2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（二）作业1 北师大版选修1-1.doc

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1、12.2.22.2.2 抛物线的简单性质（二）抛物线的简单性质（二）基础达标 1.过点(1，0)且与抛物线y2x有且仅有一个公共点的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：选 C.点(1，0)在抛物线y2x的外部，过此点与抛物线有一个公共点的直线 有三条其中两条切线，一条相交直线(平行x轴)2.过抛物线yx2上的点M( ， )的切线的倾斜角是( )1 21 4 A30 B45 C60 D90解析：选 B.由题意可设切线方程为y k(x )，代入yx2，化简得1 41 2 4x24kx2k10，由16k216(2k1)0，得k1，切线的倾斜角为 45. 3.抛物线yax21

2、与直线yx相切，则a等于( )A. B.1 81 4C. D11 2解析：选 B.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)yax21 yx)24a0.a .1 4 4.抛物线yx2上一点到直线 2xy40 的距离最小的点的坐标是( )A( ， ) B(1，1)1 21 4C( ， ) D(2，4)3 29 4 解析：选 B.令yx2的切线方程为 2xyc0，代入yx2整理得x22xc0.由 (2)24c0，c1，x1，y1.切点(1，1)到直线 2xy40 的距离最 小 5.已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦 点若|FA|2|FB|，则k( )A

3、. B1 323C. D.2 32 23 解析：选 D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得yk（x2）， y28x，) k2x2(4k28)x4k20， x1x24，|FA|x1 x12，p 2|FB|x2 x22，且|FA|2|FB|，p 2 x12x22.2由得x21，B(1，2)，代入yk(x2)，得k.故选 D.22 23 6.抛物线yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是_ 解析：设切线为 4x3yC0，代入yx2整理得 3x24xC0，由(4) 212C0 得，C ，故最小距离为.4 3843423228 15答案：28 15 7

4、.设已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于 A，B两点若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_ 解析：由题意知C的方程为y24x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，两式作差，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，kAB 1，又直线2 12 24 y1y24 4 l过(2，2)，故l的方程为yx. 答案：yx 8.将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个 数记为n，则n_ 解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y轴，又过焦点与x轴的夹角为 30的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个 答

5、案：29.已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线yx 所得的弦长3 2 |P1P2|4，求此抛物线的方程2 解：设抛物线方程为y22px(p0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2(32p)x 0，判别式(32p)294p212p0，解yx32， y22px，)9 4 得p0 或p0)中，得y22x. 综上，所求抛物线方程为y22x. 10.A、B为抛物线y22px(p0)上两点，O为原点，若OAOB，求证：直线AB过定 点 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， OAOBx1x2y1y20， A，B在抛物线上y y4p2x1x2，2 1 2 2，y1y24p2 x1x24

6、p2)lAB：yy1(xx1)，2p y1y2yy1(x)，2p y1y2yxy12p y1y23x2p y1y24p2 y1y2(x2p)，2p y1y2 直线AB过定点(2p，0) 能力提升 1.已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则( ) Arap Brap Cr0)与抛 物线y22px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆 与抛物线有两个交点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有 且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.故 选 B. 2.已知直线

7、ya交抛物线yx2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为 直角，则a的取值范围为_ 解析：设C(x，x2)，由题意可取A(，a)，B(，a)，aa则(x，ax2)，(x，ax2)，CAaCBa由于ACB，所以(x)(x)(ax2)20， 2CACBaa 整理得x4(12a)x2a2a0， 即y2(12a)ya2a0，所以（12a） 0， a2a 0， （12a）24（a2a） 0，) 解得a1. 答案：1，) 3.已知过点A(4，0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点，当直线l的斜率是 时，4.1 2ACAB(1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y

8、轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是 时，l的方程为y (x4)，1 21 2 即x2y4，由得 2y2(8p)y80，x22py， x2y4，)y1y24，y1y28p2，)又4，y24y1，ACAB由这三个表达式及p0 得 y11，y24，p2，则抛物线的方程为x24y. (2)由题意可设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)由得x24kx16k0，x24y， yk（x4），) x02k，y0k(x04)2k24k，线段BC的中垂线方程为y2k24k (x2k)，1 k 线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(

9、k1)2，4由16k264k0 得k0 或k0)，则 1，所以抛物线C的方程p 2 为x24y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，ykx1， x24y，)所以x1x24k，x1x24. 从而|x1x2|4.k21由yy1x1x， yx2，)解得点M的横坐标xM.2x1 x1y18 4x1同理，点N的横坐标xN.8 4x2所以|MN|xMxN|228 4x18 4x28|.2x1x2 x1x24（x1x2）168 2k21|4k3|令 4k3t，t0，则k.t3 4当t0 时，|MN|2 2.225 t26 t12当t0 时，|MN|2 .2（5t3 5）216 2585 2综上所述，当 t，即 k 时，|MN|的最小值是.2534385 2