2.1.1合情推理-类比推理77699.ppt

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1、2.1.12.1.1合情推理合情推理哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(GoldbachGoldbach Conjecture)Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6

2、 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(GoldbachGoldbach)写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想:(a)(a)任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。(b)(b)任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，日给他的回信中说，他

3、相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+

4、11,18=+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.5+13,.等等。有人对等等。有人对3310833108以内且大过以内且大过6 6之偶数一之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。都成立。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。意。200200年过去了，没有人证明它。年过去了，没有人证明它。歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，改写为改写为:1037，20317，301317哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(G

5、oldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem)(Chens Theorem)?“?“任何充份大的偶数都是一个质数与一个任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常简称这个结果为大偶数可表示为通常简称这个结果为大偶数可表示为“1 1+2”+2”的形式。的形式。这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理

6、,称为归纳推理.(简称;归纳)例例1:在数列在数列 中中 试猜想这个数列的通项公式试猜想这个数列的通项公式 .解解:分析：分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项.点评：点评：通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，本题的结论可正确，它的正确性需通过严格的证明，本题的结论可以通过适当的变形得证以通过适当的变形得证.例例:如右图所示如右图所示,直线直线l l1 1与与l l2 2是同一平面内的两条相交直

7、线是同一平面内的两条相交直线,它们有一个交点，如果在这个平面内再画第三条它们有一个交点，如果在这个平面内再画第三条直线直线l l3 3,那么这三条直线最多可能有那么这三条直线最多可能有_个交点个交点;如果在如果在这个平面内再画第这个平面内再画第4 4条直线，那么这条直线，那么这4 4条直线最多可有条直线最多可有_个交点个交点,由此我们可以猜想由此我们可以猜想:在同一个平面内在同一个平面内,6,6条直线最多可有条直线最多可有_个交点个交点,n(nn(n为大于为大于1 1的整数的整数)条直线条直线最多可有最多可有_个交点个交点,用含用含n n的代数式表示的代数式表示.1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶

8、和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发发明了锯明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许发现火星与地球有许多类似的特征多类似的特征;1)1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)2)有大气层有大气层,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更;3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存知生物的生存,等等等等.科学家科学家猜想猜想;火星上也可能有生命存在火星上也可

9、能有生命存在.4)4)利用平面向量的本定理类比利用平面向量的本定理类比得到得到空间向量的空间向量的基本定理基本定理.在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比,找出若干找出若干相同或相似点之后相同或相似点之后,推测在其他方面也可推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为称为类比推理类比推理.(.(简称简称;类比类比)与球心距离相等的两个截面圆面积与球心距离相等的两个截面圆面积相等相等;与球心距不相等的两个截面与球心距不相等的两个截面圆面积不相等圆面积不相等,距球心较近的截面距球心较近的截面圆面积较大圆面积较大.与圆心距离相等的两弦相等

10、与圆心距离相等的两弦相等;与圆与圆心距离不相等的两弦不等心距离不相等的两弦不等,距圆心距圆心较近的弦长较近的弦长.球心与截面（不经过球心的小截面球心与截面（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直截面圆圆）圆心的连线垂直截面圆圆心与弦（非直径）中心的连线垂圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦直于弦球的体积球的体积圆的面积圆的面积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长球的类似的概念和性质球的类似的概念和性质圆的概念和性质圆的概念和性质点评：点评：本题推测球的有关性质第二个是错误的，由此可见，本题推测球的有关性质第二个是错误的，由此可见，类比的结论只具有或然性，即可能真，也可能假类比的结论只具有或然性，

11、即可能真，也可能假.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察经过观察,分析分析,比较比较,联想联想,再进行归纳再进行归纳,类比类比,然后提出猜想的推然后提出猜想的推理理,我们把它们统称为我们把它们统称为合情推理合情推理(plausible reasoning).通俗的说通俗的说,合情推理是指合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推的推理理.推理过程概括推理过程概括:从具体问题出发从具体问题出发观察观察,分析分析,比较比较,联想联想归纳归纳,类比类比提出猜想提出猜想数学研究中数学研究中,得到一个新结论之前得到一个新结论之前,合情推理常常能帮合情推理常常能帮助

12、我们猜想和发现结论助我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前证明一个数学结论之前,合情合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向推理常常能为我们提供证明的思路和方向.1.由数列由数列 1，10，100，1000，猜测该数列的第猜测该数列的第n 项可能是项可能是 （）.A10n B10n-1 C10n+1 D11n 课堂练习课堂练习2.1，3，7，15，()，63，括号中的数，括号中的数字应为（字应为（）.A.33 B.31 C.27 D.573.数列数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，的第的第 1000 项是（项是（）.A 42 B 45 C 48 D 51例例4.

13、类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给试给出空间四面体性质的猜想出空间四面体性质的猜想.(课本课本34面面)请给出证明请给出证明证证:例例3 3：(2005(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字位制是逢进的计算制，采用数字-和字母和字母-共个计数符号，这些符共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用进位制表示例如用进位制表示+，则，则（）（）十六进位十六进位十进位十进位E E例例4 4:(:(20012001年上海年上海)已知两个圆已知两

14、个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1,则由则由式减去式减去式可得上述两式可得上述两圆的对称轴方程圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一即要求得到一个更一般的命题般的命题,而已知命题应成为所推广命题的而已知命题应成为所推广命题的一个特例一个特例,推广的命题为推广的命题为-.-.(x-a)x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为b bd

15、d),),则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴式可得上述两圆的对称轴方程方程.类比推理的几个特点类比推理的几个特点;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础,类比类比出新的结果出新的结果.2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发单它却有发现的功能现的功能.圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆

16、心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-xx-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-xx-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出求的性质利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积