2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质优化练习1-1.doc

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1、12.3.22.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质课时作业 A 组 基础巩固1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4y110 上，则此抛物线的方程是( )Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：在方程 2x4y110 中，令y0 得x，11 2抛物线的焦点为F，(11 2，0)即 ，p11，p 211 2抛物线的方程是y222x，故选 C.答案：C2已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，直线

2、过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部当k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当k0 时，直线与抛物线有两个公共点答案：C3过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOAkOB的值为( )A4 B4 Cp2 Dp2解析： kOAkOB，根据焦点弦的性质x1x2，y1y2p2，y1 x1y2 x2y1y2 x1x2p2 4故kOAkOB4.p2 p2 4答案：B24已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|2|BF|，则k的值是( )A. B. C2 D.1 32 23224解

3、析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A作AA1m，过点B作BB1m，垂足分别为A1，B1，过点B作BDAA1于点D，设|AF|2|BF|2r，则|AA1|2|BB1|2|A1D|2r，所以|AB|3r，|AD|r，则|BD|2r.2所以ktan BAD2.选 C.|BD| |AD|2答案：C5已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是( )OAOBA2 B3C. D.17 2810解析：设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，OAOBx1x2y1y22.又yx

4、1，yx2，y1y22.2 12 2联立Error!得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMO |OM|y1|1 2|OM|y2|y1y2，1 2SAFO |OF|y1|y1，1 21 8SABOSAFOy1y2y11 8y123，9 82 y19 8y12 y1当且仅当y1 时，等号成立4 33答案：B6直线yx1 被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1 代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，x1x2 22.y1y2 2x1x22 262 2所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7过抛物线y24x的焦点作

5、直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1 x2 x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦ABp 2p 2的中点M的横坐标为 .因此，点M到抛物线准线的距离为 1 .5 25 27 2答案：7 28已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_解析：抛物线y22px的准线为直线x ，而点A(2,3)在准线上，所以 2，即p 2p 2p4，从而C：y28x，焦点为

6、F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14 (2k3)0，所以k2 或k .k 8k 81 2因为切点在第一象限，所以k .1 2将k 代入中，得y8，再代入y28x中得x8，1 2所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为 .8 64 3答案：4 39已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减得2 12 24(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.y2y1 x2x1直线

7、的方程为y13(x4)，即 3xy110.10已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长AB3，5(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且ABP的面积为 9，求P点的坐标解析：(1)由Error!4x24(m1)xm20，由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，m2 4|AB|1k2x1x224x1x21221m24m24.512m由|AB|3，5即3m4.512m5(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d，|2a04|22122|a2|5又SABP |AB|d，1 2则d，2SABP |AB|a2|3a5 或a1，2|a2|52 93 5故点P的坐标为(5,0)或(1,0)B

8、组 能力提升1若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )A. B.(1 4， 24)(1 8， 24)C. D.(1 4，24)(1 8，24)解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为.(1 8， 24)5答案：B2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点

9、M(x0，y0)，则(p 2，0)AF，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M(p 2，2)AM(y2 0 2p，y02)AFAM2 0.由|MF|5 得，5，又p0，解得p2 或p8，故选 C.(8 p，4)(8 pp 2)216答案：C3已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_2 12 2解析：设AB的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m2322 12 2当m0 时，yy最小值为 32.2 12 2答案：324如图，抛物线C1：y2

10、2px和圆C2：(x )2y2，其中p0，直p 2p2 4线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值ABCD为_解析：易知|AB|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.当直线l的斜率不ABCD存在时，l的方程为x ，所以A( ，p)，B( ， )，C( ， )，D( ，p)，p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2| ，所以 ；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，ABCDp 2ABCDp 2p 2p2 4D(x2，y2)，则|AB|FA|FB|x1 x1，同理|CD|x2，设l的方程为yk(x )，p 2p 2p 2由Error!，可得k2x2(pk22p)

11、x0，则|AB|CD|x1x2.综上，k2p2 4ABCDp2 4.ABCDp2 4答案：p2 465.如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.联立方程组Error!消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，16k216k4 k2即xB，4k24k1 k2以k代换xB中的k，得xC，4k24k1 k2kBCyByC xBxCkxB42kxC42

12、xBxC .kxBxC8 xBxCk(8k22k28)8k k21 4所以直线BC的斜率为定值6已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在实数m，使曲线C上总有不同的两点关于直线yxm对称？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0)x12y2化简得y24x(x0)(2)假设抛物线y24x(x0)上存在不同两点A、B关于直线yxm对称，则可设AB的方程为yxb代入y24x并整理得x2(2b4)xb20，则(2b4)24b20 且x0，即b10，且b0.7设AB的中点为M(x0，y0)，则x0b2，y0x0b2，又M(b2，2)在yxm上，2b2m，即b4m，3m0 且4m0，m3 且m4.存在 m 使曲线 C 上总有不同两点关于直线 yxm 对称，m 的范围为(，4)(4，3)