切内切圆圆的的圆圆心。心。四面体的六个二面角的平分面四面体的六个二面角的平分面交于一点，且交于一点，且这这个点是四面体的个点是四面体的内切球的球心。内切球的球心。三角形的中位三角形的中位线线等于第三等于第

6、三边边的一半，的一半，且平行于第三且平行于第三边边。四面体的中截面（以任意三条四面体的中截面（以任意三条棱的中点棱的中点为顶为顶点的三角形）的面点的三角形）的面积积等于第四个面的面等于第四个面的面积积的一半，的一半，且平行于第四个面。且平行于第四个面。一般地，如果类比的一般地，如果类比的相似性相似性越多，相似越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可能为真。比得出的命题就越可能为真。例例1找出圆与球的相似性质，并用圆的下找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质：列性质类比球的有关性质：（1）圆心与弦）圆心与弦(非直径非直径

7、)中点的连线垂直中点的连线垂直于弦；于弦；（2）与圆心距离相等的两弦相等；）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长）圆的周长C=d（d是直径）；是直径）；（4）圆的面积）圆的面积S=r2.解：圆与球有下列相似的性质：解：圆与球有下列相似的性质：（1）圆是平面上到一定点距离等于定长的）圆是平面上到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定所有点构成的集合；球面是空间中到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；点距离等于定长的所有点构成的集合；（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称图形；球是空间中封闭曲面是围成的对

8、称图形。图形。通过与圆的有关性质类比，可以推测求通过与圆的有关性质类比，可以推测求的有关性质：的有关性质：圆圆球球 圆圆心与弦（非直心与弦（非直径）中点的径）中点的连线连线垂垂直于弦直于弦 球心与截面球心与截面圆圆（不（不经过经过球心的球心的小截面小截面圆圆）圆圆心的心的连线连线垂直于截垂直于截面面圆圆球球 圆圆心与弦（非直心与弦（非直径）中点的径）中点的连线连线垂垂直于弦直于弦 球心与截面球心与截面圆圆（不（不经过经过球心的球心的小截面小截面圆圆）圆圆心的心的连线连线垂直于截垂直于截面面与与圆圆心距离相等的心距离相等的两弦相等两弦相等与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆圆的的面

9、面积积相等相等圆圆球球 圆圆心与弦（非直心与弦（非直径）中点的径）中点的连线连线垂垂直于弦直于弦 球心与截面球心与截面圆圆（不（不经过经过球心的球心的小截面小截面圆圆）圆圆心的心的连线连线垂直于截垂直于截面面与与圆圆心距离相等的心距离相等的两弦相等两弦相等与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆圆的的面面积积相等相等圆圆的周的周长长C=d球的表面球的表面积积S=d2圆圆球球 圆圆心与弦（非直心与弦（非直径）中点的径）中点的连线连线垂垂直于弦直于弦 球心与截面球心与截面圆圆（不（不经过经过球心的球心的小截面小截面圆圆）圆圆心的心的连线连线垂直于截垂直于截面面与与圆圆心距离相等的心距离相

10、等的两弦相等两弦相等与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆圆的的面面积积相等相等圆圆的周的周长长C=d球的表面球的表面积积S=d2圆圆的面的面积积S=r2球的体球的体积积V=r3 其中前三个类比得到的结论是正确的，其中前三个类比得到的结论是正确的，最后一个猜测则是错误的。由此可见，类最后一个猜测则是错误的。由此可见，类比的结论值具有或然性，即可能真，也可比的结论值具有或然性，即可能真，也可能假。能假。虽然有类比所得到的结论未必是正确的，虽然有类比所得到的结论未必是正确的，但它所具有的有特殊到特殊的认识功能，但它所具有的有特殊到特殊的认识功能，等于发现新的规律和事实却是十分有用的。等

11、于发现新的规律和事实却是十分有用的。例例2试根据等式的性质猜想不等式的性质试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：等式的性质：猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)aba+cb+c;(2)a=b ac=bc;(2)ab acbc;(3)a=ba2=b2;等等等等 (3)aba2b2;等等等等问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？答答：(1)对；对；(2),(3)不对。不对。（二）类比推理的一般步骤：（二）类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论