2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程学案 苏教版选修1-1.doc

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1、12.4.12.4.1 抛物线的标准方程抛物线的标准方程学习目标：1.掌握抛物线的标准方程(重点) 2.掌握求抛物线标准方程的基本方法自 主 预 习探 新 知抛物线的标准方程标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点坐标(p 2，0)(p 2，0)(0，p 2)(0，p 2)准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2开口方向向右向左向上向下基础自测1判断正误：(1)标准方程y22px(p0)中p的几何意义是焦点到准线的距离( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定( )(3)x22y表示的抛物线开口向左( )【解析】 (1).抛物线y22px(p0)的焦点为，准线为

2、x ，故焦点到准(p 2，0)p 2线的距离是p.(2).一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确(3).x22y表示的抛物线开口向下【答案】 (1) (2) (3)2焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为_【解析】 由题意知p224，焦点在y轴正半轴上，方程为x224y，即x28y.【答案】 x28y合 作 探 究攻 重 难求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： 2(1)准线方程为 2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150 上. 【导学号：95902128】思路探究 确定抛物线的类型设出标准方程确定参数写出

3、方程【自主解答】 (1)准线方程为 2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又 2，所以 2p8，故抛物线的标准方程为x28y.p 2(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即 2p，2p1 .16 39 4所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.16 39 4(3)令x0 得y5；令y0 得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.规律方法 求抛物线方程的主要方法是待定

4、系数法1若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；2若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.注意：焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2axa0，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2aya0.跟踪训练1(1)焦点在x轴上，且焦点在双曲线1 上的抛物线的标准方程为x2 4y2 2_(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x216y2144 的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，则抛物线的标准方程为_【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为.(m 2，0)焦点在双曲线1 上，1，求得m4，所求抛物线方程为x2 4y2 2m2 4

5、4y28x或y28x.(2)椭圆的方程可化为1，其短轴在y轴上，x2 16y2 9抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x22py或x22py(p0)，由抛物线焦点到顶点的距离为 3 得 3，p6，抛p 23物线的标准方程为x212y或x212y.【答案】 (1)y28x或y28x x212y或x212y由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)yx2；(2)xy2(a0). 1 41 a【导学号：95902129】思路探究 原方程化为标准形式求焦点坐标和准线方程【自主解答】 (1)抛物线yx2的标准形式为x24y，所以p2，所以焦点坐标是1 4(0,1

6、)，准线方程是y1.(2)抛物线xy2的标准形式为y2ax，所以p ，故焦点在x轴上，坐标为，1 aa 2(a 4，0)准线方程为x .a 4规律方法 求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：跟踪训练2求抛物线ay2x(a0)的焦点坐标与准线方程【解析】 把抛物线ay2x(a0)方程化为标准形式为y2x，所以抛物线的焦点坐1 a标为，准线方程为x.(1 4a，0)1 4a抛物线的定义及标准方程的应用探究问题1抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？【提示】 平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做4抛物线设抛物线上任意一点P，点P到直线l的距离为PD，则抛物线的定

7、义可表示为PFPD.2抛物线y22px(p0)上一点P的横坐标为x0，那么点P到其焦点F的距离是什么？【提示】 抛物线y22px(p0)的准线方程为x ，根据抛物线的定义可知抛物p 2线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P到其焦点F的距离为PFx0x0 .(p 2)p 23探究 2 中得到的用点P的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？【提示】 设抛物线上一点P的横坐标为x0，对于抛物线y22px(p0)，PF x0；p 2设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x22py(p0)，PFy0y0 ；(p 2)p 2设抛物线上

8、一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x22py(p0)，PF y0.p 24通过以上探究，你得到了什么启示？【提示】 当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题已知抛物线的方程为y22x，F是其焦点，点A(4,2)，在抛物线上是否存在点M，使MAMF取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由思路探究 判断点A的位置把到焦点的距离转化为到准线的距离利用三点共线求最小值【自主解答】 如图，由于点M在抛物线上，所以MF等于点M到其准线l的距离MN，于是MAMFMAMN，所以当A，M

9、，N三点共线时，MAMN取最小值，亦即MAMF取最小值，这时M的纵坐标为 2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x02，即M(2,2)规律方法 51此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值2涉及抛物线上任意一点P与平面上的定点A以及抛物线焦点F的距离和PAPF的最小值问题，有以下处理思路：(1)若点A在抛物线外部，则直线FA与抛物线的交点P使得PAPF最小，其最小值为AF；(2)若点A在抛物线内部，则过A点作与准线l垂直的直线，它与抛物线的交点为P，则PAPF最小，其最小值为点A到准线l的距离跟踪训练3已知点P是抛

10、物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_. 【导学号：95902130】【解析】 如图，由抛物线定义知PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值又A(0,2)，F，(1 2，0)(PAPF)minAF.172【答案】 172构建体系当 堂 达 标固 双 基61抛物线x216y的焦点坐标是_. 【导学号：95902131】【解析】 4，焦点在y轴上，开口向下，焦点坐标应为，即(0，4)p 2(0，p 2)【答案】 (0，4)2抛物线yx2的准线方程是_1 4【解析】 由yx2

11、得x24y，所以抛物线的准线方程是y1.1 4【答案】 y13.抛物线y24x的焦点到双曲线1 渐近线的距离为_x2 16y2 9【解析】 抛物线焦点F(1,0)，双曲线渐近线为 3x4y0，点F到直线 3x4y0的距离为d .|3 1 4 0|19163 5【答案】 3 54顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(2,3)的抛物线方程是_【解析】 点(2,3)在第二象限，设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，又点(2,3)在抛物线上，p ，p ，抛物线方程为y2x或x2y.9 42 39 24 3【答案】 y2x或x2y9 24 35抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和M点的坐标. 【导学号：95902132】【解】 设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，(p 2，0)即 9 10，p2，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，p 2得 y6.M 点坐标为(9,6)或(9，6)